2024年广东省揭阳市揭东区玉湖中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 要使二次根式有意义，则的值不可以取（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数进行解答即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键．
3. 下列图案中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
4. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．
5. 已知在一个凸多边形中，一个内角相邻的外角与其余内角度数总和为600°，则这个多边形的边数是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题涉及多边形的内角和、方程的思想．关键是根据内角和的公式和等量关系“一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为600°”列出方程，挖掘隐含着边数为正整数这个条件求解．
【详解】解：设边数为n，这个内角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得
（n-2）•180°-x+（180°-x）=600°，
解得n=4+，
∵n为正整数，
∴60+2x必为180的倍数，
又∵0＜x＜180°，
∴x=60或150，
∴n=5或6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及内角与外角的关系，n边形的内角和为：（n-2）•180°；多边形的内角与它的外角互为邻补角．
6. 在一个不透明的袋子里，有个白球和个红球．它们只有颜色上的区别，从袋子里随机摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意，列出表格如图所示：
∵共有25种等可能的结果，两次都摸到红球的有9种情况，
∴两次都摸到红球的概率为：；
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式、同底数幂相乘、积的乘方、合并同类项法则是解题的关键；根据这些法则，逐项判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
8. 如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理的应用．由题意可知点O为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵点O到三边距离相等，
∴点O为的三条角平分线的交点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，两对角线交于点E．若点B的坐标为，，则点E的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，根据菱形边相等，对角线平分对角，结合，得到为等边三角形，E为的中点，利用点B的坐标为，以及30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，推出、、的长度，得出点A、C的坐标即可解题．
【详解】解：在菱形中，、为菱形的对角线，且，
，
为等边三角形，
又有，
，即E为的中点，
，
，
点B坐标为，
，
，
,即，
又，
,即点C的坐标为，
．
故选：A．
10. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象与坐标轴交于，，三点，则下列说法正确的是（ ）
（1）；
（2）若是周长为的等边三角形，，则函数图象经过点；
（3）若，的值不变，则的面积随的增大而减小；
（4）若是直角三角形，则的判别式．
A. （1）（3）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（4）
【答案】C
【解析】
【分析】由函数（）的图象与坐标轴交于，，三点，可得函数为二次函数，且与轴有两个交点，可得（1）不符合题意；如图，由是周长为的等边三角形，，再画图求解抛物线为，可得（2）符合题意；如图，表示，可得（3）不符合题意；如图，当为直角三角形时，则，利用勾股定理可得，可得（4）符合题意．
【详解】解：∵函数（）的图象与坐标轴交于，，三点，
∴函数为二次函数，且与轴有两个交点，
∴，故（1）不符合题意；
如图，∵是周长为的等边三角形，，
∴，，

∴，，
设抛物线为，
∴，解得：，
∴抛物线为，
当时，，
∴图象过，故（2）符合题意；
如图，

∵时有两个实数根，
∴，
∴，
当，，
∴，
∴，
∴当，的值不变，则的面积随的增大而增大；故（3）不符合题意；
如图，当为直角三角形时，，

设，，，
∴，
∴即，
∵，是的两个根，
∴，，
∴，而（等于0就没有三个交点）
∴即，
∴，故（4）符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 因式分解： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式4，再根据平方差公式进行分解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式要先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12. 如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠ABC＝40°，则∠D的度数为_______．
【答案】100°
【解析】
【分析】根据角平分线定义和平行线的性质即可求出∠D的度数．
【详解】解：∵CB平分∠ABD，∠ABC＝40°，
∴∠ABD＝2∠ABC＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣80°＝100°，
则∠D的度数为100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．
13. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 __．
【答案】##
【解析】
【分析】不等式组整理后，根据无解的条件确定出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组无解，
即无解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组无解的条件是解本题的关键．
14. 如图，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s(m)和t(s)分别表示运动路程和时间，根据图象，判断快者的速度比慢者的速度每秒快____________.
【答案】1.5m
【解析】
【详解】根据图象可知慢者8秒走了（64-12）米，快者8秒走了64米，由此求出各自的速度即可求出答案．
解：因为慢者8秒走了64-12=52米，快者8秒走了64米，
所以64÷8-52÷8=1.5m．
故答案为1.5．
15. 如图，在中，是圆O的直径，是弦，于点E，且点E是的中点，，则的半径为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由垂径定理得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，
∵是圆的直径，是弦，于点，，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∵中，，
∴，
解得，
∴的半径为，
故答案为．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值．根据平方差公式和单项式乘多项式的法则进行化简，然后代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式．
17. 对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成，，，四组，绘制了如下统计图表：
“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表
“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计图
依据以上统计信息解答下列问题：
（）填空： ， ；
（）为了增强大家对垃圾分类的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间的学习后，再次对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现组的同学平均成绩提高分，组的同学平均成绩提高分，组的同学平均成绩提高分，组的同学平均成绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成绩提高多少分?若把测试成绩超过分定为优秀，这些同学再次测试的平均成绩是否达到优秀，为什么?
【答案】（1），；（2）达到优秀，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）用组人数除以其所占百分比求得总人数，再用总人数减去、、组的人数可得的值，用组人数除以总人数可得 的值；
（2）根据平均数的定义计算可得．
【详解】解：（1）被调查的学生总人数为人，
， ，
故答案为：30；；
（2）依题意，得．
因为， ，
所以学习后这些同学的平均成绩提高约分，再次测试的平均成绩达到优秀．
【点睛】本题主要考查加权平均数，用样本估计总体，频数（率分别表，解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据，并掌握平均数的计算方法．
18. 如图，在中，，．
（1）作垂直平分线交于点，垂足为；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，求的度数．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的两个交点，过这两个交点作直线即可；
（2）连接 利用等腰三角形的性质，先求解 再证明 再利用角的和差关系可得答案.
【小问1详解】
解：如图，直线是所求作的线段的垂直平分线，
【小问2详解】
解：如图，连接
，，

是的垂直平分线，


【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握“线段的垂直平分线的作图与线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键.
19. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元
（2）购买吊兰的数量最多为17盆
【解析】
【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解．
【小问1详解】
解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
【小问2详解】
解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键．
20. 如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴相交于两点，则线段的长度为双曲线的对径．
（1）求双曲线的对径；
（2）若双曲线的对径是，求k的值；
（3）仿照上述定义，定义双曲线的对径．
【答案】（1）；
（2）25； （3）若双曲线 与它的其中一条对称轴相交于两点，则线段的长称为双曲线 的对径．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数综合题，解题的关键是知晓，点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍；强化理解能力．
(1)过A点作轴于C，解方程组，可得到A点坐标为，B点坐标为，即，由勾股定理可求，于是得到双曲线的对径．
(2)根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为，即，
，根据，则，得到点A坐标为，把代入双曲线 即可得到k的值；
(3)双曲线 的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线的对径．
【小问1详解】
解：如图，过A点作轴于C，

解方程组，得
∴A点坐标为，B点坐标为．
∴，
∴．
∴，
∴双曲线的对径是．
【小问2详解】
∵双曲线的对径为，即，．
∴，
∴．
∴点A坐标为．
把代入双曲线 得，即k的值为25．
【小问3详解】
若双曲线与它的其中一条对称轴相交于两点，则线段的长称为双曲线 的对径．
21. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处；
（1）求证：．
（2）若，，F为BC的中点，求DC的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据图形折叠的性质以及平行线的性质可以证明∠B'FE=∠B'EF，根据等角对等边证明B'E=B'F，则问题可解；（2）由（1）应用勾股定理构造方程问题可解.
【详解】解：(1)证明，由题意可得：
，，
在矩形中，
∵AD∥BC，∴，
∵，∴，
∴．
(2)，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题和勾股定理，解答关键是注意从折叠的过程中找到相等的角和相等的边．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，点E为第一象限中⊙O上的点，AE与OC交于点P，过点C作，且与AE、AB分别交于M、F．点O关于直线CF对称的点为N，ON与CF交于点Q．
（1）证明：∠OCF＝∠OAP；
（2）证明：AM＝CQ+QN；
（3）如图2，若⊙O半径为4，当点N在BE上时，求点E坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）E（，）
【解析】
【分析】（1）先证明∠E＝90°，结合，可得∠CME＝∠E＝90°，∠CMP＝90°，再利用三角形内角和定理可得答案；
（2）如图1，由（1）得：∠OCF＝∠OAP，作OH⊥AM于H，证明ON⊥CF，OQ＝QN，四边形OHMQ是矩形，可得OQ＝HM，再证明△AOH≌△COQ，再利用全等三角形的性质可得结论；
（3）如图2，证明△COQ∽△ABE，而 可得，OQ＝BE，再证明△BON∽△BAE， 可得，证明ON＝AE，可得AE＝2BE，设BE＝a，AE＝2a，在Rt△ABE中，由勾股定理求解a，可得BE＝，AE＝2a＝，sin∠EAB＝，cs∠EAB＝，作EG⊥AB于G，再利用锐角三角函数求解EG＝AE•sin∠EAF＝，AG＝AE•cs∠EAF＝，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠E＝90°，
∵，
∴∠CME＝∠E＝90°，
∴∠CMP＝90°，
∴∠CMP＝∠AOP＝90°，
∵∠CPM＝∠APO，
∴∠OCF＝∠OAP；
【小问2详解】
证明：如图1，由（1）得：∠OCF＝∠OAP，
作OH⊥AM于H，
∴∠OHM＝90°，
∵O与N关于CF对称，
∴ON⊥CF，OQ＝QN，
∴∠OQM＝90°，
∵∠HMF＝90°，
∴四边形OHMQ是矩形，
∴OQ＝HM，
∵OA＝OC，∠AHO＝∠CQO＝90°，
∴△AOH≌△COQ（AAS），
∴AH＝CQ，
∴AM＝AH+HM＝CQ+OQ＝CQ+QN；
【小问3详解】
如图2，
由（1）得：∠OCF＝∠OAP，
∵∠CQO＝∠AEB＝90°，
∴△COQ∽△ABE，而
∴，
∴OQ＝BE，
∵∠OQM＝∠EMQ＝90°，
∴，
∴△BON∽△BAE，
∴，
∵ON⊥BE，
∴BN＝BE，
∴，
∴ON＝AE，
∵ON＝2OQ，OQ＝BE，
∴AE＝2BE，
设BE＝a，AE＝2a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
a+2（2a）2＝82，
∴，
∴BE＝，AE＝2a＝，
∴sin∠EAB＝，cs∠EAB＝，
作EG⊥AB于G，
∴EG＝AE•sin∠EAF＝，
AG＝AE•cs∠EAF＝，
∴OG＝AG﹣OA＝，
∴E（，）．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的应用以上知识解题是关键．
23. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB=2OC．
（1）求点B的坐标和a的值；
（2）如图1，点D，P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD，DE，设△CDE的面积为s，若，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB=2∠APB，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）点的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得C点坐标，进而求得OC的长，将解析式变形为y＝a（x-3）（x＋1），进而求得A，B的坐标，求得OB的长，根据OB＝2OC，即可求得a的值，进而求得解析式．
（2）根据已知二次函数解析式，由已知条件可得点P的横坐标为t，则设D的横坐标为m，设直线BP的解析式为y＝kx＋b，根据B的坐标，P的坐标，求得直线解析式，进而求得E点的坐标，求得ΔCDE的面积，根据已知条件4s＋3t＝0，进而求得D的横坐标，将横坐标代入二次函数解析式，即可求得D的坐标．
（3）如图2，作，交轴于，过点作，交于，交AB于H，设，通过证明和，可推导出，以为斜边在轴下方作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线于，则，，点，，由，得解方程即可求得t的值，进而求得P的坐标．
【小问1详解】
解：由，得，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴.
【小问2详解】
解：如图l，作于，于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
当时，.
∴点的坐标为.
【小问3详解】
解：如图2，作，交轴于，
过点作，交于，交AB于H，设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
以为斜边在轴下方作等腰直角，
以为圆心，为半径作，交抛物线于，
则，，
点，，
由，得，
，
令，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴.
【点睛】
此题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质、解一元二次方程的方法、全等三角形的性质以及判定定理、圆的性质、等腰直角三角形的性质以及判定定理、相似三角形的性质以及判定定理、旋转的性质．
组别
分数/分
频数