山东省淄博市淄博中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含答案)

这是一份山东省淄博市淄博中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含答案)，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知函数，则（ ）
A．B．1C．D．
2．是等差数列a的前项和，，，则首项（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．在数列中，若，则（ ）
A．B．2C．1D．
4．某同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前六个数字3、1、4、1、5、9进行某种排列得到密码，要求两个1必须相邻，那么可以设置的不同密码有（ ）
A．120B．240C．60D．30
5．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）
A．15B．17C．18D．19
6．设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．72种
8．已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（ ）
A．B．C．D．e
二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法
11．已知数列的通项公式为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数在上的最大值为______．
13．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为______．
14．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题（本大题共77分）
15．（13分）某医院有内科医生7名，外科医生5名，现选派4名参加赈灾医疗队，其中，
（1）甲、乙有且仅有一人参加，有多少种选法？
（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
16．（15分）设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
（1）求a的值；
（2）设函数，求的最小值；
17．（15分）已知等比数列中，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，满足，求的前n项和．
18．（17分）已知数列的前n项和为，满足．
（1）求的通项公式；
（2）删去数列的第3i项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前n项和为，请写出的前6项，并求出和．
19．（17分）已知函数（，e为自然对数的底数）．
（1）若在处的切线与直线垂直，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：．
淄博中学2023-2024学年第二学期高二期中考试数学试题答案
一、单选题（每小题5分，共40分，只有一个正确选项）
1．【答案】，选A
2．【答案】得所以选A
3．【答案】，，，所以周期为3，所以选D
4．【答案】，选A
5．【答案】前几项为3、5、7、9、11，所以，所以，所以选B
6．【答案】
因为是奇函数
所以
所以
所以切点为
所以
所以选B
7．【答案】选C
8．【答案】
因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；
当时，则在上恒成立，
令，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
又，故，即，选C
二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分）
9．【答案】A．
B．
C．
D． 选BD
10．【答案】A．B．C．D．
选ABD
11．【答案】由可知是以，的等差数列。
所以，
所以
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以
选ABD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．【答案】在单调递增，在上单调递减，所以，
13．【答案】由题意知解得所以或7
14．【答案】定义域为，
故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，
其中，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而在处取得极大值，也是最大值，
，
且当时，恒成立，
当时，恒成立，
画出的图象如下：
显然要想，与两函数有两个交点，
需要满足，
四、解答题（本大题共77分）
15．【答案】（1）共有种选法；
（2）由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数即为队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法数，
则共有种选法．
16．【答案】（1）由题意得的定义域为，，
因为．所以，解得．
（2）因为，的定义域为，
，
令，得，
与在区间上的情况如下：
所以在的单调递减区间为，单调递增区间为；
所以
17．【答案】（1）设等比数列公比为q，
因为，
所以，
因为
所以
解得 所以
（2）
18．【答案】（1）当时，有，解得；
当时，有，联立条件，
得，
即，即；
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
因此，．
（2）删去数列的第3i项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为：
数列前6项为，，，．
．
注意到构成以为首项，以8为公比的等比数列，
构成以为首项，以8为公比的等比数列，
．
19．【答案】（1），则，
由已知，解得
（2）
（i）当时，，
所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（3）方法一：
等价于
当时，
令，
令则在区间上单调递增
∵，，
∴存在，使得，即
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增
∴
∴，故
方法二：
当时，
令，则，
令，则
当时，；当时，
∴在区间上单调递减，上单调递增．
x
0
0
递减
极小
递增