安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二下学期开学检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二下学期开学检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）( )
A.B.
C.D.
2．椭圆的离心率为，则( )
A.B.C.D.2
3．记等差数列的前n项和为，，，则( )
A.120B.140C.160D.180
4．若在R上可导，，则( )
A.1B.-1C.-2D.2
5．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，共中.如果把图2中的直角三角形继续作下去，记，，…，的长度构成的数列为，则( )
A.25B.24C.5D.4
6．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度为( )．
A.B.C.2D.
7．设椭圆的左、右焦点分别为，，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若，，且时，都有，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且.下列结论中，错误的有( )
A.若，，且，则ABCD是平行四边形
B.若M是AB中点，N是CD中点，则
C.若，，，则CD在上的射影是BD
D.直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等
10．已知直线与圆,则( )
A.直线l必过定点
B.当时,l被圆C截得的弦长为
C.直线l与圆C可能相切
D.直线l与圆C不可能相离
11．对于函数，下列说法正确的有( )
A.在处取得极大值
B.只有一个零点
C.
D.若在上恒成立，则
三、填空题
12．已知函数在点处的切线过点，，，则的最小值为__________.
13．已知数列满足，，则，的最小值为______．
14．若P,Q分别是抛物线与圆上的点则的最小值为______.
四、解答题
15．已知圆C的方程为．
（1）求过点且与圆C相切的直线方程；
（2）若直线与圆C相交于A，B，求弦长的值．
16．在四棱锥中底面ABCD，底面ABCD是菱形，，，点E在PB上.
（1）求证：平面PBD；
（2）若E为PB中点，求直线PB与平面CDE所成的角的正弦值.
17．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，.
（1）求，，；
（2）求数列的前n项和．
18．设函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若在R上恒成立，求实数a的取值范围．
19．已知双曲线，过点且焦距为10．
（1）求C的方程；
（2）过点作直线l与双曲线C交于P、Q两点，求直线l斜率的取值范围．
（3）已知点，，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
参考答案
1．答案：D
解析：空间向量共面定理：，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，其充要条件是.
对A，因为，所以A，B，C，M四点不共面；
对B，因为，所以A，B，C，M四点不共面；
对C，由，可得，
因为，所以A，B，C，M四点不共面；
对D，由，可得，
即，因为，所以A，B，C，M四点共面.
故选：D
2．答案：A
解析：由题意得，解得，
故选：A.
3．答案：C
解析：因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
4．答案：D
解析：由，可得，
所以，解得.
故选：D.
5．答案：C
解析：由题意知，，，，…，都是直角三角形，，且，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，.又，，数列的通项公式为，.故选C.
6．答案：C
解析：根据题意，取向量，，为基底，
则，
所以
，所以
所以线段的长度为
故选：C
7．答案：D
解析：由题意可得，，如图，，则，，
所以，
所以，，．
故选：D．
8．答案：D
解析：令，
因为，，且时，都有，
即，，且时，都有，
所以在上单调递增，
即在上恒成立，即在上恒成立.
令，，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误；
对于B，取BC的中点H，连接HM，则HM是的中位线，所以，
因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；
对于C，若，，所以由线面垂直的判定可得平面ABC，所以，
由结合面面垂直的性质可得，所以点C在平面内的投影为点D，
所以CD在平面内的投影为BD，故C正确；
对于D，由二面角的定义可得当且仅当，时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误.
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：，联立得所以直线过点（-2,2）.故A正确.当时，，圆心（0,2）到直线l的距离，弦长为，故B正确.直线所过定点（-2,2）在圆上，过点（-2,2）与圆C相切的直线是，但直线，表示斜率存在的直线，表示不了直线，故不存在直线与圆C相切，故C错误.直线所过定点（-2,2）在圆上，所以直线l与圆C总有公共点，不可能相离，故D正确.
11．答案：AB
解析：对于A，函数，，
令，即，解得，
当时，，故在上为单调递增函数，
当时，，故在上为单调递减函数，
在时取得极大值，故A正确;
对于B，在上为单调递增函数，，函数在上有唯一零点，当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确；
对于C，在上为单调递减函数，，，故C错误；
对与D，由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，令，解得：，
当时，，函数在上单调递增;
当时，，函数在上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误.
故选：.
12．答案：12
解析：由函数，可得，
则，，
故函数在点处的切线方程为，即，
则由题意可得，，
故，
当且仅当，即，取等号，
即的最小值为12，
故答案为：12
13．答案：
解析：因为，，，所以，
所以，因此数列是首项为，公比为4的等比数列，
所以，
当时，，
因为时，，所以，
因此当或时，取得最小值，为.
故答案为：.
14．答案：
解析：方法一:圆,圆心,,
令,,.
方法二:,,切线,当切线时,PC取最小值,
此时,即时PC取最小值,.
15．答案：（1）或；
（2）.
解析：（1）圆的标准方程为，圆心为，半径，
①当直线斜率不存在时，由过点得直线方程为，与的距离为2，与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为，即，
圆心到直线的距离，解得．
直线方程为．
综上，所求直线方程为或．
（2）圆心到直线与的距离，
又半径，弦长．
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）底面ABCD，平面ABCD，，
又在菱形ABCD中，，且，PD，平面PBD，
所以平面PBD.
（2）设AC，BD相交于点O，为PB中点，
底面ABCD，以O为原点OA，OB，OE分别为x轴，y轴，z轴建立如图直角坐标系.
，，，而菱形ABCD的边长为2，
则，为正三角形，，
，，，，，.
，，，
设平面CDE的法向量为，则，
令，，，，
设PB与平面CDE所成的角为，
则.
17．答案： （1）；；
（2），
解析：（1）因为，，又数列各项均不为零，所以．
当时，，所以，
当时，，所以，
，两式相减可得，，
；
（2）由（1）可知，，
设，
当时，数列的前n项和为21，
当，数列的前n项和为，
设
，
两式相减得，
，
解得：，
所以，，
当时，
所以，.
18．答案：（1）；
（2）答案见解析；（3）
解析：（1），，，，
切线方程为：.
（2），
①当时，，在R上单调递增；
②当时，，
综上所述：
时，的单调递增区间为R；
时，单调递减区间为，单调递增区间.
（3），
令，即，.
①时，，单调递增，，故不成立，舍去.
②时，恒成立，此时.
③时，由（2）知，，故只需即可，
，
即，，.
综上所述：.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）见解析
解析：（1）由题意可得：，故，，所以C的方程为．
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设，
与双曲线，联立得：．
因为直线l与双曲线C交于P、Q两点，所以，且，
由，得，
由，得，
解得：
直线l斜率的取值范围为．
（3）设，，，
当时，即，解得，则，
双曲线的渐近线方程为，
故当直线DE与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线DE方程为，
令，则，故．
则直线．
由，得，
所以，．
因为，
，
．
所以，所以
即．
负
0
正
减
极小值
增