人教版高中数学选择性必修第二册 重难强化训练1(含解析)

这是一份人教版高中数学选择性必修第二册 重难强化训练1(含解析)，共8页。
易错点1| 忽视数列是特殊的函数
[防范要诀]
数列的通项an及前n项和Sn都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题．
[对点集训]
1．(5分)设an＝－n2＋5n－6，则数列{an}中的最大项的值是( )
A．eq \f(16,3) B．eq \f(13,3)
C．eq \f(3,4) D．0
2．(5分)已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于任意n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是( )
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
3.(5分)已知数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
[对点集训]
4．(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
5.(5分)已知数列{an}满足Sn＝n2＋1，则通项公式an＝________.
易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误
[防范要诀]
使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差．
[对点集训]
6.(5分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，判断{an}是否是等差数列．
7.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝eq \f(1,4)(an＋1)2，且an>0.求{an}的通项公式．
练疑难
8．(5分)在数列{an}中，a1＝1，an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3的值是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,4) D．1
9．(5分)若lg 2，lg (2x－1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A．0 B．lg25
C．32 D．0或32
10．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝n－7eq \r(n)＋2，则此数列中数值最小的项是( )
A．第10项 B．第11项
C．第12项 D．第13项
11．(5分)已知{an}为等差数列，首项为eq \f(1,25)，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是( )
A．d>eq \f(8,75)
B．d－2 D．k>－3
D 解析：∵an＋1>an，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2>n2＋kn＋2，
即k>－(2n＋1)对于任意n∈N*都成立，
当n＝1时，－(2n＋1)取最大值－3，
∴k>－3.
3.(5分)已知数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
10或11 解析：令an≥0得－n2＋10n＋11≥0，
即n2－10n－11≤0，∴－1≤n≤11.
∵n∈N*，∴该数列前10项为正，第11项为0.
∴该数列前10或11项的和最大．
易错点2| 不能正确进行an与Sn互化
[防范要诀]
凡是已知Sn的表达式或Sn与an的关系式，都需要用到当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；另外，也不要忽视检验n＝1是否也适合an.
[对点集训]
4．(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
C 解析：∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，
∴Sn－1＋Sn＝an(n≥2)，
两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．
当n＝1时，S1＋S2＝a2，∴2a1＝0即a1＝0.
∴{an}是常数列，各项均为0.
5.(5分)已知数列{an}满足Sn＝n2＋1，则通项公式an＝________.
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2)) 解析：∵Sn＝n2＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝S1＝2与上式不符合．
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2.))
易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误
[防范要诀]
使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差．
[对点集训]
6.(5分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，判断{an}是否是等差数列．
解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝eq \f(3,2).但a2－a1＝1≠eq \f(3,2)，故数列{an}不是等差数列.
7.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝eq \f(1,4)(an＋1)2，且an>0.求{an}的通项公式．
解：∵Sn＝eq \f(1,4)(an＋1)2.
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝eq \f(1,4)(an＋1)2－eq \f(1,4)(an－1＋1)2.
∴aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)－2an－2an－1＝0.
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．
∴{an}为等差数列，公差为2.
当n＝1时，S1＝a1＝eq \f(1,4)(a1＋1)2.∴aeq \\al(2,1)－2a1＋1＝0.
∴a1＝1.∴an＝2n－1.
练疑难
8．(5分)在数列{an}中，a1＝1，an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3的值是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,4) D．1
A 解析：∵在数列{an}中，a1＝1，an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，
∴a2×1＝a1＋(－1)2＝1＋1＝2，解得a2＝2，
a3×2＝a2＋(－1)3＝2－1＝1.∴a3＝eq \f(1,2).
9．(5分)若lg 2，lg (2x－1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A．0 B．lg25
C．32 D．0或32
B 解析：依题意得2 lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，
∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，∴(2x)2－4·2x－5＝0，
∴(2x－5)(2x＋1)＝0，∴2x＝5或2x＝－1(舍)，
∴x＝lg25.
10．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝n－7eq \r(n)＋2，则此数列中数值最小的项是( )
A．第10项 B．第11项
C．第12项 D．第13项
C 解析：∵an＝n－7eq \r(n)＋2＝(eq \r(n))2－7eq \r(n)＋2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n)－\f(7,2)))2－eq \f(41,4).
令eq \r(n)＝eq \f(7,2)，则n＝eq \f(49,4)＝12.25.∵n∈N*，
∴当n＝12时，an最小．
11．(5分)已知{an}为等差数列，首项为eq \f(1,25)，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是( )
A．d>eq \f(8,75)
B．d