广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2023-2024学年高一下学期（4月）前段考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2023-2024学年高一下学期（4月）前段考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足,其中i为虚数单位,则z的虚部为( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．下列说法正确的是( )
A.“”是“”的充分条件
B.“”是“”的必要条件
C.“的一个对称中心是原点”是“，”的充分不必要条件
D.“”的充分不必要条件是“与的夹角为钝角”
4．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数m的值为( ).
A.-4B.12C.-1D.1
5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和,其全程的平均时速为v,则( )
A.B.C.D.
6．在中，若，则的形状是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
7．已知方程与的根分别为,,则下列说法不正确的是( )
A.B.C.D.
8．在等腰中,角A,B,C所对应的边为a,b,c,,,P是外接圆上一点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位,则下列说法正确的是( )
A.若,则或
B.若点Z的坐标为,则对应的点在第三象限
C.若,则z的模为7
D.若,则点Z的集合所构成的图形的面积为
10．已知函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.函数的周期为
B.函数的图象关于点对称
C.函数在单调递减
D.该图象先向右平移个单位,再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,可得的图象
11．如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式,求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积．”若把以上这段文字写成公式,即．现有满足,且,则( )
A.外接圆的半径为
B.若的平分线与交于D,则的长为
C.若D为的中点,则的长为
D.若O为的外心,则
三、填空题
13．已知,则___________．
14．向量在向量上的投影向量为___________．
15．在中,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则的面积为__________．
16．设,,用表示,中较小者,记为,若方程恰有5三个不同的实数解,则实数c的取值范围为____________.
四、解答题
17．回答下列问题.
（1）已知i是虚数单位,若复数是纯虚数,求实数m的值;
（2）已知复数z,且,试求复数．
18．已知,.
（1）若,求;
（2）若与的夹角为,求;
（3）若与垂直,求与的夹角．
19．已知的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,.
(1)求角B；
(2)若外接圆的周长为,求周长的取值范围.
20．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从A处出发，前往B，C，D三个地点送餐.已知，，，且，.
（1）求的长度.
（2）假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止），求小夏完成送餐任务的最短时间.
21．如图,平面向量与是单位向量,夹角为,那么,向量、构成平面的一个基.若,则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标,表示为.
（1）记向量,,求向量在这个基下的斜坐标;
（2）设,,求;
（3）试探究两个向量在这个基下的垂直条件,要求写出探究过程.
22．如图,在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道,这条跑道一共由三个部分组成,其中第一部分为曲线段ABCD,该曲线段可近似看作函数,的图象,图象的最高点坐标为.第二部分是长为1千米的直线段DE,轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧.
（1）若新校门位于图中的B点,其离AF的距离为1千米,一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼,求该学生走过的路BO的长;
（2）若点P在弧上,点M和点N分别在线段和线段上,若平行四边形区域为学生的休息区域,记,请写出学生的休息区域的面积S关于的函数关系式,并求当为何值时,S取得最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：由得,
故复数的虚部为.
故选：A.
2．答案：D
解析：由,有,即,所以;
由令,根据二次函数的性质有,
所以,又因为,所以,;
所以.
故选：D.
3．答案：D
解析：对于A，当时，满足，此时可能有，A错误；
对于B，等价于或，故“”是“”的充分不必要条件，B错误；
对于C，“的一个对称中心是原点”等价于，故“的一个对称中心是原点”是“，的必要不充分条件，C错误；
对于D，等价于与的夹角，故“”的充分不必要条件是“与的夹角为钝角”，D正确.
故选D.
4．答案：D
解析：由得，，或，
，，从而.
故选：D.
5．答案：C
解析：设甲乙两地相距s,则平均速度故A错误,B错误;
又, ,
根据基本不等式及其取等号的条件可得：,
,即,
故C正确,D错误．
故选：C．
6．答案：D
解析：由，得，
化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
7．答案：D
解析：对于A、C,方程与的根分别为,,
即与的交点横坐标为,与的交点横坐标为,
由题知,,
与的图象关于对称,
都与相交,可得点与点,关于对称,
所以,即,故A,C正确;
设,显然函数在R上单调递增,
又,
对于B,由零点存在定理可知,根据对称性可得,B正确;
对于D,由B选项知,,,
则,
所以,D错误,
故选：D．
8．答案：C
解析：由题意等腰中,,,
故,设外接圆半径为R,则;
以的外接圆圆心为原点,以的垂直平分线为y轴,
过点O作的平行线为x轴,建立平面直角坐标系,

则,,,设,,
则,,,
则,
,,
故,
因为,故,
即的取值范围是,
故选：C.
9．答案：BD
解析：对A,由,可得,且,故A错误；
对B,若点Z的坐标为,则,,故对应的点的坐标为,
在第三象限,故B正确；
对C,若,则z的模为,故C错误；
对D,设,若,则,
则点Z的集合所构成的图形的面积为,故D正确.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：由图像可知：,周期, ;
由解得：
故函数
对于A：,故A正确;
对于B：故B正确;
对于C：当时,所以在上不单调．故C错误;
对于D：向右平移个单位得到,再把横坐标伸长为原来的2倍,可得的图象,故D正确．
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A：根据，
故，故A正确；
对于B：设，则，，
，又，
，F，D三点共线，，
且，，，故，故B错误；
对于D：由于，故，
，故D正确；
对于C，
，
，
，故C正确.
故选：ACD.
12．答案：BD
解析：根据题意由,利用正弦定理可得,
不妨设,,
利用余弦定理可得,又,可得;
又面积,解得,
所以,
对于选项A,设外接圆的半径为R,由正弦定理可得,
所以,即A错误;
对于B,分别作,垂直于,垂足为E,F,如下图所示：
易知的面积为,
可得,即B正确;
对于C,若D为的中点,易知,如下图所示：
所以可得,
可得,即C错误;
对于D,延长交外接圆于点,连接,;如下图所示：
易知即为直径,所以可知,;
利用投影向量的几何意义可得
,
即可得D正确.
故选：BD．
13．答案：
解析：,,
,
故答案为：.
14．答案：
解析：向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
15．答案：3
解析：在中,,,,
由余弦定理得：,
,
解得,
所以,
故答案为：3.
16．答案：
解析：由已知得,
作出的图象如下（图象中的实线部分）
又,则,即或,
由图易知有两个解,故有3个解,故.
故答案为：.
17．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）因为是纯虚数,
所以,
解得
（2）解法一：设．
,
解得,．故．
解法二：,
．故．
18．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）,与的夹角为或, ;
（2）,;
（3）,
,
,
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由正弦定理可得,即.
由余弦定理得.
又,所以.
(2)方法一：因为外接圆的周长为,所以外接圆的直径为.
由正弦定理得,则.
由余弦定理得.
因为,所以,即,
由三角形性质知,
当且仅当时,等号成立.
所以,故周长的取值范围为.
方法二：因为外接圆的周长为,所以外接圆的直径为.
由正弦定理得,则.
,
,
故周长的取值范围为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，所以，
在中，由余弦定理，得
.
（2）在中，由余弦定理，得，
所以，
所以.
在中，由余弦定理，得
，解得.
假设小夏先去B地，走路线，路长，
假设小夏先去C地，因为，所以走路线，路长，
假设小夏先去D地，走路线，路长，
由于，
所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为.
21．答案：（1）;
（2）1;
（3）,过程见解析
解析：（1）,所以,向量;
（2）由已知,有,,
;
（3）设,, ,,
,
的条件为.
22．答案：（1）千米
（2）;
解析：（1）由条件知,,又因为,则,所以.
又因为当时,有,且,所以.
所以曲线段ABCD的解析式为,.
由,即,或
解得,又因为,所以,,所以;
或,无论k为何值都不符合,舍去,
所以,即该学生走过的路BO的长为千米.
（2）由题可知,当时,,所以
则,,,所以.
在中,,,,,
则由正弦定理,可得,
故可得,
故
,
即,
当时,,此时S取得最大值.