数学：内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗2023-2024学年八年级下学期4月期中考试试题（解析版）

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一、选择题
1. 下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．
=2，故不是最简二次根式．
故选C．
2. 下列式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】是最简二次根式，故不能再进行化简，故A选项错误；
，故B选项错误；
是最简二次根式，故不能再化简，故C选项错误；
，故D选项正确，
故选：D．
3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. ＜1B. ≥1C. ≤1D. ＞1
【答案】D
【解析】∵代数式有意义，
∴，
∴；
故选D．
4. 如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. D. 5
【答案】B
【解析】四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，，
故选：B．
5. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ）
A. 1B. 2C. 1.5D. 2.5
【答案】A
【解析】∵DE是△ABC中位线，BC=8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB=90°，
∴，
∴EF=DE-DF=1，
故选A．
6. 若的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】A.∵，，
∴，
∴不能判断是直角三角形，不符合题意；
B.∵，，
∴，
∴不能判断直角三角形，不符合题意；
C.∵，
∴不能判断是直角三角形，不符合题意；
D.∵，
∴能判断是直角三角形，符合题意；
故选D．
7. 如图，在中，，于点D，，E是斜边AB的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
又∵E是斜边AB的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形，，，的边长分别是2，3，1，2，则正方形的边长是（ ）
A. 8B. C. D. 5
【答案】C
【解析】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
；
；
；
即最大正方形E的面积为：，
∴最大正方形E的边长为．
故选：C．
9. 在中，，高，则的长为（ ）
A. 14B. 4C. 14或4D. 以上都不对
【答案】C
【解析】由题意知，分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况求解：
①当是锐角三角形时，如图1，在锐角中，，边上高，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∴；
①当是钝角三角形时，如图2，在钝角中，，边上高，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∴；
综上所述，的长为4或14；
故选：C．
10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且
，给出下列结论：①，②，③④，其中正确的个数为（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，
∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确；
②∵EF=，
∴OE=2．
∵AO=AB=3，
∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG=1，
CF=＝＝，
BH=3-1=2，
DH=3+1=4，
BD=，故错误；
④△COF的面积S△COF=×3×1=，故错误；
故选：B．
二.填空题
11. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的第三边长度为______．
【答案】或
【解析】等腰三角形的两边长分别为和，
第一种情况：等腰三角形的三边长分别为、和，
∵，化简得，，满足等腰三角形三边关系，
∴等腰三角形的第三边长为；
第二情况：等腰三角形的三边长分别为、和，
∵，化简得，，满足等腰三角形三边关系，
∴等腰三角形的第三边长为；
综上所述，等腰三角形的第三边长为或，
故答案为：或．
13. 如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为____．
【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，，∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点D作于点G，
∵
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝__________．

【答案】2
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝5，
∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
15. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为______cm．
【答案】9.6
【解析】∵四边形是菱形，
∵
∴
∴，
故的长为,
故答案为：9.6．
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___．

【答案】
【解析】∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13－5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，
在Rt△A′EB中：，
解得：．
故答案为：
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
18. 阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
（1）计算： ， ；
若n为正整数，请你猜想 ．
（2）计算：；
（1）解：
；
；
；
（2）解：原式
．
19. 如图, 在四边形ABCD中，∠ADB=90°，AD=12，DO=OB=5，AC=26，
（1）求BC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
（1）解：∵在△AOD中，∠ADO=90°，AD=12，OD=5，
∴，
∴CO=AC-AO=13，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12；
（2）解：由（1）得四边形ABCD是平行四边形，
∵BD=OD+OB=10，
∴
20. 为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．求出该空地的面积．
解：连接，
∵，
∴（米），
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴四边形ABCD的面积是：（平方米），
即这块四边形空地的面积是96平方米．
21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，∴，
∵垂直平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∵，
∴，
∴菱形的面积为20．
22. 同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题：
（1）如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
（2）如图（3），点E是的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
（1）解：的结论还成立，理由如下．
如图，在上取一点，使，连接，
，
，，
是正方形外角的平分线，
，，
，
，，
，
∴，
；
（2）解：的结论还成立，理由如下．
理由如下：如图，延长到，使，
，
．
，
，
．
，，
即．
，
．
在与中，
，
，．