广东省东莞市第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月测试数学试题

这是一份广东省东莞市第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月测试数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题5分，共8题）
1.已知，则（ ）
A.B.C.0D.1
2.已知单位向量、满足，则（ ）
A.0B.C.1D.2
3.如图，在太极图中，A，B分别为太极图中的最低点和最高点，经过大圆和小圆的圆心，且两个小圆的圆心是线段的两个四等分点（异于中点），过A作黑色小圆的切线，切点为C，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
4.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A.B.
C.D.
5.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A.锐角三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰三角形
6.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则的外接圆直径为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，已知与有一个公共顶点A，且与的交点O平分，若，，则的最小值为（ ）
A.4B.C.D.6
8.在扇形中，，，A是中点，点P在弧上，则的最小值为（ ）
A.0B.2C.D.
二、多选题（每题6分，共3题）
9.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则的值为-2B.若，则的值为
C.若，则与的夹角为锐角D.若，则
10.在中，，，若解此三角形仅有一解，则边长度的可能取值为（ ）
A.B.C.D.
11.已知的外心是，其外接圆半径为1，设，则下列正确的是（ ）
A.若，，则为直角三角形
B.若，则为正三角形
C.若，，则
D.若，，则为顶角为30°的等腰三角形
三、填空题（每题5分，共3题）
12.i是虚数单位，__________（用的形式表示，）.
13.设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则__________.
14.神舟十三号三位航天英雄在太空出差180余天后，顺利返回地面.如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻位于点C，预计垂直落在地面点D处，在地面同一水平线上的A、B两个观测点，分别观测到点C的仰角为15°，45°，若千米，则点C距离地面的高度约为千米（参考数据：）
四、解答题
15.（本小题13分）已知复数为纯虚数，是实数，是虚数单位.
（1）求复数；
（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围.
16.（本小题15分）已知向量，的夹角为60°，且.
（1）若，求的坐标；
（2）若，求的值.
17.（本小题15分）在三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若，求边上的高的最大值
18.（本小题17分）如图所示，为了测量河对岸地面上A，B两点间的距离，某人在河岸边上选取了C，D两点，使得，且（米），现测得，，，其中，.求；
（1）的值；
（2）A，B两点间的距离（精确到1米）.（参考数据）
19.（本小题17分）阅读材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：
若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式；材料二：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》；中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式；材料三：秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边直接求三角形面积的问题，海伦公式形式优美，容易记忆，体现了数学的对称美，秦九韶公式虽然与海伦公式形式不一样，但与海伦公式完全等价，且由秦九韶在不借助余弦定理的情况下独立推出，充分说明了我国古代学者具有很高的数学水平；材料四：印度数学家婆罗摩笈多将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即设凸四边形的四条边长分别为a，b，c，d，，凸四边形的一对对角和的半为，则凸四边形的面积为.这个公式称之为婆罗摩笈多公式.请你结合阅读材料解答下面的问题：
（1）在下面两个问题中选择一个作答：（如果多做，按所做的第一个问题给分）①证明秦九韶公式与海伦公式的等价性；②已知圆内接四边形中，，，，，求的面积；
（2）中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为6，其内切圆半径为1，，，求b，c.
高一数学4月测试参考答案：
1.A 2.C
3.B
【详解】如图，记下方小圆圆心为，
则，因为在上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
4.A如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则，，，
设向量，则解得
所以.
5.C由正弦定理得：，
即，
又，∴，∴，∴，
∴为直角三角形.
6.D由得，，
即：，可得.
又因为，可得.
又已知，，
由余弦定理得，
解得.
则外接圆直径.
7.C【详解】∵，又，，∴，
又M，O，N三点共线，∴，
即得，
易知，，
∴
.
当且仅当，即时，取等号，故选C.
8.D如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，，设，.
于是，，
所以
，
其中锐角满足，，
因此当，即时，.
所以的最小值为.
9.AB
对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，与同向，此时与的夹角为0°，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，当时，，，，，显然，当时，，，，，此时，故D错误.
10.BD令所对的边为，由正弦定理知：，即，
∴如上图，当在处即，有，则，为直角三角形，此时三角形唯一；
当在射线上，即时三角形唯一，则.
11.ABD对于A，若，，则，
则是中点，
又因为是的外心，则为直角三角形，故A正确.
对于B，若，则，即是的重心，
又因为是的外心，所以为正三角形，故B正确.
对于C，若，，则，平方得，，因为，所以代入得，
则
，
故C错误.
对于D，若，，则，即，
如下图所示，取中点，则，
所以在的中线上，又因为是的外心，所以，
即，则是等腰三角形，
由，平方得，
因为，所以，
即，所以，
由圆的性质可知，
则为顶角为30°的等腰三角形，故D正确.
12.
是周期为4的运算，，代入原式得
.
13.-4
因为向量与的方向相反，所以存在，使得，
又，是两个不共线的非零向量，
所以，解得，或（舍去）.
14.8.4千米
设，则，，
所以，
又，
则，即千米.
15.（1）由已知复数为纯虚数，设（且），
所以.
又因为是实数，所以，
解得，即.
（2）因为，所以，
又因为复数所表示的点在第一象限，
所以解得，
即实数的取值范围为.
16.（1）向量，的夹角为60°，且，设，若，则，∴.
∵，∴，故.
（2）因为，
∴，
∵，∴.
∴.
17.（1）根据正弦定理可得，
又，∴.
∵，∴.
（2），
∴，
当且仅当时取等号.
∵，∴，
∴，∴，
∴的最大值为.
18.（1）由，为锐角，，，
可得，，，
.
（2）三角形中，由，则，则，
设到距离为，则，
，则
（米）
答：A，B两点间的距离为119米.
19.（1）解：若选择①：由秦九韶公式证明海伦公式：
，
设，
所以
上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦公式是等价的.
若选择②：因为，
且，，，，
代入可得，
所以
因为四边形是圆内接四边形，对角和为180°，
所以，
可得.
（2）解：设内切圆半径为，
因为，
代入，，，可得，①
又由，
由海伦公式，
可得，
化简得，即，
代入①，可得，②
联立方程组，且，解得，.