2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二（下）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若直线l1：3x+ay+1=0与直线l2：x−4y+2=0平行，则a=( )
A. 1B. −1C. 12D. −12
2.数列{an}满足a1=1，且an+1−an=n+1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为( )
A. an=n(n+1)2B. an=n2+12C. an=n(n−1)2D. an=n2+n
3.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
4.将4名新转来的同学全部分配到高三(1)、(2)、(3)三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到高三(1)班，那么不同的分配方案有( )
A. 12种B. 18种C. 24种D. 30种
5.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )
A. 12B. 22C. 32D. 13
6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为抛物线C的焦点.若|FA|=4|FB|，则k=( )
A. 45B. 155C. 23D. 2 23
7.函数f(x)=12x+csx(x>0)的所有极值点从小到大排列成数列{an}，设Sn是{an}的前n项和，则下列结论中正确的是( )
A. 数列{an}为等差数列B. a4=17π6
C. sinS2021=0D. tan(a3+a7)= 33
8.直线x=a(a>0)分别与曲线y=2x+1，y=x+lnx相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A. 1B. 2C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C的方程为x2k−3+y29−k=1(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A. 当3B. 当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=± 33x
C. “k>9或k<3”是“曲线C为双曲线”的充要条件
D. 不存在实数k使得曲线C为离心率为 2的双曲线
10.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a7=27，S9=171，则( )
A. S21=21a10
B. 若bn=(−1)n⋅an，则数列{bn}的前2020项和为4040
C. 数列{2a2n}是公比为28的等比数列
D. 若bn=1anan+1，则数列{bn}的前2020项和为202024249
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1(包含端点)上的动点，下列命题正确的是( )
A. 二面角D1−AB1−C的大小为π3
B. CH⊥BD
C. 若O在正方形DCC1D1内部，且|OB|= 62，则点O的轨迹长度为 24
D. 若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为[ 33, 22]
12.已知函数f(x)=xex，直线l：y=a(x+1)，则下列说法正确的有( )
A. f(2)>f(3)
B. 若f(x)=m有两个不等实根，则m<1e
C. 若有且仅有2个整数x0，使得点(x0,f(x0))在直线l的上方，则实数a的取值范围为(34e3,23e2]
D. 当a≥12 e时，直线l恒在曲线f(x)上方
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若正项数列{an}满足an+1=4an+6，则称{an}为“梦想数列”，已知数列{1bn−2}为“梦想数列”，且b1=14，则b3= ______．
14.{an}和{bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn=5n+72n+3，则a7b7= ______．
15.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为______．
16.设函数f(x)=xa+1ex+alnx，若x≥1，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知半径大于1的圆C与x轴，y轴均相切，圆心C在第一象限，点(2,1)在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)过坐标原点的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|=4 5，求直线的方程．
18.(本小题12分)
若数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，an+1−3an=0(n∈N*)，等差数列{bn}满足b1=3a1，b3=S2+3．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=bn3an，求数列{cn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形且AD=2AB=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E，F分别是AD，PB的中点．
(1)求证：AF//平面PCE；
(2)求直线CF与平面PCE所成角的正弦值，
20.(本小题12分)
已知数列{an}的各项均为正数，对任意的n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn=16an2+12an+13，并且a2，a4，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(−1)n+1an⋅an+1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x24+y23=1，A1，A2为椭圆C的左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点．
(1)求直线QA1和QA2的斜率之积；
(2)直线l交椭圆C于点M，N两点(l不过点A2)，直线MA2与直线NA2的斜率分别是k1，k2且k1k2=−94，直线A1M和直线A2N交于点P(x0,y0).
①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明：x0为定值，并求出该定值．
22.(本小题12分)
设f(x)=(k−1)ex−x−k+1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为直线l1：3x+ay+1=0与直线l2：x−4y+2=0平行，
所以31=a−4≠12，
解得a=−12．
故选：D．
写出两条直线平行的充要条件，求出即可．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵an+1−an=n+1，
∴当n≥2时，an−an−1=n，an−1−an−2=n−1，…，a2−a1=2，
由累加法得an−a1=2+3+...+n，
又a1=1，
∴an=1+2+...+n=n(n+1)2，
当n=1时，a1=1，符合题意，
故选：A．
由题意得当n≥2时，an−an−1=n，an−1−an−2=n−1，…，a2−a1=2，利用累加法和等差数列的求和公式，即可得出答案．
本题考查由数列的递推式求出数列的通项，考查累加法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：(x+1x)10展开式的通项公式为：
Tr+1=C10r⋅x10−r⋅(1x)r=C10r⋅x10−2r；
令10−2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为C103；
令10−2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为C102；
所以(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为：
C103−aC102=30，
解得a=2．
故选：D．
根据题意求出(x+1x)10展开式中含x4项、x6项的系数，得出(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值．
本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题目．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查排列组合问题，考查分布乘法计数原理，属于基础题．
先安排约束条件多的元素，甲是这样的元素，甲同学不能分配到高三(1)班，则甲可以放在(2)，(3)班，另外三个同学可以在三个位置排列，也可以从三个中选两个为一组，在(2)，(3)班排列．
【解答】
解：甲同学不能分配到高三(1)班，则甲可以放在(2)，(3)班，
有A21种方法，
另外三个同学可以在三个位置排列A33，
也可以从三个中选两个为一组，在其余的2个班排列C32A22，
∴不同的分配方案有A21(A33+C32A22)=24，
故选C．
5.【答案】C
【解析】【分析】
利用已知条件转化求解a、b关系，然后求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
【解答】
解：椭圆的长轴为2a，短轴的长为2b，
“切面”是一个椭圆，“切面”所在平面与底面成60°角，
可得2b2a=cs60°，即a=2b，
所以e=ca= a2−b2a2= 32．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：直线y=k(x+2)(k>0)恒过D(−2,0)，抛物线C：y2=8x的焦点坐标F(2,0)，|FA|=4|FB|，
设|FB|=a，则|FA|=4a，可得yByA=14= 8(a−2) 8(4a−2)，解得a=52，可得B(12,2)，B的坐标代入直线方程，
可得2=k(12+2)，解得k=45．
故选：A．
画出图形，利用比例关系，转化求解B的坐标，代入直线方程，求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：f′(x)=12−sinx，x>0，
令f′(x)=0可得x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ，k∈Z，
易得函数的极值点为x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ，k∈Z，
从小到大为π6,5π6，13π6…，不是等差数列，A错误；
a4=5π6+2π=17π6，B正确；
S2021=a1+a2+…+a2021=π6+5π6+13π6+17π6+...+π6+2020π
=(π6+13π6+…+π6+2020π)+(5π6+17π6+…+5π6+2018π)
=π6×1011+1010π×1011+5π6×1010+1009π×1010=π6+1010π×2021，
由诱导公式得sinS2021=sin(π6+1010π×2021)=sinπ6=12，C错误；
tan(a3+a7)=tan(13π6+π6+6π)=tanπ3= 3，D错误．
故选：B．
先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查导数与极值，三角诱导公式，特殊角三角函数值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：令f(x)=2x+1−x−lnx=x−lnx+1，
则f′(x)=1−1x，
∴当01时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴当x=1时，即a=1时，f(x)取得最小值f(1)=2，
∴|AB|的最小值为2．
故选：B．
令f(x)=2x+1−x−lnx=x−lnx+1，求得导数和单调区间、极值且为最值，即可得到所求最小值．
本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键，是中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：k=6∈(3,9)，曲线C为圆，故A错误；
当k=0时，曲线C为y29−x23=1，是双曲线，a=3，b= 3，其渐近线方程为y=± 3x，故B错误；
若曲线C：x2k−3+y29−k=1(k∈R)表示双曲线，则(k−3)(9−k)<0，即k>9或k<3，
∴“k>9或k<3”是“曲线C为双曲线”的充要条件，故C正确；
若曲线C：x2k−3+y29−k=1(k∈R)的离心率为 2，则k−3=k−9或9−k=3−k，此两方程均无解，
∴不存在实数k使得曲线C为离心率为 2的双曲线，故D正确．
故选：CD．
由椭圆与双曲线的标准方程及几何性质逐一分析四个选项得答案．
本题考查椭圆、双曲线的标准方程与几何性质，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，由a7=27，S9=171，可得a1+6d=27，9a1+36d=171，
解得a1=3，d=4，则an=4n−1，Sn=3n+12n(n−1)×4=2n2+n，
S21=21×43，21a10=21×39，即S21≠21a10，故A错误；
bn=(−1)n⋅an=(−1)n(4n−1)，
可得数列{bn}的前2020项和为−3+7−11+15−19+...−(4×2019−1)+(4×2020−1)
=4+4+...+4=4×1010=4040，故B正确；
由2a2n2a2(n−1)=2a2n−a2(n−1)=28，可得{2a2n}为等比数列，故C正确；
由bn=1anan+1=1(4n−1)(4n+3)=14(14n−1−14n+3)，
则数列{bn}的前2020项和为14(13−17+17−111+...+18079−18083)=14×(13−18083)=202024249，故D正确．
故选：BCD．
由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断AB；由等比数列的定义可判断C；由数列的裂项相消求和，可判断D．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，如图，易得D1B1=D1A=B1C=AC=D1C= 2，
取AB1中点O，连接D1O，OC，可得D1O⊥AB1，CO⊥AB1，
∴∠D1OC为二面角D1−AB1−C的平面角，
在△D1OC中，∵D1O=CO= 2× 32= 62，D1C= 2，
∴cs∠D1OC=64+64−22× 62× 62=13，故A错误；
对于B，如图，易得DB⊥面A1ACC1，由CH⊂面A1ACC1，可得CH⊥BD，故B正确；
对于C：由O在正方形DCC1D1 内部，且|OB|= 62，
若E，F分别棱CC1，CD上的点，且CE=CF= 22，此时BE=BF= 62，
由图知：O在EF上，故以C为圆心， 22为半径的四分之一圆弧上，
所以点O轨迹的长度为14×2π× 22= 24π，故C错误；
对于D，如图，建立空间直角坐标系，则C(0,1,0)，设H(1,0,t)，0≤t≤1，
∵CH⊥平面β，∴平面β的法向量为CH=(1,−1,t)，
则直线CD与平面β所成角的正弦值为|CH⋅DC||CH|⋅|DC|=1 2+t2∈[ 33, 22]，故D正确．
故选：BD．
A，取AB1中点O，连接D1O，OC，可得∠D1OC为二面角D1−AB1−C的平面角，求出∠D1OC即可判定A；
B，利用DB⊥面A1ACC1，即可判定B；
C，由已知确定O轨迹图形，进而求其长度判断C；
D，空间直角坐标系，设H(1,0,t)，0≤t≤1，则直线CD与平面β所成角的正弦值为|CH⋅DC||CH|⋅|DC|=1 2+t2∈[ 33, 22]，可判断D．
本题考查了空间中线面、面面的位置关系，考查了线面角和二面角的求法，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：f(x)=xex,f′(x)=1−xex，
故当x>1时，f′(x)<0，
此时f(x)单调递减，
当00，
此时f(x)单调递增，
故当x=1时，f(x)取极大值也是最大值，
故f(x)≤f(1)=1e，
又f(x)=xex>0(x>0)，f(x)=xex<0(x<0)，
画出f(x)的大致图象如图：
对于A，由于f(x)在x>1上单调递减，
故f(2)>f(3)，故A正确，
对于B，若f(x)=m有两个不等实根，
则0对于C，由于直线l：y=a(x+1)恒过定点(−1,0)，
若有且仅有2个整数x0，使得点(x0,f(x0))在直线l的上方，
则xex>a(x+1)只有2个整数解x0，
结合图象可知：这两个整数解只能是1和2，
故f(1)=1e>2af(2)=2e2>3af(3)=3e3≤4a，
解得34e3≤a<23e2，
故C错误，
对于D，当直线l：y=a(x+1)与f(x)=xex相切于第一象限时，
设切点为(m,n)，
所以切点为(m,n)的切线方程为y−mem=1−mem(x−m)，(−1,0)在切线上，
此时0−mem=1−mem(−1−m)⇒m2+m−1=0，
故m=−1+ 52∈(12,1)，
故切点处的横坐标为−1+ 52，
故当f′(12)=12 e≥f′(m)，
当a≥12 e时，即a≥f′(12)=12 e，
故此时直线l恒在曲线f(x)上方．
故选：AD．
求导由即可判断AB，结合函数图象可得f(1)=1e>2af(2)=2e2>3af(3)=3e3≤4a，即可判断C，利用相切时的切线斜率即可求解．
本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题．
13.【答案】164
【解析】解：∵数列{an}满足an+1=4an+6，即an+1+2=4(an+2)，
∴正项数列{1bn−2}为“梦想数列”，可得1bn+1−2+2=4(1bn−2+2)，即1bn+1=4×1bn，
∴bn+1=14bn，
∵b1=14，则b3=14×14×14=164．
故答案为：164．
由“梦想数列”的定义可得an+1+2=4(an+2)，进而可得bn+1=14bn，进而可得答案．
本题考查数列递推关系式的应用，注意由“梦想数列”推得an+1+2=4(an+2)，属于基础题．
14.【答案】7229
【解析】解：因为{an}和{bn}都是等差数列，
若SnTn=5n+72n+3，则a7b7=2a72b7=132(a1+a13)132(b1+b13)=S13T13=5×13+72×13+3=7229．
故答案为：7229．
由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
15.【答案】 5
【解析】解：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=600，∴∠BCC1=∠DCC1=120°，
又∵A1A=3，BC=DC=1，∴CB⋅CC1=CD⋅CC1=|CD| |CC1|cs120°=−32．
∵底面是边长为1的正方形，∴∠BCD=90°，∴CB⋅CD=|CB| |CD|cs90°=0．
∵CA1=CB+CD+CC1，
∴CA12=(CB+CD+CC1)2=CB2+CD2+CC12+2CB⋅CC1+2CD⋅CC1+2CB⋅CD
=12+12+32+2×(−32)×2+0=5．
∴|CA1|= 5．
故答案为 5．
利用平行六面体的性质、向量的运算性质、数量积、模的计算公式即可得出．
熟练掌握平行六面体的性质、向量的运算性质、数量积、模的计算公式是解题的关键．
16.【答案】[−e,+∞)
【解析】解：当a≥0时，若x≥1，则xa+1ex>0，alnx>0，f(x)≥0恒成立，符合题意；
当a<0，xa+1ex≥−alnx，所以xex≥x−alnx−a，
构造函数g(x)=xex，g′(x)=ex(x+1)，x>0时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为a<0，所以−a>0，则x≥1时，lnx−a>0，
所以xex≥x−alnx−a⇒g(x)≥g(lnx−a)⇒x≥lnx−a⇒lnx≤−1ax，
−1a≥lnxx，令h(x)=lnxx⇒h′(x)=1−lnxx2，
所以h(x)在(1,e)上递增，(e,+∞)上递减，
所以h(x)max=h(e)=1e，
所以−1a≥1e，又a<0，所以−e≤a<0，
综上可得，a≥−e．
故答案为：[−e,+∞)．
当a≥0时，符合题意；当a<0，构造函数g(x)=xex，可得−1a≥lnxx，再构造h(x)=lnxx，利用−1a≥h(x)max，可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可设圆的方程为(x−r)2+(y−r)2=r2，
则(2−r)2+(1−r)2=r2，解得r=1(舍去)，或r=5．
则圆C的方程为(x−5)2+(y−5)2=25；
(2)设直线l：y=kx(由题意可知直线的斜率存在)，
由|AB|=4 5，可得圆心C到直线l的距离d= r2−(AB2)2= 25−20= 5，
∴|5k−5| k2+1= 5，解得k=2或k=12．
∴所求直线方程为y=2x或y=12x．
【解析】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
(1)由题意可设圆的方程为(x−r)2+(y−r)2=r2，把已知点的坐标代入求解r，则答案可求；
(2)设直线l：y=kx(由题意可知直线的斜率存在)，由弦长求出弦心距，再由勾股定理列式求解k，则直线方程可求．
18.【答案】解：(1)由题意，可知a1=1，an+1=3an，
故数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴an=1⋅3n−1=3n−1，
∴b1=3a1=3，
b3=S2+3=a1+a2+3=1+3+3=7，
设等差数列{bn}的公差为d，
则d=b3−b12=7−32=2，
∴bn=3+2(n−1)=2n+1；
(2)由(1)得，cn=2n+13n，
则Tn=331+532+…+2n+13n，
∴13Tn=332+533+…+2n−13n+2n+13n+1，
两式相减可得：
23Tn=13+2(13+132+…+13n)−2n+13n+1
=13+2×13(1−13n)1−13−2n+13n+1
=43−2n+43n+1，
∴Tn=2−n+23n．
【解析】(1)根据等比数列的定义及通项公式，等差数列的通项公式即可求解；
(2)根据错位相减法求和即可求解．
本题考查等比数列的定义及通项公式，等差数列的通项公式，错位相减法求和，属中档题．
19.【答案】(1)证明：取PC的中点M，连接MF、ME，

∵F是PB的中点，M是PC的中点，∴MF//BC，且MF=12BC，
∵底面ABCD为矩形，E是AD的中点，∴AE/​/BC，AE=12BC，可得MF//AE且MF=AE，
∴四边形AFME是平行四边形，可得AF//ME，
∵AF⊄平面PCE，ME⊂平面PCE，∴AF/​/平面PCE．
(2)解：∵侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，∴PE⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥底面ABCD，
取BC中点H，以E为坐标原点，ED、EH、EP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

可得C(1,1,0)，P(0,0, 3)，B(−1,1,0)，F(−12,12, 32)，E(0,0,0)，
设平面PEC的法向量m=(x1,y1,z1)，则CE⋅m=−x1−y1=0EP⋅m= 3z1=0，解得z1=0，
取x1=1得y1=−1，平面PEC的一个法向量为m=(1,−1,0)，
CF=(−32,−12, 32)，设直线CF与平面PCE所成角为α，
可得sinα=|cs|=|CF⋅m||CF|⋅|m|= 2613，即直线CF与平面PCE所成角的正弦值为 2613．
【解析】(1)根据题意作出如图所示的辅助线，先证出AF与ME平行，进而利用线面平行判定定理证出AF//平面PCE；
(2)建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，然后利用向量CF与平面PCE的法向量的所成角算出答案．
本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质、利用空间向量求直线与平面所成角等知识，属于中档题．
20.【答案】解(1)∵对任意n∈N*，有Sn=16an2+12an+13①
∴当n=1时，有S1=a1=16a12+12a1+13，解得a1=1或2，
当n≥2时，有Sn−1=16an−12+12an−1+13②
①−②并整理得(an+an−1)(an−an−1−3)=0，
而数列{an}的各项均为正数，∴an−an−1=3，
当a1=1时，an=1+3(n−1)=3n−2，此时a42=a2a9成立；
当a1=2时，an=2+3(n−1)=3n−1，此时a42=a2a9不成立，舍去，
∴an=3n−2,n∈N*；
(2)由(1)可知，数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，且an=3n−2，
∴T2n=b1+b2+…+b2n
=a1a2−a2a3+a3a4−a4a5+…−a2na2n+1
=a2(a1−a3)+a4(a3−a5)+…+a2n(a2n−1−a2n+1)
=−6a2−6a4−…−6a2n=−6(a2+a4+…+a2n)
=−6×n(4+6n−2)2
=−18n2−6n．
【解析】(1)当n=1时，有S1=a1=16a12+12a1+13，解得a1=1或2，利用an=Sn−Sn−1(n≥2)，得到(an+an−1)(an−an−1−3)=0，所以an−an−1=3，经检验当a1=1时，an=1+3(n−1)=3n−2，此时a42=a2a9成立，所以an=3n−2,n∈N*；
(2)由(1)可知，数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，且an=3n−2，从而得到T2n=−6a2−6a4−…−6a2n=−6(a2+a4+…+a2n)，再利用等差数列前n项和公式即可求解．
本题主要考查了数列的递推式以及数列求和，是中档题．
21.【答案】解：(1)椭圆C：x24+y23=1，则a=2，
∴A1(−2,0)，A2(2,0)，
设Q(x0,y0)，x024+y023=1．
则kQA1⋅kQA2=y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−4=3(1−x024)x02−4=−34．
(2)①设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
直线MN的方程为my=x−t，联立my=x−tx24+y23=1，
化为(3m2+4)y2+6mty+3t2−12=0，
Δ>0，
y1+y2=−6 mt3m2+4，y1y2=3t2−123m2+4，
∵k1k2=−94，
∴y1x1−2⋅y2x2−2=−94，
化为4y1y2+9(my1+t−2)(my2+t−2)=0，
整理为9m(t−2)(y1+y2)+(4+9m2)y1y2+9(t−2)2=0，
∴9m(t−2)(−6 mt3m2+4)+(4+9m2)×3t2−123m2+4+9(t−2)2=0，
化为：t=1．
∴直线l过定点(1,0)．
②证明：直线A1M和直线A2N的方程分别为：y=y1x1+2(x+2)，
y=y2x2−2(x−2)，
联立解得1−4x0+2=my1y2−y1my1y2+3y2，
不妨取y1=6 1+m2−3m3m2+4，y2=−3m−6 1+m23m2+4，
则1−4x0+2=−9m3m2+4−6 1+m2−3m3m2+4−9m3m2+4−9m+18 1+m23m2+4=13，
解得x0=4．
【解析】(1)设Q(x0,y0)，x024+y023=1.利用斜率计算公式可得kQA1⋅kQA2=y02x02−4，代入x024+y023=1，化简整理即可得出定值．
(2)①设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为my=x−t，与椭圆方程联立化为(3m2+4)y2+6mty+3t2−12=0，根据k1k2=−94，可得y1x1−2⋅y2x2−2=−94，化为4y1y2+9(my1+t−2)(my2+t−2)=0，把根与系数的关系代入即可得出t为定值．
②直线A1M和直线A2N的方程分别为：y=y1x1+2(x+2)，y=y2x2−2(x−2)，联立解得1−4x0+2=my1y2−y1my1y2+3y2，把根与系数的关系、求根公式代入化简即可得出结论．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=(k−1)ex−x−k+1，∴f′(x)=(k−1)ex−1，
①当k−1≤0时，即k≤1时，f′(x)<0，∴f(x)在R上是减函数；
②当k−1>0时，即k>1时，由f′(x)=(k−1)ex−1=0，解得x=ln1k−1，
当xln1k−1时，f′(x)>0，
∴f(x)在(−∞,ln1k−1)单调递减，在(ln1k−1,+∞)上单调递增，
综上，k≤1时，函数在R上是减函数，无单调增区间；
k>1时，函数在(−∞,ln1k−1)单调递减，在(ln1k−1,+∞)上单调递增．
(2)由(1)知，若k≤1时，f(x)在x∈(0,+∞)无最小值，所以f(x)>0不恒成立；
若k>1时，①当k≥2时，ln1k−1≤0，所以函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，即当x>0时，f(x)>0恒成立；
②当10，函数在(0,ln1k−1)递减，在(ln1k−1,+∞)上递增，所以当x=ln1k−1时，f(x)min=f(ln1k−1)=2−k−ln1k−1=2−k+ln(k−1)，
只需2−k+ln(k−1)>0即可，
令g(x)=2−x+ln(x−1)，10，
所以g(x)在(1,2)上是增函数，
故g(x)0无解，
所以10不恒成立．
综上，k的取值范围为[2,+∞)．
【解析】(1)求函数导数，根据k−1的取值范围分类讨论即可求出函数的单调性；
(2)由(1)求函数在x>0时的最小值，问题转化为函数的最小值大于0恒成立，根据函数单调性，分类讨论求函数的最小值，并判定最小值与0的大小关系即可求解．
本题主要考査了利用导数求函数的单调区间，求函数的最小值，分类讨论，转化思想，属于难题．