【新结构】广西壮族自治区部分州、市2024届高三下学期第二次联合模拟考试数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份【新结构】广西壮族自治区部分州、市2024届高三下学期第二次联合模拟考试数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若(z−1)i=1+i，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 5
2.已知椭圆x24m2+y2=1(m>12)的离心率为 32，则2m=( )
A. 2B. 4C. 2D. 2 2
3.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2=2，a3+a4=6，则S6S4=( )
A. 2B. 74C. 3D. 134
4.从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为( )
A. 15B. 25C. 310D. 710
5.已知函数f(x)=ln[(x−a)(x+e)+2e2](a∈R,e为自然对数的底数)为偶函数，则f(x)的最小值为( )
A. 2B. 0C. 1D. ln2
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)+1(ω>0)在区间(0,π)上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是( )
A. (43,103)B. [53,3]C. [43,103)D. (53,3]
7.记函数y=f(x)的导函数为y′，y′的导函数为y′′，则曲线y=f(x)的曲率K=|y′′|[1+(y′)2]32.若函数为y=lnx，则其曲率的最大值为( )
A. 23B. 22C. 2 39D. 2 33
8.已知点P为双曲线C:x24−y23=1上的任意一点，过点P作双曲线C渐近线的垂线，垂足分别为E，F，则△PEF的面积为( )
A. 43B. 24 349C. 127D. 48 349
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论中正确的是( )
A. a+b>0B. ac>bc
C. 1a−b>1b−cD. (a−c)(b−c)<94c2
10.在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且a=4，3sin2A−4cs2A=4，则( )
A. △ABC的外接圆半径为5
B. 若c=4，则△ABC的面积为19225
C. 5b−3c=20csC
D. |AB+AC|−AB⋅AC的取值范围为[−4,2 13−9)
11.已知函数y=f(x)的定义域与值域均为Q+，且f(y)f(x+y2y)=f(x)+f2(y)+txf(y)(t∈N*)，则( )
A. f(1)=1B. 函数f(x)的周期为4
C. f(x)=x2(x∈Q+)D. t=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={m+2,1,4}，B={m2,1}，若B⊆A，则实数m=__________.
13.设实数x，y(4≤x14.在三棱锥P−ABC中，△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面积分别为3，4，12，13，且∠APB=∠BPC=∠APC，则其内切球的表面积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=(2x2−5x+2)ex.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间与极值.
16.(本小题15分)
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=4，点E，F，G，H分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，且BF=DH=2AE=2，CG=3.
(1)证明：F，E，H，G四点共面;
(2)求平面ABCD与平面EGH所成角的余弦值.
17.(本小题15分)
某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种.已知第1周选择使用甲密码.
(1)分别求第3周和第4周使用甲密码的概率;
(2)记前n周中使用了乙密码的次数为Y，求E(Y).
18.(本小题17分)
已知抛物线C:x2=y，过点E(0,2)作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P.
(1)证明：P在定直线上;
(2)若F为抛物线C的焦点，证明：∠PFA=∠PFB.
19.(本小题17分)
设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数.该函数具有以下性质：
①y=[x]的定义域为R，值域为Z;
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即x=[x]+{x}(0≤{x}<1)，其中[x]为x的整数部分，{x}=x−[x]为x的小数部分;
③[n+x]=n+[x](n∈Z);
④若整数a，b满足a=bq+r(b>0,q,r∈Z,0≤r(1)解方程[5+6x8]=15x−75;
(2)已知实数r满足[r+19100]+[r+20100]+[r+21100]+⋯+[r+91100]=546，求[100r]的值;
(3)证明：对于任意的正整数n，均有n(n+1)4n−2>n+14.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数模的计算，考查复数的运算，属于基础题．
求出复数z，继而可得结果．
【解答】
解：∵(z−1)i=1+i，
∴z=1+ii+1=1+i⋅−ii⋅−i+1=1−i+1=2−i，
故|z|= 22+−12= 5.
故选：C.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查与椭圆离心率有关的参数问题，属于基础题.
由方程和已知条件表示离心率，求得m的值，得答案.
【解答】
解：∵m>12，
∴4m2>1，
∴椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则 a2=4m2，b2=1，
∴c2=a2−b2=4m2−1，
∵离心率e=ca= 32，
∴c2a2=34=4m2−14m2，
∴m=1，
所以2m=2，
故选A.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等比数列的前n项和公式，属于中档题.
方法一：设等比数列an的公比为q，求得q2=3，再利用等比数列的求和公式可求得结果.
方法二：由题意可得S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，列式求解即可.
【解答】
解：方法一：设等比数列an的公比为q，
若q=1，则由a3+a4=6，可得a3=a4=a1=a2=3，则S2=6，这与S2=2矛盾，所以q≠1，
故a3+a4=a3(1−q2)1−q=a1q2(1−q2)1−q=q2S2，
由S2=2，a3+a4=6，则q2=3，
a5+a6=a5(1−q2)1−q=a1q4(1−q2)1−q=q4S2，
则S4=(a1+a2)+(a3+a4)=S2+q2S2=2+3×2=8，
S6=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)
=S2+q2S2+q4S2=2×(1+3+9)=26，
因此，S6S4=268=134.
故选：D.
方法二：由等比数列{an}，且S2=2，a3+a4=6，则S4=S2+a3+a4=8，
可知S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，
则S2(S6−S4)=(S4−S2)2，
即2×(S6−8)=62，解得S6=26，
则S6S4=268=134.
故选D.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，属于基础题．
列举出基本事件，求出其中3个数的积与和都是3的倍数的个数，由古典概型概率求解.
【解答】
解：从1、2、3、4、5这五个数中，随机抽取3个不同的数，
基本事件有：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10个，
其中该3个数的积与和都是3的倍数的有：123，135，234，345，共4个，
则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为：410=25.
故选B.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与最值，考查理性思维、数学应用学科素养，属于基础题.
由函数的奇偶性求得a的值，再由函数的单调性进行求解.
【解答】
解：f(x)=ln [(x−a)(x+e)+2e2]=ln[x2+(−a+e)x−ae+2e2]，
由于函数f(x)是偶函数，所以a=e，
f(x)=ln(x2+e2)≥lne2=2，当且仅当x=0时，等号成立，即当x=0时，函数f(x)取得最小值，且最小值为2，
故选A.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正弦(型)函数的零点问题，属于中档题.
首先根据x的范围得到ωx+π6∈π6,π6+ωπ，再根据已知条件恰有2个零点，求出结果.
【解答】
解：因为x∈(0,π)，则ωx+π6∈π6,π6+ωπ，
因为f(x)的图象在区间(0,π)上恰有2个零点，
所以11π6<π6+ωπ≤19π6，
解得53<ω≤3，
即ω的取值范围是(53,3].
故选D.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的新定义问题，考查利用导数求最值，属于中档题.
求出曲线y=lnx的曲率K=x(1+x2) 32，利用导数求最大值即可.
【解答】
解：函数y=lnx的定义域是(0,+∞)，y′=1x，y′′=−1x2，
则曲线y=lnx的曲率K=−1x2[1+(1x)2]32=x(1+x2) 32，
则K′=1−2x2(1+x2) 52，
当00，函数单调递增;
当x> 22时，K′<0，函数单调递减.
则曲率的最大值为 221+ 22232=2 39.
故选：C.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，点到直线距离公式，三角形面积公式，属于中档题．
由题意结合点到直线距离公式求出PE与PF，由三角函数知识求出sin∠EPF，再代入三角形面积公式即可求解.
【解答】
解：根据对称性，不妨设P在第一象限，
因为双曲线C：x24−y23=1的渐近线方程为：y=± 32x，
即 3x−2y=0和 3x+2y=0，
且 32<1=tan45∘，
所以渐近线 3x−2y=0的倾斜角小于45∘，
设E在直线 3x−2y=0上，F在直线 3x+2y=0上，
则E在第一象限，F在第四象限，
设P(m,n)，代入双曲线C得：3m2−4n2=12，
根据点到直线的距离公式求得：
|PE|=| 3m−2n| 32+−22=| 3m−2n| 7，
|PF|= 3m+2n 32+22=| 3m+2n| 7，
则|PE|⋅|PF|=|3m2−4n2|7=127，
由四边形OEPF(O为原点)的对角互补，
可得cs∠EPF=−cs∠EOF，
因为tan∠EOx= 32，
所以tan∠EOF=2× 321− 322= 314=4 3，
则cs∠EOF=17，
即cs∠EPF=−17，
所以sin∠EPF= 1−−172=4 37，
故S△PEF=12|PE|⋅|PF|⋅sin∠EPF
=12×127×4 37=24 349.
故选：B.
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质，属于基础题.
由题意得a>0， c<0，根据不等式的性质可判断AB，举反例判断C，结合基本不等式判断D.
【解答】
解：由题意 a>b>c，且 a+b+c=0，所以 a>0， c<0，
对于A；a+b=−c>0，故A正确；
对于B；因为 a>b， c<0，所以 ac对于C；不妨取a=1,b=0,c=−1，此时1a−b=1=1b−c，故C错误；
对于D；由于a>b>c，所以a−c>0，b−c>0，
所以(a−c)(b−c)≤(a−c+b−c2)2=(a+b−2c2)2
=(−c−2c2)2=94c2，当且仅当a−c=b−c时，取等号，
而a>b>c，所以a−c≠b−c，故等号不成立，
因此(a−c)(b−c)<94c2，D正确.
故选：AD.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查解三角形，正余弦定理，向量的模与数量积，属于中档题.
利用二倍角公式与同角三角关系求出csA=35，得sinA=45，结合正弦定理判断A；利用余弦定理和面积公式进行求解可判断B；利用正弦定理与两角和的正弦公式化简可判断C；设BC中点为D，可得|AB+AC|−AB⋅AC=−|AD|2+2|AD|+4，结合正余弦定理求出AD的范围，再结合二次函数性质可判断D.
【解答】
解：对于选项A，3sin2A−4cs2A=4，
故6sinAcsA−42cs2A−1=4，
可得3sinAcsA=4cs2A，
因为A为锐角，故tanA=43，
又sin2A+cs2A=1，故csA=35，得sinA=45，
故asinA=5，故△ABC的外接圆半径为52，A错误；
对于选项B，由余弦定理csA=b2+c2−a22bc=b8=35⇒b=245，
故△ABC的面积S=12bcsinA=12×245×4×45=19225，B正确；
对于C选项，因为asinA=5，
由正弦定理得b=5sinB，c=5sinC，
所以5b−3ccsC=25sinB−15sinCcsC，①
由于sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=45csC+35sinC，
代入①式可知：5b−3ccsC=(20csC+15sinC)−15sinCcsC=20，故C正确；
对于D选项，
设BC中点为D，则|AB+AC|=|2AD|=2|AD|，
AB⋅AC=(AD+DB)⋅(AD+DC)=(AD+DB)⋅(AD−DB)=AD2−DB2=|AD|2−4，
所以|AB+AC|−AB⋅AC=−|AD|2+2|AD|+4，
如下图所示，
设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，
故点A的运动轨迹为劣弧A1A2(不含端点)，
由正弦定理知圆O的半径r=52，故OD=rcsA=52×35=32，
设∠AOD=θ，则π−A<θ≤π，由余弦定理：
AD= OA2+OD2−2OA⋅OD⋅csθ= 254+94−2⋅52⋅32⋅csθ= 172−152csθ∈ 13,4,
由于函数fx=−x2+2x+4在x∈ 13,4时单调递减，f 13=2 13−9，f4=−4，
所以|AB+AC|−AB⋅AC=−|AD|2+2|AD|+4∈[−4,2 13−9),D正确.
故选：BCD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的解析式，函数的周期性，属于难题.
分别令y=1，y=x，可得到fxf1+f1=1+fx，再根据等式可求得f1=1，即可判断A；可得fx+1=1+fx+tx，分别求得f(2)，f(3)，f(4)，在题干等式中令x=4，y=2，再代入求解得到t，即可判断D；利用累加法可求得fn=n2，n∈N+，取x=n，可得fny+y=n2fy+fy+2n，将y换成ny，验证后得到fy⋅fny=n2，令y=k，k∈N+，从而可得函数解析式，即可判断B，C.
【解答】
解：因为fyfx+y2y=fx+f2y+txfy，fx≠0，
令y=1，可得f1fx+1=fx+f21+txf1，
即fx+1=fxf1+f1+tx①，
令y=x，可得fxfx+1=fx+f2x+txfx，
即fx+1=1+fx+tx②，
由①②可得fxf1+f1=1+fx，
即fx−f1f1−1=0，
可得fx=f1或f1=1，
若fx=f1，则可得f21=f1+f21+txf1对任意x∈Q+恒成立，
可得f1=0，与函数y=fx的值域为Q+矛盾，
则f1=1，故A正确；
在fx+1=1+fx+tx中，
令x=1，可得f2=2+t，
令x=2，可得f3=3+3t，
令x=3，可得f4=4+6t，
在fyfx+y2y=fx+f2y+txfy中，
令x=4，y=2，可得f2⋅f4=f4+f22+4tf2，
即2+t4+6t=4+6t+2+t2+4t2+t，
解得t=0(舍)或t=2，故D正确；
可知fx+1=fx+2x+1，
则f2−f1=3，f3−f2=5，…，fn−fn−1=2n−1，n∈N+，n≥2，
累加可得fn−f1=3+5+⋯+2n−1，
则fn=1+3+5+⋯+2n−1=n1+2n−12=n2，
当n=1时也满足fn=n2，
则当x∈N+时，fx=x2，
由fyfx+y2y=fx+f2y+2xfy，
可得fxy+y=fxfy+fy+2x，
取x=n，n∈N+，可得fny+y=n2fy+fy+2n③，
在③中将y换成ny，可得fny+y=n2fny+fny+2n④，
由③④可得fny=fy或fy⋅fny=n2，
由f2=4，f3=9，可得f62=f3≠f2，故fny=fy不对任意n∈N+成立，
则fy⋅fny=n2，
令y=k，k∈N+，可得fnk=n2fk=nk2，
由k∈N+，n∈N+，可知nk∈Q+，
即当x∈Q+时，fx=x2，
则函数fx的解析式为fx=x2(x∈Q+)，故C正确；
显然函数fx不是周期函数，故B错误.
故选ACD.
12.【答案】−2
【解析】【分析】
本题考查了集合的包含关系与应用，注意要验证，属于基础题．
由B⊆A可知4=m2或m+2=m2，求出m再验证即可．
【解答】
解：∵B⊆A，
∴4=m2或m+2=m2，
解得，m=2或m=−2或m=−1，
将m的值代入集合A、B验证，
当m=2， A=4,1,,4,B=1,4，不符合集合中元素的互异性；
当m=−2， A=0,1,4,B=1,4，符合题意；
当m=−1， A=1,1,4,B=1,1，不符合集合中元素的互异性；
故m=−2.
13.【答案】149
【解析】【分析】
本题考查了平均数、方差及百分位数，属于基础题.
依题可得 4+x2=1+3+4+x+y+y+26 ，即 y=x+1 ，继而按方差公式计算即可.
【解答】
解：数据1，3，4， x ， y ， y+2 的第50百分位数为 4+x2 ，
所以 4+x2=1+3+4+x+y+y+26 ，化简得 y=x+1 ，
此时 x ， y ， y+2 即 x ， x+1 ， x+3 ，
这组数据的平均值为 x+43 ，
方差 s2=13×[(x−x−43)2+(x+1−x−43)2+(x+3−x−43)2]=149 .
故答案为：149.
14.【答案】9π8
【解析】【分析】
本题考查三棱锥的内切球问题，计算量大，属于难题.
设∠APB=∠BPC=∠APC=α，由题意利用三角形面积公式可得PA：PB：PC=3:1:4，设PA=3a，PB=a，PC=4a，由△PAB的面积为3可得a4cs2α=a4−4①，利用余弦定理表示出△ABC的三边，利用余弦定理表示cs∠ABC，进而求解sin∠ABC，根据△ABC面积为13可得a与α的又一个式子，与①联立求解可得α=π2，a= 2，故PA、PB、PC两两互相垂直，再根据等体积法求解内切球半径，进而求解表面积.
【解答】
解：设∠APB=∠BPC=∠APC=α，α∈(0,π)，
由题意可得12PA⋅PBsinα：12PB⋅PCsinα：12PC⋅PAsinα=3:4:12，
可得PA：PB：PC=3:1:4，
设PA=3a，PB=a，PC=4a，a>0，
由△PAB的面积为3可得12PA⋅PBsinα=3，
即12×3a×asinα=3，即a2sinα=2，
平方可得a4sin2α=4，
即a4(1−cs2α)=4，a4cs2α=a4−4，①
由余弦定理可得AB2=10a2−6a2csα，
BC2=17a2−8a2csα，AC2=25a2−24a2csα，
则△ABC中，cs∠ABC=AB2+BC2−AC22AB⋅BC
=10a2−6a2cs⁡α+17a2−8a2csα−25a2+24a2cs⁡α2 10a2−6a2cs⁡α⋅ 17a2−8a2csα
=a2+5a2cs⁡α 10a2−6a2cs⁡α⋅ 17a2−8a2csα，
由△ABC的面积为13可得12AB⋅BC⋅sin∠ABC=13，
即12AB⋅BC⋅ 1−cs2∠ABC=13，
即 10a2−6a2cs⁡α⋅ 17a2−8a2csα⋅ 1−(a2+5a2cs⁡α 10a2−6a2cs⁡α⋅ 17a2−8a2cs⁡α)2=2×13，
即(10a2−6a2cs⁡α)⋅(17a2−8a2csα)−(a2+5a2cs⁡α)2=4×169，
即169a4+23a4cs2α−192a4csα=4×169，
将①代入可得169a4+23(a4−4)−192a4csα=4×169，
即192a4−192a4csα=4×192，
即a4(1−csα)=4，
结合a4(1−cs2α)=4，可得csα=cs2α，
故csα=0或csα=1，
由α∈(0,π)，故csα=0，即α=π2，
则由a2sinα=2，可得a= 2，则PC=4a=4 2，
故PA、PB、PC两两互相垂直，
则三棱锥P−ABC的体积为V=13×S△PAB×PC=13×3×4 2=4 2，
设三棱锥P−ABC的内切球半径为r，球心为O，
则由VO−PAB+VO−PBC+VO−PAC+VO−ABC=V，
得13×S△PAB×r+13×S△PBC×r+13×S△PAC×r+13×S△ABC×r=V，
即13×r×(3+4+12+13)=4 2，解得r=3 28，
故内切球的表面积为4πr2=4π×(3 28)2=9π8，
故答案为9π8.
15.【答案】解：(1)由f(x)=(2x2−5x+2)ex
可知f′(x)=(4x−5)ex+(2x2−5x+2)ex=(2x2−x−3)ex，
所以f′(0)=−3e0=−3，又f(0)=2，
所以f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−2=−3x，即3x+y−2=0.
(2)f′(x)=(2x2−x−3)ex=(x+1)(2x−3)ex，f(x)的定义域为R.
由f′(x)=0，得x=32，或x=−1，
当x<−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当−1当x>32时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(32,+∞)；单调递减区间为(−1,32)，
故函数f(x)在x=−1处取得极大值，极大值为f(−1)=9e;
在x=32处取得极小值，极小值为f(32)=−e32.
【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，属于中档题．
(1)由导数的几何意义利用导数求切线的斜率，再由点斜式求切线方程;
(2)按步骤利用导数求函数的单调区间，进而求出极值.
16.【答案】解：(1)证明：如图：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
则：E(0,0,1)，F(2,0,2)，G(2,2,3)，H(0,2,2).
所以FG=(0,2,1)，EH=(0,2,1)，
所以FG=EH，
∴四边形FEHG为平行四边形，
故F，E，H，G四点共面.
(2)由(1)知，A(0,0,0)，A1(0,0,4)，EH=(0,2,1)，EG=(2,2,2)，
∴平面ABCD的法向量为AA1=(0,0,4)，
设平面EGH的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EH=0m⋅EG=0，所以2y+z=02x+2y+2z=0，
令y=1，则z=−2，x=1，
所以m=(1,1,−2)，
csm,AA1=m⋅AA1|m|⋅|AA1|=−84× 6=− 63，
由图可知平面ABCD与平面EGH所成角为锐角，
故平面ABCD与平面EGH所成角的余弦值为 63.
【解析】本题考查空间向量法证明四点共面，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.
(1)建立空间直角坐标系，由两个向量的共线证明平行即可；
(2)平面ABCD的法向量为AA1=(0,0,4)，求出平面EGH的法向量m=(1,1,−2)，由法向量的夹角余弦值得二面角的余弦值.
17.【答案】解：(1)设第k周使用甲密码的概率为ak，
因为a1=1，a2=0，所以a3=13，
a4=a3×0+(1−a3)×13=29，
答：第3周和第4周使用甲密码的概率分别为13和29；
(2)因为第k周使用甲密码的概率为ak，
则第k+1周使用甲密码的概率为ak+1=13(1−ak)，
整理得ak+1−14=−13(ak−14)，
因为a1=1，所以a1−14=34≠0，
所以数列{ak−14}是以34为首项，公比为−13的等比数列，
所以ak−14=34×(−13)k−1，
即ak=34×(−13)k−1+14，
设第k周使用甲密码的次数为Xk(k=1,2,⋯,n)，则Xk服从0−1分布，
所以E(X)=E(X1+X2+⋯+Xn)=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)
=a1+a2+⋯+an=34×1−(−13)n1+13+n4=916[1−(−13)n]+n4.
所以前n周中使用甲密码次数的均值E(X)=916[1−(−13)n+n4,
又因为乙、丙、丁地位相同，前n周中使用了乙密码的次数为Y，
所以E(Y)=n−E(X)3=n4+316[(−13)n−1].
【解析】本题考查等比数列的实际应用，考查离散型随机变量的期望，属于中档题.
(1)根据题意分析即可；
(2)设第k周使用甲密码的概率为ak，则第k+1周使用甲密码的概率ak+1=13(1−ak)，求出数列{ak−14}是以34为首项，公比为−13的等比数列，即可得出ak，设第k周使用甲种密码的次数为Xk(k=1,2,⋯,n)，则Xk服从0−1分布，所以E(X)=E(X1+X2+⋯+Xn)，即可求解E(X)，再由E(Y)=n−E(X)3计算即可.
18.【答案】证明：(1)因为A，B两点均在抛物线C上，
设A(x1,x12)，B(x2,x22)，
则kAB=x12−x22x1−x2=x1+x2，
所以直线AB的方程为：
y−x12=(x1+x2)(x−x1)，
即y=(x1+x2)x−x1x2，
又因为直线AB过点E(0,2)，
所以−x1x2=2，即x1x2=−2，
设直线PA的方程为y−x12=k(x−x1)，
与抛物线方程y=x2联立，
解得x=x1或x=k−x1，
又因为直线PA与抛物线相切，
所以x1=k−x1，即k=2x1，
则直线PA的方程为y−x12=2x1(x−x1)，
即y=2xx1−x12，
同理直线PB的方程为y=2xx2−x22，
联立y=2xx1−x12y=2xx2−x22，
解得x=x1+x22，y=x1x2，
即P(x1+x22,−2)，
故点P在直线y=−2上；
(2)证明：∵cs∠PFA=FA⋅FP|FA|⋅|FP|，
cs∠PFB=FB⋅FP|FB|⋅|FP|，
而0<∠PFA<π,0<∠PFB<π,
可知要证∠PFA=∠PFB，
即证FA⋅FP|FA|=FB⋅FP|FB|，
而FA=(x1x12−14)，FP=(x1+x22,−94)，
所以FA⋅FP=x1⋅x1+x22−94(x12−14)
=−716(4x12+1)，
又|FA|= x12+(x12−14)2=x12+14，
所以FA⋅FP|FA|=−716(4x12+1)x12+14=−74，
同理FB⋅FP|FB|=−74，
即有FA⋅FP|FA|=FB⋅FP|FB|，
故∠PFA=∠PFB.
【解析】本题考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线中的定直线问题和利用向量的数量积求向量的夹角，属于中档题.
(1)设A(x1,x12)，B(x2,x22)，得出直线AB的方程，因为直线AB过点E(0,2)得x1x2=−2，设直线PA的方程为y−x12=k(x−x1)，与抛物线方程y=x2联立，解得k=2x1，所以直线PA的方程为y=2xx1−x12，同理直线PB的方程为y=2xx2−x22，联立得出P坐标，即可得证；
(2)由cs∠PFA=FA⋅FP|FA|⋅|FP|，cs∠PFB=FB⋅FP|FB|⋅|FP|，要证∠PFA=∠PFB，即证FA⋅FP|FA|=FB⋅FP|FB|，利用向量的数量积即可得证.
19.【答案】解：(1)令15x−75=n(n∈Z)，则x=5n+715，
∴[5+6x8]=[10n+3940]=n，
又由高斯函数的定义有0≤10n+3940−n<1，
解得：−130当n=0时，则x=715;当n=1时，则x=45;
(2)设[r]=n，设[r+19100]，[r+20100]，[r+21100]，⋯，[r+91100]中有k个为n+1，(73−k)个n，(0≤k≤73)，
据题知：(73−k)n+k(n+1)=546，则有n=7+35−k73，
解得：k=35，n=7，
所以r+56100<8，r+57100≥8，即743≤100r<744，
故[100r]=743.
证明(3):据题形式，可构造不等式，当n≥3时，有n+14设n+1=4q+r(0≤r<3,q∈Z)，
则有q+r4从而r4<{n(n+1)4n−2}而n+14=q+r4，则{n+14}=r4，
∴{n(n+1)4n−2}>{n+14}.
又当n=1，2时，经检验原式成立，
故对一切的自然数n，原式成立.
【解析】本题考查了函数的新定义，属于较难题.
(1)令15x−75=n(n∈Z)，根据高斯函数定义求解即可；
(2)设[r]=n，设[r+19100]，[r+20100]，[r+21100]，⋯，[r+91100]中有k个为n+1，(73−k)个n，(0≤k≤73)，根据高斯函数定义求解即可；
(3)据题形式，可构造不等式，当n≥3时，有n+14