专题02 单中点与双中点模型-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题02 单中点与双中点模型

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

                      ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.

在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。

模型一、双中点-中位线模型

如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.

例.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（　　）

A． B．2 C． D．2

【变式训练1】如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，顶点和边的中点均在函数的图象上，则的面积为（  ）

A． B． C． D．

【变式训练3】如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是AB的中点，E是BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为                  .

模型二、 单中点-倍长中线模型

例.如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：．

【变式训练1】已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．

（1）如图1，①若，请直接写出______；

②连接，若，求证：；

（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．

【变式训练2】如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：

探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；

探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．

【变式训练3】如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　　．

模型二、 单中点-“三线合一”模型

如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.

例.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF⊥FD.

【变式训练1】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（     ）

A.    B.    C.    D.

【变式训练2】半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M与圆心O重合，求图中阴影部分面积？

课后训练

1. 如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18

2.如图，O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（     ）

A.    B. 5   C.    D.

3.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　．

4．如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点G，若DG=GE，说明：△ABC为等腰三角形．

5．如图所示，已知在中，D是AB的中点，，，求．

6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状.

7.如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长.

8．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．

（1）如图1，①若，请直接写出______；

②连接，若，求证：；

（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．