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2024年江苏省扬州市高邮市中考二模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年江苏省扬州市高邮市中考二模数学试题（原卷版+解析版），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效．
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 的倒数是（ ）
A B. 2024C. D.
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列几何体中，俯视图与其它不同的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
5. 在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？若设良马日可以追上驽马，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C D.
7. 下列关于函数的图象与性质叙述错误的是（ ）
A. 该函数图象关于直线对称B. 该函数y最小值为1
C. 该函数y随着x增大而增大D. 该函数图象与y轴交于
8. 某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
二、填空题（每题3分，共30分）
9. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为______．
10. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______．
11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，若取得白球的概率是0.3，那么袋中装有红球个数为___．
12. 关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m=______．
13. 在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，则物体比重_____．
14. 如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____．
15. 如图，已知点是正方形的边上的一个动点，连接，以为边作矩形，且边恰好经过点．若，则矩形的面积为_____．
16. 如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为______．
17. 如图，已知点在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，若，则____．
18. 在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为_____．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）化简：
20. 若关于x的不等式组有1个整数解，求a的取值范围．
21. 某校组织全校900名学生开展了青少年心理健康教育，若随机抽取了40名学生进行青少年心理健康知识测试，将百分制的测试成绩分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①将测试成绩分成5组：，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
（1）测试成绩在这一组有 名学生；测试成绩在这一组学生成绩的众数是 分；
（2）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校900名学生中对青少年心理健康知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
22. 在项目化学习中，“水生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取若干人，组成调查小组进行社会调查．
（1）随机抽取一人，恰好是男生的概率是 ；
（2）随机抽取两人，请用画树状图或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
23. 某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，王老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇．求小轿车、大巴车的平均速度．
24. 在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积．
25. 如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长和阴影部分的面积．
26. 已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）如图1，若，在边上求作点D，连接，使得；
（2）如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得
（3）如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得
27. 我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”．
（1）若反比例函数的图象上存在一个“2倍点”的坐标为，则反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为 ；
（2）如图1，是否存在一个“2倍点”与抛物线的顶点A的距离最短？若存在，求出这个最短距离；若不存在，说明理由；
（3）如图2，已知点P是第一象限内的一个“2倍点”，将点P向下平移3个单位得到点Q．
①若一次函数的图象恰好经过点Q，则k= ；
②在①的条件下，若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，求所得直线与y轴的交点坐标．
28. 如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．
（1）【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则
（2）【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）【拓展延伸】
①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；
②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ．
2023-2024学年度网上阅卷第二次适应性练习试题九年级数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效．
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 的倒数是（ ）
A B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 下列几何体中，俯视图与其它不同的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何图形的三视图，熟知俯视图的概念是解题的关键．根据俯视图是从上面看到的图形即可解答．
【详解】A．俯视图为三角形；
B．俯视图圆；
C．俯视图为圆；
D．俯视图为圆；
故选：A．
4. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数定义．根据中位数的定义即可得．
【详解】解：将该同学的分数按从小到大进行排序为8.7，8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，94，
则去掉前其中位数为9.0分，
去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，
则去掉后其中位数为9.0分，
因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数，
故选：B．
5. 在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？若设良马日可以追上驽马，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设良马日可以追上驽马，
依题意，得：．
故选：D．
7. 下列关于函数的图象与性质叙述错误的是（ ）
A. 该函数图象关于直线对称B. 该函数y最小值为1
C. 该函数y随着x的增大而增大D. 该函数图象与y轴交于
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，画出函数图象是解题的关键．
分两种情况：和，分别去绝对值化简函数解析式，再画出函数图象，根据图象判定即可．
【详解】当时，，当时，，
∴函数的图象大致如下：
A． 该函数图象关于直线对称，正确，该选项不符合题意；
B．函数最低点的坐标是，∴该函数y最小值为1，正确，该选项不符合题意；
C．当时，函数y随着x的增大而减小，时，函数y随着x的增大而增大，错误，该选项符合题意；
D．当时，，则该函数图象与y轴交于，正确，该选项不符合题意；
故选：C．
8. 某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的合情推理，分别假设甲、乙、丙、丁是冠军，然后进行推理，是否符合题意，即可得出答案．
【详解】解：①设获得冠军的是甲，则只有地理老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是甲；
②设获得冠军的是乙，则地理老师、政治老师、语文老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是乙；
③设获得冠军的是丙，则历史老师、政治老师预测正确，与题设相符，故获得冠军的是丙；
④设获得冠军的是丁，则四位老师都预测错误，与题设矛盾，故获得冠军的不是丁；
综合①②③④得：故获得冠军的是丙．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共30分）
9. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故答案为：．
10. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．
11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，若取得白球的概率是0.3，那么袋中装有红球个数为___．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查概率．熟练掌握概率的计算公式，是解题的关键．根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：袋里一共有个球，
∴袋中装有红球个数为，
故答案为：7．
12. 关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m=______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据一元二次方程根判别式可得：△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，可进一步求出结果.
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-2，c=m，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，
解得m＜1，
故答案是：0．
考核知识点：从根的情况求参数.
13. 在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，则物体比重_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，设物体质量为.则在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度，根据在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，知在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度，故物体质量为，即可得物体比重．
【详解】设物体质量为，则在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度
在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大
在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度
在一次函数中，令
得：
解得：
即物体质量为：
物体比重
故答案为：．
14. 如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____．
【答案】35
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键．
【详解】连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴，
故答案为：35．
15. 如图，已知点是正方形的边上的一个动点，连接，以为边作矩形，且边恰好经过点．若，则矩形的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据四边形是正方形，得，根据四边形是矩形，得，证明，故，即可作答．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即矩形的面积为，
故答案为：
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
16. 如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据四边形为正方形，，得到，，，由，，得到，证明，得到，求得，为中点，又，得，，即得解．
【详解】解： 四边形为正方形，
，，，
，，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，
解得，
，为中点，
又，
，
，
．
故答案为：．
17. 如图，已知点在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，若，则____．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．延长交y轴于D，根据题意得出，，，求出，，证明，得出，即，求出或（舍去），进而得出结果．
【详解】解：如图，延长交y轴于D，
则，
∵点在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴．
故答案是：16．
18. 在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，正确做出辅助线是解题的关键；
设点D关于直线对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接，根据对称性质得，，在证和，然后将构造成三角形的中位线，将动线段转化为定点B到直线得最短距离，然后根据勾股定理和点到直线垂线段最短，求得取最小值的情况以及对应线段长度即可．
【详解】如图所示，设点D关于直线的对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接，
点G，D关于直线对称，
，，
在和中
，
，
，
，
，
在和中
，即E为的中点，
又F为的中点，
为的中位线，
，
要使最小，则需取得最小值，而B为固定点，H在固定直线上，
由点到直线垂线段最短可知，当时取得最小值，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根，特殊角的三角函数值，分式的混合运算，
（1）首先计算负整数指数幂，立方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
20. 若关于x的不等式组有1个整数解，求a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
用含式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有1个整数解，
∴．
21. 某校组织全校900名学生开展了青少年心理健康教育，若随机抽取了40名学生进行青少年心理健康知识测试，将百分制的测试成绩分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①将测试成绩分成5组：，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
（1）测试成绩在这一组有 名学生；测试成绩在这一组学生成绩的众数是 分；
（2）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校900名学生中对青少年心理健康知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
【答案】（1）8；86
（2）495
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，众数，用样本估计总体，熟练掌握相关概念的意义是解题的关键；
（1）总人数减去其余4组人数即可：根据在这一组的成绩以及众数的意义求出即可；
（2）先算出样本中优秀人数所占百分比，再乘以学生总数即可．
【小问1详解】
测试成绩在这一组有：（人）；
在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89，出现次数最多的是86，
∴测试成绩在这一组学生成绩的众数是86分；
故答案为：40；86；
【小问2详解】
（人）
∴估计该校900名学生中对青少年心理健康知识掌握程度为优秀的学生约有495人．
22. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取若干人，组成调查小组进行社会调查．
（1）随机抽取一人，恰好是男生的概率是 ；
（2）随机抽取两人，请用画树状图或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用简单地概率计算公式求解即可；
（2）利用画树状图法计算概率．
本题考查了概率的计算，画树状图，熟练运用公式，画树状图法求概率是解题的关键．
【小问1详解】
4名同学报名（2名男生和2名女生），分配1个名额，则抽到男生的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下：
共有12个等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的等可能性有8个，
故抽到一名男生和一名女生的概率，
故答案为：．
23. 某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，王老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇．求小轿车、大巴车的平均速度．
【答案】大巴车平均速度60千米每小时，小轿车平均速度72千米每小时
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设大巴车平均速度x千米每小时，小轿车平均速度千米每小时，根据“去距学校60千米的珠湖小镇，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾汽车前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇，列出分式方程，解分式方程，检验即可．
【详解】设大巴车平均速度x千米每小时，小轿车平均速度千米每小时，则根据题意得：
解得：
经检验是原方程的解，
则（千米每小时）
答：大巴车平均速度60千米每小时，小轿车平均速度72千米每小时．
24. 在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积．
【答案】（1）矩形，见解析
（2）48
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握矩形的判定，勾股定理，三角函数的应用是解题的关键．
（1）根据折叠性质，得；结合平行四边形，得到，继而得到，得到四边形是平行四边形，结合，得到四边形是矩形；
（2）根据平行四边形的周长为32，得到，，结合
，，得到，设，则，继而得到，得到，计算四边形的面积即可．
【小问1详解】
根据折叠性质，得；
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
根据平行四边形的周长为32，
∴，，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
四边形的面积为：．
25. 如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长和阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2），阴影部分的面积为
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，由，根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得，即可证得结论；
（2）过圆心作，垂足为点，连接，根据垂径定理，则得，进而得到，再根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”，证得四边形是矩形，得到，再根据全等三角形判定“边角边”，证得，得到，，易证得，是等边三角形，结合特殊三角函数值即可计算出的值，的值，然后计算出扇形的面积，的面积，的面积，最后根据阴影部分面积=的面积+的面积-扇形的面积，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
以为直径的交于点，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图2，过圆心作，垂足为点，连接，
，，
，
，
，
，，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，，
．
本题综合考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理推论，切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识，灵活应用平行线的判定与性质，证得，合理添加辅助线，构造全等三角形，得到对应边角关系，及利用割补法求阴影部分面积．
26. 已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）如图1，若，在边上求作点D，连接，使得；
（2）如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得
（3）如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本的尺规作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
（1）作的垂直平分线即可；
（2）作的平分线即可；
（3）作即可．
【小问1详解】
如图，点D就是求作的点；
证明：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，点就是求作的点，
证明：过点作于点，于点，如图所示，
由作图可得，是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴；
【小问3详解】
如图，点就是求作的点，
证明：由作图可知，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得：．
27. 我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”．
（1）若反比例函数的图象上存在一个“2倍点”的坐标为，则反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为 ；
（2）如图1，是否存在一个“2倍点”与抛物线的顶点A的距离最短？若存在，求出这个最短距离；若不存在，说明理由；
（3）如图2，已知点P是第一象限内的一个“2倍点”，将点P向下平移3个单位得到点Q．
①若一次函数的图象恰好经过点Q，则k= ；
②在①的条件下，若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，求所得直线与y轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）①2，②
【解析】
【分析】（1）由反比例函数的对称性即可求解；
（2）P是第一象限内的一个“2倍点”，则点，即点P在直线上，证，得即可求解；
（3）①设点，则点则点Q在直线上，即可求解；
②过点N作于点G，在中， ，，设，则，则，则，即，求出点M坐标和直线直线的表达式，即y轴上点N的坐标．
【小问1详解】
由反比例函数的对称性得，反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为
故答案为∶ ；
【小问2详解】
存在，理由∶
设P是第一象限内的一个“2倍点”，
则点，即点P在直线上，
由抛物线的表达式知，点，
过点A作轴交直线l于点H，作于点N，
当时，，即点
则，，，
在和中
，
即最短距离为：，
【小问3详解】
①设点，则点则点Q在直线上，
即，
故答案为∶2；
②若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，
∴，即将直线绕点Q顺时针旋转得到如下图，
令，则，即点，
，
点，当时，即，即，
由直线知，，
过点M作于点G，
在中， ，，，
设，则，则，
则，即
解得∶ ，
则，
则点，
由点M、Q的坐标得，直线的表达式为∶ ，
点N为直线与y轴的交点坐标，
点，
即直线与y轴的交点坐标为．
本题主要考查了函数与几何图形结合，涉及反比例函数，一次函数与反比例函数交点问题，二次函数的性质，点的坐标与线段长度的关系，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．
28. 如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．
（1）【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则
（2）【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）【拓展延伸】
①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；
②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ．
【答案】（1）4 （2）是定值4，见解析
（3）①最大值为8；②
【解析】
【分析】（1）由题意得四边形为矩形，则得；由已知得，，则可得的长，从而得结果的值；
（2）过D点分别作，则得四边形为矩形，则得；由已知得是等腰直角三角形，从而得；证明，有；最后可求得的值；
（3）①由变形得，由（2）知为定值4，则可求得的最大值；
②连接，得，表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；设交于点O，过C作，则可求得，进而得，分别在中利用勾股定理即可求得的长．
【小问1详解】
解：，
，
四边形为矩形，
；
，
；
，，
，
，
，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：是定值4；
如图，过D点分别作，垂足分别为G，H；
则，
四边形为矩形，
；
，，
，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
；
；
，
，
即，
，
，
，
即
，，
；
即为定值；
【小问3详解】
解：①，
即，
，
，
由（2）知，即，
，
的最大值为8；
②如图，连接，
，P为的中点，
，
表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，
当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；
设交于点O，则；
过C作于S，
，
，
，
由勾股定理得，
；
当点N与点C重合时，点P与点Q重合，
由（2）知，，则，
，
在中，由勾股定理得：；
当点N与点B重合时，点P与点K重合，此时
由（2）知，，即，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
．
故点P的运动路径为；
故答案为：．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，旋转的性质等知识，综合性强，构造适当的辅助线是关键与难点．
友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效．
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 的倒数是（ ）
A B. 2024C. D.
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列几何体中，俯视图与其它不同的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
5. 在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？若设良马日可以追上驽马，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C D.
7. 下列关于函数的图象与性质叙述错误的是（ ）
A. 该函数图象关于直线对称B. 该函数y最小值为1
C. 该函数y随着x增大而增大D. 该函数图象与y轴交于
8. 某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
二、填空题（每题3分，共30分）
9. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为______．
10. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______．
11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，若取得白球的概率是0.3，那么袋中装有红球个数为___．
12. 关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m=______．
13. 在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，则物体比重_____．
14. 如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____．
15. 如图，已知点是正方形的边上的一个动点，连接，以为边作矩形，且边恰好经过点．若，则矩形的面积为_____．
16. 如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为______．
17. 如图，已知点在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，若，则____．
18. 在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为_____．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）化简：
20. 若关于x的不等式组有1个整数解，求a的取值范围．
21. 某校组织全校900名学生开展了青少年心理健康教育，若随机抽取了40名学生进行青少年心理健康知识测试，将百分制的测试成绩分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①将测试成绩分成5组：，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
（1）测试成绩在这一组有 名学生；测试成绩在这一组学生成绩的众数是 分；
（2）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校900名学生中对青少年心理健康知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
22. 在项目化学习中，“水生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取若干人，组成调查小组进行社会调查．
（1）随机抽取一人，恰好是男生的概率是 ；
（2）随机抽取两人，请用画树状图或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
23. 某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，王老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇．求小轿车、大巴车的平均速度．
24. 在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积．
25. 如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长和阴影部分的面积．
26. 已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）如图1，若，在边上求作点D，连接，使得；
（2）如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得
（3）如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得
27. 我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”．
（1）若反比例函数的图象上存在一个“2倍点”的坐标为，则反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为 ；
（2）如图1，是否存在一个“2倍点”与抛物线的顶点A的距离最短？若存在，求出这个最短距离；若不存在，说明理由；
（3）如图2，已知点P是第一象限内的一个“2倍点”，将点P向下平移3个单位得到点Q．
①若一次函数的图象恰好经过点Q，则k= ；
②在①的条件下，若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，求所得直线与y轴的交点坐标．
28. 如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．
（1）【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则
（2）【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）【拓展延伸】
①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；
②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ．
2023-2024学年度网上阅卷第二次适应性练习试题九年级数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效．
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 的倒数是（ ）
A B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 下列几何体中，俯视图与其它不同的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何图形的三视图，熟知俯视图的概念是解题的关键．根据俯视图是从上面看到的图形即可解答．
【详解】A．俯视图为三角形；
B．俯视图圆；
C．俯视图为圆；
D．俯视图为圆；
故选：A．
4. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数定义．根据中位数的定义即可得．
【详解】解：将该同学的分数按从小到大进行排序为8.7，8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，94，
则去掉前其中位数为9.0分，
去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，
则去掉后其中位数为9.0分，
因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数，
故选：B．
5. 在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？若设良马日可以追上驽马，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设良马日可以追上驽马，
依题意，得：．
故选：D．
7. 下列关于函数的图象与性质叙述错误的是（ ）
A. 该函数图象关于直线对称B. 该函数y最小值为1
C. 该函数y随着x的增大而增大D. 该函数图象与y轴交于
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，画出函数图象是解题的关键．
分两种情况：和，分别去绝对值化简函数解析式，再画出函数图象，根据图象判定即可．
【详解】当时，，当时，，
∴函数的图象大致如下：
A． 该函数图象关于直线对称，正确，该选项不符合题意；
B．函数最低点的坐标是，∴该函数y最小值为1，正确，该选项不符合题意；
C．当时，函数y随着x的增大而减小，时，函数y随着x的增大而增大，错误，该选项符合题意；
D．当时，，则该函数图象与y轴交于，正确，该选项不符合题意；
故选：C．
8. 某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的合情推理，分别假设甲、乙、丙、丁是冠军，然后进行推理，是否符合题意，即可得出答案．
【详解】解：①设获得冠军的是甲，则只有地理老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是甲；
②设获得冠军的是乙，则地理老师、政治老师、语文老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是乙；
③设获得冠军的是丙，则历史老师、政治老师预测正确，与题设相符，故获得冠军的是丙；
④设获得冠军的是丁，则四位老师都预测错误，与题设矛盾，故获得冠军的不是丁；
综合①②③④得：故获得冠军的是丙．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共30分）
9. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故答案为：．
10. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．
11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，若取得白球的概率是0.3，那么袋中装有红球个数为___．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查概率．熟练掌握概率的计算公式，是解题的关键．根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：袋里一共有个球，
∴袋中装有红球个数为，
故答案为：7．
12. 关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m=______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据一元二次方程根判别式可得：△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，可进一步求出结果.
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-2，c=m，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，
解得m＜1，
故答案是：0．
考核知识点：从根的情况求参数.
13. 在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，则物体比重_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，设物体质量为.则在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度，根据在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，知在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度，故物体质量为，即可得物体比重．
【详解】设物体质量为，则在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度
在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大
在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度
在一次函数中，令
得：
解得：
即物体质量为：
物体比重
故答案为：．
14. 如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____．
【答案】35
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键．
【详解】连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴，
故答案为：35．
15. 如图，已知点是正方形的边上的一个动点，连接，以为边作矩形，且边恰好经过点．若，则矩形的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据四边形是正方形，得，根据四边形是矩形，得，证明，故，即可作答．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即矩形的面积为，
故答案为：
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
16. 如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据四边形为正方形，，得到，，，由，，得到，证明，得到，求得，为中点，又，得，，即得解．
【详解】解： 四边形为正方形，
，，，
，，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，
解得，
，为中点，
又，
，
，
．
故答案为：．
17. 如图，已知点在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，若，则____．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．延长交y轴于D，根据题意得出，，，求出，，证明，得出，即，求出或（舍去），进而得出结果．
【详解】解：如图，延长交y轴于D，
则，
∵点在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴．
故答案是：16．
18. 在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，正确做出辅助线是解题的关键；
设点D关于直线对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接，根据对称性质得，，在证和，然后将构造成三角形的中位线，将动线段转化为定点B到直线得最短距离，然后根据勾股定理和点到直线垂线段最短，求得取最小值的情况以及对应线段长度即可．
【详解】如图所示，设点D关于直线的对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接，
点G，D关于直线对称，
，，
在和中
，
，
，
，
，
在和中
，即E为的中点，
又F为的中点，
为的中位线，
，
要使最小，则需取得最小值，而B为固定点，H在固定直线上，
由点到直线垂线段最短可知，当时取得最小值，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根，特殊角的三角函数值，分式的混合运算，
（1）首先计算负整数指数幂，立方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
20. 若关于x的不等式组有1个整数解，求a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
用含式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有1个整数解，
∴．
21. 某校组织全校900名学生开展了青少年心理健康教育，若随机抽取了40名学生进行青少年心理健康知识测试，将百分制的测试成绩分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①将测试成绩分成5组：，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
（1）测试成绩在这一组有 名学生；测试成绩在这一组学生成绩的众数是 分；
（2）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校900名学生中对青少年心理健康知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
【答案】（1）8；86
（2）495
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，众数，用样本估计总体，熟练掌握相关概念的意义是解题的关键；
（1）总人数减去其余4组人数即可：根据在这一组的成绩以及众数的意义求出即可；
（2）先算出样本中优秀人数所占百分比，再乘以学生总数即可．
【小问1详解】
测试成绩在这一组有：（人）；
在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89，出现次数最多的是86，
∴测试成绩在这一组学生成绩的众数是86分；
故答案为：40；86；
【小问2详解】
（人）
∴估计该校900名学生中对青少年心理健康知识掌握程度为优秀的学生约有495人．
22. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取若干人，组成调查小组进行社会调查．
（1）随机抽取一人，恰好是男生的概率是 ；
（2）随机抽取两人，请用画树状图或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用简单地概率计算公式求解即可；
（2）利用画树状图法计算概率．
本题考查了概率的计算，画树状图，熟练运用公式，画树状图法求概率是解题的关键．
【小问1详解】
4名同学报名（2名男生和2名女生），分配1个名额，则抽到男生的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下：
共有12个等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的等可能性有8个，
故抽到一名男生和一名女生的概率，
故答案为：．
23. 某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，王老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇．求小轿车、大巴车的平均速度．
【答案】大巴车平均速度60千米每小时，小轿车平均速度72千米每小时
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设大巴车平均速度x千米每小时，小轿车平均速度千米每小时，根据“去距学校60千米的珠湖小镇，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾汽车前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇，列出分式方程，解分式方程，检验即可．
【详解】设大巴车平均速度x千米每小时，小轿车平均速度千米每小时，则根据题意得：
解得：
经检验是原方程的解，
则（千米每小时）
答：大巴车平均速度60千米每小时，小轿车平均速度72千米每小时．
24. 在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积．
【答案】（1）矩形，见解析
（2）48
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握矩形的判定，勾股定理，三角函数的应用是解题的关键．
（1）根据折叠性质，得；结合平行四边形，得到，继而得到，得到四边形是平行四边形，结合，得到四边形是矩形；
（2）根据平行四边形的周长为32，得到，，结合
，，得到，设，则，继而得到，得到，计算四边形的面积即可．
【小问1详解】
根据折叠性质，得；
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
根据平行四边形的周长为32，
∴，，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
四边形的面积为：．
25. 如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长和阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2），阴影部分的面积为
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，由，根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得，即可证得结论；
（2）过圆心作，垂足为点，连接，根据垂径定理，则得，进而得到，再根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”，证得四边形是矩形，得到，再根据全等三角形判定“边角边”，证得，得到，，易证得，是等边三角形，结合特殊三角函数值即可计算出的值，的值，然后计算出扇形的面积，的面积，的面积，最后根据阴影部分面积=的面积+的面积-扇形的面积，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
以为直径的交于点，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图2，过圆心作，垂足为点，连接，
，，
，
，
，
，，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，，
．
本题综合考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理推论，切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识，灵活应用平行线的判定与性质，证得，合理添加辅助线，构造全等三角形，得到对应边角关系，及利用割补法求阴影部分面积．
26. 已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）如图1，若，在边上求作点D，连接，使得；
（2）如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得
（3）如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本的尺规作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
（1）作的垂直平分线即可；
（2）作的平分线即可；
（3）作即可．
【小问1详解】
如图，点D就是求作的点；
证明：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，点就是求作的点，
证明：过点作于点，于点，如图所示，
由作图可得，是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴；
【小问3详解】
如图，点就是求作的点，
证明：由作图可知，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得：．
27. 我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”．
（1）若反比例函数的图象上存在一个“2倍点”的坐标为，则反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为 ；
（2）如图1，是否存在一个“2倍点”与抛物线的顶点A的距离最短？若存在，求出这个最短距离；若不存在，说明理由；
（3）如图2，已知点P是第一象限内的一个“2倍点”，将点P向下平移3个单位得到点Q．
①若一次函数的图象恰好经过点Q，则k= ；
②在①的条件下，若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，求所得直线与y轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）①2，②
【解析】
【分析】（1）由反比例函数的对称性即可求解；
（2）P是第一象限内的一个“2倍点”，则点，即点P在直线上，证，得即可求解；
（3）①设点，则点则点Q在直线上，即可求解；
②过点N作于点G，在中， ，，设，则，则，则，即，求出点M坐标和直线直线的表达式，即y轴上点N的坐标．
【小问1详解】
由反比例函数的对称性得，反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为
故答案为∶ ；
【小问2详解】
存在，理由∶
设P是第一象限内的一个“2倍点”，
则点，即点P在直线上，
由抛物线的表达式知，点，
过点A作轴交直线l于点H，作于点N，
当时，，即点
则，，，
在和中
，
即最短距离为：，
【小问3详解】
①设点，则点则点Q在直线上，
即，
故答案为∶2；
②若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，
∴，即将直线绕点Q顺时针旋转得到如下图，
令，则，即点，
，
点，当时，即，即，
由直线知，，
过点M作于点G，
在中， ，，，
设，则，则，
则，即
解得∶ ，
则，
则点，
由点M、Q的坐标得，直线的表达式为∶ ，
点N为直线与y轴的交点坐标，
点，
即直线与y轴的交点坐标为．
本题主要考查了函数与几何图形结合，涉及反比例函数，一次函数与反比例函数交点问题，二次函数的性质，点的坐标与线段长度的关系，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．
28. 如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．
（1）【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则
（2）【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）【拓展延伸】
①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；
②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ．
【答案】（1）4 （2）是定值4，见解析
（3）①最大值为8；②
【解析】
【分析】（1）由题意得四边形为矩形，则得；由已知得，，则可得的长，从而得结果的值；
（2）过D点分别作，则得四边形为矩形，则得；由已知得是等腰直角三角形，从而得；证明，有；最后可求得的值；
（3）①由变形得，由（2）知为定值4，则可求得的最大值；
②连接，得，表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；设交于点O，过C作，则可求得，进而得，分别在中利用勾股定理即可求得的长．
【小问1详解】
解：，
，
四边形为矩形，
；
，
；
，，
，
，
，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：是定值4；
如图，过D点分别作，垂足分别为G，H；
则，
四边形为矩形，
；
，，
，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
；
；
，
，
即，
，
，
，
即
，，
；
即为定值；
【小问3详解】
解：①，
即，
，
，
由（2）知，即，
，
的最大值为8；
②如图，连接，
，P为的中点，
，
表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，
当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；
设交于点O，则；
过C作于S，
，
，
，
由勾股定理得，
；
当点N与点C重合时，点P与点Q重合，
由（2）知，，则，
，
在中，由勾股定理得：；
当点N与点B重合时，点P与点K重合，此时
由（2）知，，即，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
．
故点P的运动路径为；
故答案为：．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，旋转的性质等知识，综合性强，构造适当的辅助线是关键与难点．
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