广西2024届高三下学期高考第二次联合模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份广西2024届高三下学期高考第二次联合模拟考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若,则( )
A.1B.C.D.5
2．已知椭圆的离心率为,则( )
A.2B.4C.D.
3．设是等比数列的前n项和,若,,则( )
A.2B.C.3D.
4．从1,2,3,4,5这5个数中随机地取出3个数,则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知函数为偶函数,则的最小值为( )
A.2B.0C.1D.
6．已知函数在区间上恰有两个零点,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．记函数的导函数为,的导函数为,则曲线的曲率.若函数为,则其曲率的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知点P为双曲线上的任意一点,过点P作双曲线C渐近线的垂线,垂足分别为E,F,则的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知实数a,b,c满足,且,则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.
10．在锐角中,角A,B,C对边分别为a,b,c,且,,则( )
A.的外接圆半径为5
B.若,则的面积为
C.
D.的取值范围为
11．已知函数的定义域与值域均为,且,则( )
A.B.函数的周期为4
C.D.
三、填空题
12．已知集合,,若,则实数________________.
13．设实数x,,满足1,3,4,x,y,的平均数与50%分位数相等,则数据x,y,的方差为_______________.
14．在三棱锥中,,,,的面积分别3,4,12,13,且,则其内切球的表面积为______________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求的单调区间与极值.
16．在正四棱柱中,已知,,点E,F,G,H分别在棱,,,上,且,.
(1)证明：F,E,H,G四点共面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．某高科技企业为提高研发成果的保密等级,设置了甲,乙,丙,丁四套互不相同的密码保存相关资料,每周使用其中的一套密码,且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种.已知第1周选择使用甲密码.
(1)分别求第3周和第4周使用甲密码的概率;
(2)记前n周中使用了乙密码的次数为Y,求.
18．已知抛物线,过点作直线交抛物线C于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线交于点P.
(1)证明：P在定直线上;
(2)若F为抛物线C的焦点,证明：.
19．设,用表示不超过x的最大整数,则称为取整函数,取整函数是德国数学家高斯最先使用,也称高斯函数.该函数具有以下性质：
①的定义域为R,值域为Z;
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和,即,其中为x的整数部分,为x的小数部分;
③;
④若整数a,b满足,则.
(1)解方程;
(2)已知实数r满足,求的值;
(3)证明：对于任意的大于等于3的正整数n,均有.
参考答案
1．答案：C
解析：由复数,可得,则.
故选：C.
2．答案：A
解析：,,所以,,
,解得,
.
故选：A.
3．答案：D
解析：由题意得,,
因为成等比数列,故,
即,解得,
故.
故选：D
4．答案：B
解析：从1,2,3,4,5这5个数中随机地取出3个数,共有种不同的取法;
其中这3个数的积与和都是3的倍数的有：,,,有4种取法,
所以该3个数的积与和都是3的倍数的概率为.
故选：B.
5．答案：A
解析：由函数,
可得,
因为函数为偶函数,可得,
可得,即,
当时,函数取得最小值,最小值为.
故选：A.
6．答案：D
解析：,,
因为函数在上恰好有两个零点,所以,
解得.
故选：D.
7．答案：C
解析：函数的定义域为,,,
所以曲线的曲率,
,,
当时,,当时,,
在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,曲率K取得最大值.
故选：C.
8．答案：B
解析：设点,满足,即,
又两条渐近线方程分别为,即,
故有,
设渐近线的倾斜角为,则,
,
故选：B.
9．答案：AD
解析：且,则,,
则,A正确;
因为,,所以,B错误;
因为,,,,
当时,,则;当时,,则,当时,,则,故C错误;
因为,
当且仅当时,等号成立,此时由可得,不符合,
所以不成立,故,即,D正确.
故选：AD
10．答案：BCD
解析：由,可得,因为A为锐角,
所以,所以,可得,.
对于A,由正弦定理,,,故A错误;
对于B,,,则,
所以.故B正确;
对于C,因为,,所以,,,
又,
,故C正确;
对于D,由余弦定理得,即,
又,
所以,
设,则,
由正弦定理
,
其中锐角满足,,由锐角三角形可得,
所以,
又,
所以,,
又,所以,从而,
而函数在上单调递减,又,,
所以的取值范围.故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：令得,
即①,
令,得②,
联立①②,故A正确;
令,得③,
由①,,,
将它们代入③整理可得,所以由,故D对;
由可知为一元二次函数,设,
则有,
整理得,又由,
所以,经验证满足题设要求,故B错C对,
故选：ACD.
12．答案：-2
解析：因为,所以或,或,
又由集合中元素的互异性可知且且,且,
综上.
故答案为：-2.
13．答案：
解析：根据题意,数据1,3,4,x,y,的平均数为,
数据1,3,4,x,y,的分位数为,
,即,代入数据x,y,,
即为x,,,此组数据的平均数为,
数据x,y,的方差为.
故答案：
14．答案：
解析：因为,
所以类比勾股定理由面推及到空间几何体可知三棱锥是一个墙角模型,
所以,
设三棱锥的三条侧棱PA,PB,PC长分别为,,,
则由题意有①,所以有,
所以代入①式,,,
所以,
设三棱锥的内切球半径为R,则
,
所以,,所以内切球的表面积为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)单调递增区间为和,单调递减区间为;极大值为,极小值为
解析：（1）由,可知,
所以,又,
所以在点处的切线方程为,即;
（2）,的定义域为R,
由,得,或,
当或时,,在,上均单调递增;
当时,,在上单调递减;
所以函数的单调递增区间为和;单调递减区间为,
故函数在处取得极大值,极大值为;
在处取得极小值,极小值为.
16．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：（1）在正四棱柱中,以点A为原点,直线,,分别为x,y,z建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
因此,即,,共面,又,,有公共点E,
所以F,E,H,G四点共面.
（2）由（1）知,,,,,
设平面的法向量,则,
令,得,
而平面的法向量为,则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：(1)第3周和第4周使用甲密码的概率分别为和
(2)
解析：（1）设第k周使用甲密码的概率为,
因为,,
所以,,
所以第3周和第4周使用甲密码的概率分别为和.
（2）因为第k周使用甲密码的概率为,
则第周使用甲密码的概率为,
整理得,
因为,所以,
所以数列是以为首项,公比为的等比数列,
所以,即.
设第k周使用甲密码的次数为,则服从分布,
所以
.
所以前n周中使用甲密码次数的均值,
又因为乙、丙、丁地位相同,所以.
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1）证明：设,,则,
直线AB的方程为,即,
又因为直线AB过点,所以,即,
设直线的方程为,与抛物线方程联立,解得或,
又因为直线与抛物线相切,所以,即,
所以直线的方程为,即,
同理直线的方程为,
由,解得,即,
故点P在直线上.
（2）证明： ,,
注意到两角都在内,可知要证.即证.
而,,
所以,
又,
所以,同理,
即有,故.
19．答案：(1)或
(2)743
(3)证明见解析
解析：（1）令,则,
,
又由高斯函数的定义有,
解得：,则或,
当时,则;当时,则;
（2）设,设,,,…,中有k个为,
个n,,
据题意知：,则有,
解得,,
所以,,即,
故;
（3）证明：由的形式,可构造不等式,
当时,有;
设,
则有,
从而,
而,则,
.