山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了本试题分第I卷和第I卷两部分，在中，已知，且的面积为3，则，已知，点在内，且，已知向量，若在上的投影向量为，已知，则），计算下列各式，结果为的是，等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试题分第I卷和第I卷两部分．第I卷为选择题，共58分；第II卷为非选择题，共92分；满分150分，考试时间为120分钟．
2．客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用黑色签字笔答题．
第I卷（共58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．在中，已知，则（ ）
A．1B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．－2
3．在中，已知，且的面积为3，则（ ）
A．B．C．或D．或
4．已知，点在内，且．设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
5．将函数的图象向左平移个单位，若所得函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，若在上的投影向量为（是与同向的单位向量），则（ ）
A．169B．13C．196D．14
7．已知，则）
A．B．C．D．
8．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等．，则用表示，其结果为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求）
9．计算下列各式，结果为的是，（ ）
A．B．
C．D．
10．已知分别是三个内角的对边，则下列命题中错误的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若是边长为1的正三角形，则
C．若，则有一解
D．若，则是等腰直角三角形
11．下列说法正确的是（ ）
A．设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则
B．在中，若，则
C．设，且，则
D．若是内的一点，满足，则
第II卷（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，满足，且，则与的夹角为______．
13．已知，则的值为______．
14．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为______米．
四、解答题
15．（本小题13分）已知函数
（1）求的单调递增区间及最小正周期；
（2）若，且，求．
16．（本小题15分）已知向量．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17．（本小题15分）
如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
（1）轮船D与观测点B的距离；
（2）救援船到达D点所需要的时间．
18．（本小题17分）
在中，角的对边分别为．
（1）求A；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
19．（本小题17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点，当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
高一数学学科试题参考答案
1－4．DACB 5－7．BBB
8．C【详解】因中任意相邻两点间的距离相等，不妨设的中点为，则点也是的中点．，同理可得：
，
则．
9．AB 10．BCD 11．ABC
三、填空题
12．60°13．
14．85【解析】解：设乘客乘坐摩天轮与地面的高度与时间的关系为：），由题意可知，，即，又，即，故．
∴第7分钟时他距离地面的高度大约为85米．故答案为：85．
四、解答题
15．（本小题13分）解：（1）
，
令，得，
所以函数的单调递增区间为，函数的周期为；
（2），且，
即，因为，所以，故
．
16．（本小题15分）解：（1）因为向量，且，则，则，可得，
所以，，解得．
（2）当时，，则，
因为与的夹角为锐角，则，
解得，且与不共线，则，可得，
综上所述，实数的取值范围是．
17．（本小题15分）解：（1）由D在A的北偏东，在B的北偏西，
，由正弦定理得，
，又，
代入上式得：（海里），
答：轮船D与观测点B的距离为海里；
（2）中，海里，海里，，
，
，解得海里，（小时），
答：救援船到达D所需的时间为1小时．
18．（本小题17分）解：（1）因为，
正弦定理得：，即
即，
所以，因为，所以，
所以，即，又因为，所以；
（2）因为点是上的点，平分，且，
所以，因为，
所以，
化简得：，所以，当且仅当时取等号，
解得：，当且仅当时取等号，，
所以面积的最小值为．
19．（本小题17分）解：（1）由已知中，即，故，
由正弦定理可得，故直角三角形，即；
（2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：，设，
由，得，
整理得，则；
（3）点P为的费马点，则，
设，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去）．故实数t的最小值为．