高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样学案及答案，共16页。

在我国，食品安全问题越来越受到人们的关注，党中央、国务院和各级政府部门也高度重视，从制度建设和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果．某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？
知识点1 全面调查和抽样调查
知识点2 简单随机抽样
知识点3 简单随机抽样的方法
1．抽签法
先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．
2．随机数法
(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数．
(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数．②用信息技术生成随机数．
1.简单随机抽样具备哪些特点？
[提示] (1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的．
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的．
(3)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等．
知识点4 总体均值和样本均值
1．总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称Y＝Y1+Y2+…+YNN＝
1Ni=1NYi
为总体均值，又称总体平均数．
2．总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数f i(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y＝
1Ni=1kfiYi
．
3．样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y＝y1+y2+…+ynn＝
1ni=1nyi
为样本均值，又称样本平均数．
2.总体均值与样本均值有何区别与联系？
[提示] (1)区别：总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性．
(2)联系：在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验，适合用抽签法．( )
(2)从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验，适合用抽签法．( )
(3)从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验，适合用随机数法．( )
(4)利用随机数法抽取样本时，选定的初始数是任意的，但读数的方向只能是从左向右读．( )
(5)利用随机数法抽取样本时，若总体容量为100，则给每个个体分别编号为1，2，3，…，100．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2．某校共有1 000名高三学生参加2023年上学期开学考试，为了了解这1 000名学生的数学成绩，决定从中抽取50名学生的数学成绩进行统计分析．在此抽样过程中，总体是________；个体是________；样本是________；样本量是________．
[答案] 1 000名学生的数学成绩 每一名学生的数学成绩 50名学生的数学成绩 50
3．从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次，则该训练营10名学员投中的平均次数为________．
6 [10名学员投中的平均次数为4×5+3×6+2×7+1×810＝6.]
类型1 简单随机抽样的理解
【例1】 (1)从52名学生中选取5名学生参加数学竞赛，若采用简单随机抽样抽取，则每人入选的可能性( )
A．都相等，且为152 B．都相等，且为110
C．都相等，且为552 D．都不相等
(2)下列抽样中，是简单随机抽样的是________．(填序号)
①仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
②某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；
③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
(1)C (2)③ [(1)对于简单随机抽样，在抽样过程中每一个个体被抽取的机会都相等(随机抽样的等可能性)．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用简单随机抽样时，每一个个体被抽到的可能性都是nN，体现了这种抽样方法的客观性和公平性．因此每人入选的可能性都相等，且为552.
(2)根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．②不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．③是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有③是简单随机抽样．]
判断一个抽样是不是简单随机抽样，一定要看它是否满足简单随机抽样的特点，这是判断的唯一标准．
[跟进训练]
1．(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些
B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能地抽取，但各次抽取的可能性不一定
(2)为了进一步严厉打击交通违法，交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾，这种抽查是( )
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数法 D．以上都不对
(1)B (2)D [(1)在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D错误，B正确．
(2)由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．]
类型2 抽签法与随机数法的应用
【例2】 某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．
[解] (1)利用抽签法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50.
第二步：将50个号码分别写在外观、质地均无差别的小纸片上，并揉成团，制成号签．
第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．
(2)利用随机数法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50.
第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本．
第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数．
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．
抽签法、随机数法的步骤
[跟进训练]
2．(1)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )
A．12 B．33 C．06 D．16
(2)现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
(1)C [被选中的红色球的号码依次为17，12，33，06，32，22.
所以第四个被选中的红色球的号码为06.故选C.]
(2)[解] ①将30名志愿者编号，号码分别是01，02，…，30.
②将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
③将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．
④从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．
类型3 用样本的平均数估计总体的平均数
【例3】 某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投入n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，投进3个球和4个球的各有多少人？
[解] 设投进3个球的人数为a，投进4个球的人数为b，
根据已知有3×a+4×b+5×2a+b+2＝3.5，0×1+1×2+2×7+3×a+4×b1+2+7+a+b＝2.5，
即0.5a-0.5b=3，0.5a+1.5b=9，解得a=9，b=3.
故进3个球的有9人，进4个球的有3人．
样本平均数与总体平均数的关系
(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数．
(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性．
(3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确．
[跟进训练]
3．某学校抽取100位老师的年龄，得到如下数据：
估计这个学校老师的平均年龄．
[解] y＝1100×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)＝41.1(岁)，
即这个学校老师的平均年龄约为41岁．
1．(多选)下列调查中，适宜采用抽样调查的是( )
A．调查某市中小学生每天的运动时间
B．某幼儿园准备制作校服，对此幼儿园中的小朋友进行测量
C．农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量
D．调查某快餐店中8位店员的生活质量情况
AC [因为B中要对所有小朋友进行检查，所以用普查的方式；D中共8名店员，可采用普查的方式；A，C中总体容量大，难以做到普查，故采用抽样调查的方式．]
2．(多选)为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取了40名学生进行测量．下列说法正确的是( )
A．总体是240名学生的身高
B．个体是每一名学生的身高
C．样本是任意40名学生的身高
D．样本容量是40
ABD [在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每一名学生的身高，样本是抽取的40名学生的身高，样本容量是40.]
3．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．01 B．02 C．14 D．19
A [从随机数中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，依次是65(舍去)，72(舍去)，08，02，63(舍去)，14，02(舍去)，14(舍去)，43(舍去)，19，97(舍去)，14(舍去)，01，98(舍去)，32；选出来的这6个数为：08，02，14，19，01，32，第5个红色球的编号为01.]
4．为了解一批轮胎的性能，汽车制造厂从这批轮胎中随机抽取了8个进行测试，每个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)为：96，112，97，108，100，103，86，98.则估计这批轮胎行驶的最远里程数的平均数为________．
100 [用样本平均数估计总体平均数，得这批轮胎行驶的最远里程数的平均数约为96+112+97+108+100+103+86+988＝100.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．简单随机抽样有哪些特点？
[提示] 简单随机抽样的三个特点：总体有限、逐个抽取、等可能抽样．
2．简单随机抽样是一种简单、基本的抽样方法，其常用的简单随机抽样方法有哪两种，这两种方法有什么异同？
[提示] 简单随机抽样常用的抽样方法有抽签法和随机数法．其具有以下异同点：
课时分层作业(三十七) 简单随机抽样
一、选择题
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．环保局人员取河水进行化验
B．用抽签的方法产生随机数
C．福利彩票用摇奖机摇奖
D．老师抽取数学成绩最优秀的2名同学代表班级参加数学竞赛
C [简单随机抽样要求总体中的个体数有限，每个个体有相同的可能性被抽到．故选C.]
2．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是( )
A．抽签法B．随机数法
C．随机抽样法 D．以上都不对
B [由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．]
3．从全校2 000名小学女生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3 cm，则可以推测该校女生的身高( )
A．一定为148.3 cmB．高于148.3 cm
C．低于148.3 cm D．约为148.3 cm
D [由抽样调查的意义可以知道该校女生的身高约为148.3 cm.]
4．某班对高一年级学情联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将70名同学按01，02，03，…，70进行编号，然后通过电子表格软件生成如下随机数，则依次选出的第7个个体的编号是( )
29，78，64，56，07，82，52，42，07，44，38，15，51
A．07 B．44 C．15 D．51
B [符合条件的是29，64，56，07，52，42，44，故选出的第7个个体的编号是44.]
5．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为( )
A．36% B．72% C．90% D．25%
C [3640×100%＝90%.]
二、填空题
6．为了了解某班学生的会考合格率，要从该班70人中选30人进行考察分析，则70人的会考成绩的全体是________，样本是________，样本量是________．
总体 30人的会考成绩 30 [为了强调调查目的，由总体、样本、样本量的定义知，70人的会考成绩的全体是总体，样本是30人的会考成绩，样本量是30.]
7．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于________．
200 [由题意可知：n400+320+280＝0.2，解得n＝200.]
8．某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小，得到如下数据：
估计这50个零件的直径大约为________ cm.
12.84 [y＝12×12+13×34+14×450＝12.84 cm.]
三、解答题
9．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名艺人演出，其中从甲地30名艺人中随机挑选10人，从乙地18名艺人中随机挑选6人，从丙地10名艺人中随机挑选4人．试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人．
[解] 抽签法：
(1)将甲地30名艺人从01到30编号，然后用大小、质地完全相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出．
(2)运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人．
随机数法：
(1)将甲地30名艺人从01到30编号，准备10个大小、质地完全一样的小球．小球上分别写上数字0，1，2，…，9.把它们放入一个不透明的袋中，从袋中有放回地摸取2次，每次摸取前充分搅匀，并把第一次、第二次摸到的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～30范围内，就代表了对应编号的艺人被抽中，否则舍弃编号，重复抽取随机数，直到抽中10名艺人为止．
(2)运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人．
10．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A．110，110B．310，15
C．15，310 D．310，310
A [根据简单随机抽样的定义知选A.]
11．从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( )
A．knmB．k＋m－n
C．kmn D．不能估计
C [设参加游戏的小孩有x人，则kx＝nm，x＝kmn.]
12．某校为了解学生的课外阅读情况，通过简单随机抽样抽取了40名学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下：
则该校学生一周读书时间的平均数( )
A．一定为9小时B．高于9小时
C．低于9小时 D．约为9小时
D [由题目所给数据可知平均数为7×6+8×10+9×9+10×8+11×740＝9(小时)，
用样本平均数估计总体平均数，故该校学生一周读书时间的平均数约为9小时．]
13．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________．
12 14 [因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为36＝12，所以某一特定小球被抽到的可能性是12.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为16；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为15；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为14.]
14．小林初三第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得84分，第二单元得76分，第三单元得92分；期中考试得82分，期末考试得90分．如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%，30%，60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩应为多少分？
[解] 易知小林平时平均成绩为13(76＋84＋92)＝84(分)．
依题意，该学期小林总评成绩为84×10%＋82×30%＋90×60%＝87(分)．
15．某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验．
(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？
(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．
162，277，943，949，545，354, 821，737, 932，354，873，520，964，384, 263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667.
(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5 g，二是10袋质量的平均数≥500 g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：
502，500，499，497，503，499，501，500，498，499.
计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格．
[解] (1)第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500.
第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数．
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．
第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．
(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：
162，277，354，384，263，491，175，331，455，068.
(3)y＝502+500+499+497+503+499+501+500+498+49910
＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格．
学习任务
1．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．(数学抽象)
2．掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．(数据分析)
3．会计算样本均值，了解样本与总体的关系．(数据分析)
全面调查
抽样调查
定义
对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查
根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查
相关概念
总体：在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体．
个体：组成总体的每一个调查对象称为个体
样本：我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本．
样本量：样本中包含的个体数称为样本量
放回简单随机抽样
不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样
如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．除非特殊声明，所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进n个球的人数
1
2
7
2
年龄(单位：岁)
32
34
38
40
42
43
45
46
48
频数
2
4
20
20
26
10
8
6
4

抽签法
随机数法
不同点
①抽签法比随机数法简单；
②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况
随机数法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点
①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；
②都是从总体中逐个不放回地抽取
直径(单位：cm)
12
13
14
频数
12
34
4
读书时间(小时)
7
8
9
10
11
学生人数
6
10
9
8
7