课后素养落实(十四)　余弦定理、正弦定理应用举例

(建议用时：40分钟)

一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)

A．12 m　　　B．8 m　　　C．3 m　　　D．4 m

D　[由题意知，∠A＝∠B＝30°，

所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，

由正弦定理得，＝，

即AB＝＝＝4m．]

2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)

A． n mile/h   B．34 n mile/h

C． n mile/h   D．34 n mile/h

A　[如图所示，在△PMN中，＝，

∴MN＝＝34，

∴v＝＝ n mile/h．]

3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　)

A．28海里/时   B．14海里/时

C．14海里/时   D．20海里/时

B　[如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20 海里，

AB＝12海里，∠BAC＝120°，

∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°

＝784，

∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．]

4．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(　　)

A．(30＋30)m   B．(30＋15)m

C．(15＋30)m   D．(15＋15)m

A　[在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，

sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB＝＝30(＋)(m)，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)，故选A．]

5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　)

A．15 m   B．20 m

C．25 m   D．30 m

D　[设建筑物的高度为h m，由题图知，

PA＝2h，PB＝h，PC＝h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，

得cos∠PBA＝，  ①

cos∠PBC＝．  ②

∵∠PBA＋∠PBC＝180°，

∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0．  ③

由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m．]

二、填空题

6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．

　[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，

∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．

在△ABC中，＝，

∴AC＝＝＝(千米)．]

7．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为________ m．

40　[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，则BD＝40，OD＝20．

在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]

8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________ dm的C处截住足球．

7　[设机器人最快可在点C处截住足球，

点C在线段AD上，设BC＝x dm，

由题意知CD＝2x dm，

AC＝AD－CD＝(17－2x) dm．

在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC 2－2AB·AC·cos A，

即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，

解得x1＝5，x2＝．

∴AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去)．

∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．]

三、解答题

9．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β．该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．

[解]　由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，

解得H＝＝＝124．

因此电视塔的高度H是124 m．

10．如图，A，B，C，D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面)，B，D为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°，30°，于C处测得点B和点D的仰角均为60°，AC＝1 km，求点B，D间的距离．

[解]　法一：在△ACD中，∠ADC＝60°－∠DAC＝60°－30°＝30°．由正弦定理，得AD＝＝．

在△ABC中，∠ABC＝75°－60°＝15°，∠ACB＝60°，

由正弦定理，得AB＝＝．在△ADB中，∠BAD＝180°－75°－30°＝75°，由余弦定理，得BD＝

＝

＝．即点B，D间的距离为km．

法二：如图，记AD与BC的交点为M．

由外角定理，得∠CDA＝60°－∠DAC＝60°－30°＝30°，所以AC＝DC．又易知∠MCD＝∠MCA＝60°，所以△AMC≌△DMC，

所以M为AD的中点，所以BA＝BD．

又AB＝＝，所以BD＝．

所以点B，D间的距离为km．

1．如图，某建筑物的高度BC＝300m，一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为(　　)

A．100 m    B．200 m    C．300 m    D．400 m

B　[在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC＝＝＝200．在△ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，∴∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°．由正弦定理，得＝，得AQ＝＝200．在Rt△APQ中，PQ＝AQsin 45°＝200×＝200，故此无人机距离地面的高度为200 m，故选B．]

2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　)

A． 分钟   B． 分钟

C．21.5 分钟   D．2.15 小时

A　[如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t．∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100＝28＋．

当t＝小时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝ 分钟．]

3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为________小时．

1　[设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，

即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，

化简得x2－40x＋700＝0，

|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，

|x1－x2|＝20，

即图中的CD＝20(千米)，

故t＝＝＝1(小时)．]

4．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile．

北偏东30°　a　[如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°，则由正弦定理＝，得＝，

∴sin∠CAB＝，

∴∠CAB＝30°，

∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．

又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，

∴BC＝AB＝a n mile，

∴AC＝

＝＝a(n mile)．]

某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．

[解]　方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d．

②第一步：计算AM．由正弦定理得AM＝；

第二步：计算AN．由正弦定理得AN＝；

第三步：计算MN．由余弦定理得

MN＝．

方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d．

②第一步：计算BM．由正弦定理得BM＝；

第二步：计算BN．由正弦定理得BN＝；

第三步：计算MN．由余弦定理得

MN＝．