2022-2023学年广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学高二下学期第二次学习效率检测数学试含答案

2022-2023学年广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学高二下学期第二次学习效率检测数学试

一、单选题

1．等差数列中，，求（    ）

A．45 B．15 C．18 D．36

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果

【详解】因为是等差数列，所以，解得，

所以，

故选：D

2．设是一个离散型随机变量，其分布列为

则等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分布列的知识列方程来求得.

【详解】依题意，，

解得（大于，舍去）或.

故选：C

3．函数在R上是（    ）

A．偶函数､增函数 B．奇函数､减函数

C．偶函数､减函数 D．奇函数､增函数

【答案】D

【分析】根据的关系可判断奇偶性，求导可判断单调性.

【详解】，所以是奇函数，

，所以是增函数.

故选：D

4．某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】基本事件总数为，大学恰好被选中的基本事件为：，根据古典概型概率公式即可求解.

【详解】依题意，

在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：，

大学恰好被选中的基本事件为：，

所以大学恰好被选中的概率为：.

故选：B.

5．已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性与导数的关系求函数的解集即可.

【详解】观察图象可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

为函数的极大值点，为函数的极小值点，

所以当时，，

当时，，

当或时，，

所以不等式的解集为，

故选：B.

6．2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲､乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（    ）

A．10 B．14 C．16 D．12

【答案】B

【分析】根据题目要求分“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”三类，分别计算出每类的种数再由分类加法计数原理即可求解.

【详解】符合题目要求的分类方法共：“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”，三类

①“甲3张乙1张”的基本事件为：甲123乙4；甲124乙3，甲134乙2，甲234乙1，共4种；

②“甲2张乙2张”的基本事件为：甲12乙34；甲13乙24，甲14乙23，甲23乙14，甲24乙13，甲34乙12，共6种；

③“甲1张乙3张”的基本事件为：乙123甲4；乙124甲3，乙134甲2，乙234甲1，共4种；

所以不同分法总数为：种.

故选：B．

7．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．或2

【答案】B

【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.

【详解】解：在中，因为，

所以，则，

所以，

故选：B

8．已知等比数列中，，则（    ）

A．20 B．17 C．16 D．15

【答案】B

【分析】根据等比数列通项公式项的性质求解即可.

【详解】.

故选:B.

9．过点的直线l被圆截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ）

A．1 B．2 C．-2 D．-1

【答案】D

【分析】根据圆的性质得到过点与圆心垂直时，此时弦长最短，求得，即可求得直线的斜率.

【详解】由圆，可得圆心坐标为，

根据圆的性质，可得当过点与圆心垂直时，此时弦长最短，

因为，所以直线的斜率为.

故选：D.

10．已知，则事件A与B的关系是（    ）

A．A与B互斥不对立 B．A与B对立

C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立

【答案】C

【分析】由互斥事件加法公式和独立事件乘法公式计算判断.

【详解】由，可得，

因为，则A与B不互斥，不对立，

由可得，

因为，所以A与B相互独立

故选：C

11．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】通过构造函数，利用的单调性即可比较出的大小关系.

【详解】令，则，

所以时，，时，,

即在区间上单调递增，在区间上单调递减，

因为，，，

又因为，在区间上单调递增，

所以，

故选：B.

12．如图，在四棱锥中，平面底面，平面底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用线面角的坐标表示求解即可.

【详解】因为四边形为正方形，所以，

因为平面底面，平面底面，底面，

所以平面，

又因为平面，所以，同理可得，

所以两两垂直，

以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，， ，

所以，

易知平面的一个法向量为，

则，

所以，，

故选：C

二、填空题

13．今年3月23-24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是      .

【答案】135

【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得 ，乘以总人数即可得出答案.

【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，

因为，所以，

则数学成绩为优秀的人数是.

故答案为：135.

14．设，则方程的解集为      .

【答案】/

【分析】解方程即得解.

【详解】解：由题得.

所以方程的解集为.

故答案为：

15．已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数            ．

【答案】

【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

【详解】函数，求导得：，，而，

因此函数的图象在处的切线方程为：，

令，得，于是，解得，

所以.

故答案为：

16．若数列为等比数列，且，，则___________.

【答案】256

【分析】由等比数列片段和性质结合等比数列的通项公式，即可求解

【详解】∵是等比数列，

∴，，，，为等比数列，

且公比，

∴.

故答案为：

17．如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是         ．

【答案】

【分析】共面分为平行和相交，平行时，只需要考虑对面平行中的直线即可，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可.

【详解】解：由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组；

若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组，

若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接，

先考虑下底面，根据正六边形性质可知，所以，

且，故共面，且共面，

故相交，且相交，故共面有2组，

则正六边形对角线所对应的有2组共面的面对角线，

同理可知正六边形对角线所对的分别有两组，共6组，

故对于上底面对角线，，同样各对两组，共6组，

若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，

所以共面的概率是．

故答案为：

18．已知，是方程（）的两根，且，则的最大值是        ．

【答案】

【分析】由题意得，即，所以，构造函数，()，结合函数的单调性及最值求解即可．

【详解】由题意是方程的两根，且，

则，，即，

所以，()，

令，()，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

则当时，取最大值，

所以的最大值是．

故答案为：．

三、解答题

19．已知数列是递增的等比数列，且.

(1)求数列的公比；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量从而得出的通项公式；

（2）由(1)可得，再由裂项相消法求和即可.

【详解】（1）设等比数列的公比为，所以有

联立两式可得或者.

又因为数列为递增数列，所以，所以

（2）数列的通项公式为，

，

.

20．甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．已知甲，乙两人审核过关的概率分别为，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为

（1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；

（2）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望.

【答案】(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；

(2) 的数学期望为.

【分析】（1）利用事件的独立性可求概率

（2）易得，求出对应的概率后可得分布列，利用公式可求期望.

【详解】解：(1)设“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则

.

(2)

，

，

，

答：(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；

(2) 的数学期望为.

21．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.

（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.

【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．

所以．

又，所以，解得．

所以．

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，，

由，得．

则，．

因为线段中点的横坐标为，

所以．

解得，即，经检验符合题意．

所以直线l的方程为．

22．已知函数.

(1)求的单调性；

(2)若关于的方程在上有两个不相等的零点，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解单调区间，

（2）将问题转化成函数的图象与函数的图象在上有两个不同的交点，利用导数求解的单调性，计算端点处的函数值即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为，

由，得，所以的单调递增区间为，

由，得，且，所以的单调递减区间为

（2）关于的方程在上有两个不相等的零点等价于函数的图象与函数的图象在上有两个不同的交点，

由，得；由，得

所以当时，函数取得极大值，为

又，，，且

所以实数的取值范围为