【新结构】（柳州三模）广西壮族自治区柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题（含详细答案解析）

这是一份【新结构】（柳州三模）广西壮族自治区柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A. 70%B. 60%C. 50%D. 40%
2.已知i是虚数单位，若(1+i)(a+i)为实数，则实数a的值为( )
A. 1B. −2C. 0D. −1
3.已知AB=(2,3)，AC=(3,t)，|BC|=1，则AB⋅BC=( )
A. −3B. −2C. 2D. 3
4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10−10.1
5.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A. 60种B. 48种C. 30种D. 10种
6.已知P，A，B，C是半径为2的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 34，则三棱锥P−ABC体积的最大值为( )
A. 3 34B. 9 34C. 3 3D. 15 34
7.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2+bx−c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1,x2)( )
A. 必在圆x2+y2=2内B. 必在圆x2+y2=2上
C. 必在圆x2+y2=2外D. 与圆x2+y2=2的关系与e有关
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意的x，y∈R，都有|f(x)−f(y)|<|x−y|，若函数g(x)−f(x)=x，则不等式g(2x−x2)+g(x−2)<0的解集是( )
A. (−1,2)B. (1,2)
C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,1)∪(2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若a>b，则( )
A. a3−b3>0B. ln(a−b)>0C. ea−b>1D. |a|−|b|>0
10.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中恒成立的是( )
A. (a*b)*a=aB. [a*(b*a)]*(a*b)=a
C. b*(b*b)=bD. (a*b)*[b*(a*b)]=b
11.正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( )
A. 当λ=0，μ=1时，AP与平面ABC所成角为π4
B. 当λ=12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
C. 当λ=1，μ=12时，平面AB1P⊥平面A1AB
D. 若|AP|=1，则点P的轨迹长度为π2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若f(x)=asin(x+π4)+3sin(x−π4)是偶函数，则a=__________.
13.已知过原点O的一条直线l与圆C(x+2)2+y2=3相切，且l与抛物线y2=2px(p>0)交于O，P两点，若|OP|=4，则p=__________.
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC=2π3，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2，则a+4c的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AB=PA，F是PB中点.
(1)求证：AF⊥平面PBC;
(2)求二面角P−AC−F的余弦值.
16.(本小题15分)
已知数列{an}满足：a1+3a2+⋯+3n−1an=n⋅3n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(2m,22m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Tm.
17.(本小题15分)
某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)，如下表所示：
附：参考公式：，a=y−bx，
参考数据：y=16i=16yi=80，i=16xiyi=1606，i=16xi2=91
(1)求p的值;
(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(百元)的线性回归方程y=bx+a(计算结果精确到整数位);
(3)用yi表示用正确的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值.当销售数据(xi,yi)的残差的绝对值|yi−yi|<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数ξ的分布列和期望.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=1+lnxex.
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若f′(x)为f(x)的导函数，设g(x)=(x2+x)f′(x)，证明：对任意x>0，g(x)<1+e−2.
19.(本小题17分)
M是一个动点，MM1与直线y= 52x垂直，垂足M1位于第一象限，MM2与直线y=− 52x垂直，垂足M2位于第四象限，且MM1⋅MM2=2081.
(1)求动点M的轨迹方程E;
(2)设A1(−2,0)，A2(2,0)，过点(3,0)的直线l与曲线E交于A，B两点(点A在x轴上方)， P为直线A1A，A2B的交点，当点P的纵坐标为5 106时，求直线l的方程.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的应用，Venn图的应用，属于基础题．
设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，画出Venn图，列出方程求解即可．
【解答】
解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，
由题意，可得x+z=60%，x+y+z=90%，y+z=80%，
解得z=50%，
∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是50%.
故选C.
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的乘法运算与复数的概念，属于基础题.
根据复数(1+i)(a+i)是实数，将其展开化简后，令虚部等于零，求得实数a的值.
【解答】
解：依题意(1+i)(a+i)=a−1+(a+1)i是实数，
故a+1=0，
解得a=−1.
故选：D.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考了向量数量积的坐标表示，属于基础题．
先求出BC=(1,t−3)，根据BC=1得出t=3，可得BC=(1,0)，利用数量积的坐标运算即可得结果．
【解答】
解：∵AB=(2,3)，AC=(3,t)，
∴BC=AC−AB=(1,t−3)，
∵BC=1，
∴ 1+t−32=1，
∴t=3，BC=(1,0)，
∴AB⋅BC=2×1+3×0=2.
故答案为：C.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查对数的运算，是基础题．
把已知数值代入m2−m1=52lgE1E2，化简后利用对数的运算性质求解．
【解答】
解：设太阳的星等是m1=−26.7，天狼星的星等是m2=−1.45，
太阳的亮度是E1，天狼星的亮度是E2，
由题意可得：−1.45−(−26.7)=52lgE1E2，
∴lgE1E2=50.55=10.1，则E1E2=1010.1.
故选：A.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题．
根据题意，分3步进行分析：①从5名志愿者中选派4人参加活动，②将4人分为2组，③将2组进行全排列，对应星期六和星期天，计算可得答案.
【解答】
解：根据题意，分3步进行分析：
①从5名志愿者中选派4人参加活动，有C54=5种选法，
②将4人分为2组，有C42⋅C22A22=3种分法，
③将2组进行全排列，对应星期六和星期天，有A22=2种情况，
则共有5×3×2=30种方法．
故选C.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查球的内接多面体、棱锥的体积的最值，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.
求出等边△ABC的边长，画出图形，判断P的位置，然后求解即可.
【解答】
解：△ABC为等边三角形且面积为9 34，
可得： 12×sin60∘×AB2= 34×AB2=9 34，
解得：AB=3，
设球心为O，三角形ABC 的外心为O′，
显然当三棱锥P−ABC体积最大时，点P在O′O的延长线与球的交点处，如图：
O′C=23× 32−322= 3，
OO′= 22− 32=1，
OP=OC= OO′2+O′C2=2，
则三棱锥P−ABC高的最大值为：1+2=3，
则三棱锥P−ABC体积的最大值为：13×9 34×3=9 34.
故选：B.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查与椭圆离心率有关的问题，考查点与圆的位置关系的判定，属于中档题．
根据根与系数的关系求出x12+x22，由离心率的范围结合二次函数的性质，即可求解.
【解答】
解：∵方程ax2+bx−c=0的两个实数根分别为x1，x2，
由韦达定理得：x1+x2=−ba，x1x2=−ca，
则：x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2
=b2a2+2ca
=1−c2a2+2ca
=−e2+2e+1
=−(e−1)2+2，
∵0∴1∴点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内．
故选：A
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，属于中档题.
求得g(x)也为奇函数，然后结合|f(x)−f(y)|<|x−y|，可知g(x)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．
【解答】
解：∵f(x)为奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
∵g(x)−f(x)=x，
∴g(x)=f(x)+x，
∴g(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=−g(x)，
∴g(x)也为奇函数，
∵对于任意的x，y∈R，且x≠y，
又f(x)−f(y)∴g(x)−g(y)−(x−y)∴|g(x)−g(y)−(x−y)||x−y|<1，
即g(x)−g(y)x−y−1<1，
∴0∴g(x)单调递增，
∵g(2x−x2)+g(x−2)<0，
∴g(2x−x2)<−g(x−2)=g(2−x)，
∴2x−x2<2−x，整理得x2−3x+2>0，
解得x>2或x<1，
则不等式g(2x−x2)+g(x−2)<0的解集是
(−∞,1)∪(2,+∞).
故选：D.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了比较大小，指数函数和幂函数的性质，属于基础题.
根据指数函数、幂函数及特殊值法对每个选项进行分析即可.
【解答】
解：因为幂函数y=x3是增函数，a>b，所以a3>b3，故A正确；
因为a>b，所以a−b>0，当a−b=1时，ln(a−b)=0，故B错误；
因为a>b，则a−b>0，则ea−b>e0=1，故C正确；
取a=1，b=−2，满足a>b，但|a|<|b|，即|a|−|b|<0，故D错误．
故选AC.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的新定义，属于中档题.
利用对任意的 a，b∈S，有 a*(b*a)=b逐项进行分析，得出结果.
【解答】
解：根据题意“对任意的 a，b∈S，有 a*(b*a)=b”，
则选项A中，取 x=a*b，y=b，(a*b)*a=(a*b)*[b*(a*b)]=x*(y*x)=y=b，故A不恒成立；
选项 B中， [a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a成立；
选项 C中， b*(b*b)=b成立；
选项 D中，取 x=a*b，y=b，
则 (a*b)*[b*(a*b)]=x*(y*x)=y=b成立.
故选：BCD.
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题以正三棱柱为载体，考查向量的运算及向量共线的条件，线线垂直的判定，面面垂直的判定，直线与平面所成的角等，属于中档题.
根据已知条件，结合正三棱柱的几何特征，利用线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间向量法，依次分析各选项即可.
【解答】
解：对于A项，当λ=0，μ=1时，BP=BB1，点P和点B1重合，
由已知得，B1B⊥平面ABC，
所以∠B1AB就是AB1与平面ABC所成的角，
因为AB=AA1=B1B=1，
所以tan∠B1AB=BB1AB=1，
所以∠B1AB=π4，
即AP与平面ABC所成角为π4，A正确;
对于B项，当λ=12时，取线段BC，B1C1中点分别为M，M1，连接MM1，
因为BP=12BC+μBB1，即MP=μBB1，所以MP//BB1，
则点P在线段MM1上，
设MP=x(0≤x≤1)，则PM1=1−x，
则BP2=BM2+MP2=(12)2+x2，
A1P2=A1M12+PM12=32+(1−x)2，
A1B2=2，
若A1P⊥BP，则A1B2=BP2+A1P2，
则2=14+x2+34+(1−x)2，
则x(x−1)=0，所以x=1或x=0，
则点P与M、M1重合时，A1P⊥BP，
即当λ=12时，存在两个点P使得A1P⊥BP，
故B错误；
对于C项，当λ=1，μ=12时，BP=BC+12BB1，
此时点P在CC1的中点处，
取BC中点Q，B1C1中点H，
建立空间直角坐标系，如图，
则A( 32,0,0)，B(0,12,0)，B1(0,12,1)，P(0,−12,12)，
所以AB=(− 32,12,0)，BB1=(0,0,1)，AB1=(− 32,12,0)，AP=(− 32,−12,12)，
设平面A1AB和平面AB1P的法向量分别为m=(x1,y1,z1)，n=(x2,y2,z2)，
则AB⋅m=− 32x1+12y1=0BB1⋅m=z1=0，
AB1⋅n=− 32x2+12y2+z2=0AP⋅n=− 32x2−12y2+12z2=0，
解得y1= 3x1z1=0，x2= 32z2y2=−12z2，
令x1=1，z2=2，
可得m=(1, 3,0)，n=( 3,−1,2)
因为m⋅n= 3− 3=0，
所以m⊥n，
即平面AB1P⊥平面A1AB1，C正确;
对于D项，当|AP|=1时，点P满足BP=λBC+μBB1，
故点P在平面BCC1B1上，
而AB=AA1=1，故点P只能落在B，C两点上，故D错误.
故选：AC.
12.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的正弦公式以及利用函数奇偶性求参，属于基础题.
将f(x)的函数式利用两角和与差的正弦公式展开，结合偶函数的定义即可求出a的值.
【解答】
解：函数f(x)化简为：f(x)=a( 22sinx+ 22csx)+3( 22sinx− 22csx)= 22(a+3)sinx+ 22(a−3)csx，
则f(−x)= 22(a+3)sin(−x)+ 22(a−3)cs(−x)
=− 22(a+3)sinx+ 22(a−3)csx，
由偶函数的定义知，对任意x∈R，恒有f(x)=f(−x)，
即可得(a+3)sinx=0恒成立，所以有a+3=0，
即a=−3.
故答案为：−3.
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
不妨设直线方程为y=kx(k>0)，由直线与圆相切求解k值，可得直线方程，联立直线与抛物线方程，求得P点坐标，再由|OP|=4列式求解p的值．
【解答】
解：如图所示：
由题意，根据对称关系，
不妨设直线方程为y=kx(k>0)，即kx−y=0，
由圆C：(x+2)2+y2=3的圆心C(−2,0)到kx−y=0的距离为 3，
得|−2k| k2+1= 3，解得k= 3(k>0)，
则直线方程为y= 3x，
联立y= 3xy2=2px，
得x=0y=0或x=2p3y=2 3p3，
即P(2p3,2 3p3).
可得|OP|= (2p3)2+(2 3p3)2=4，(p>0)，
解得p=3.
故答案为：3.
14.【答案】18
【解析】【分析】
本题考查三角形面积公式、基本不等式的应用，属于中档题．
根据三角形面积公式可得ac=2a+2c，即1a+1c=12，再结合基本不等式求解即可.
【解答】
解：如图所示：
则△ABC的面积为12acsin120∘=12a⋅2sin60∘+12c⋅2sin60∘，
即ac=2a+2c，∴1a+1c=12，
∴a+4c=(a+4c)(1a+1c)×2=2×(5+4ca+ac)≥2(5+2 4ca×ac)=18，
当且仅当a=2c时取等号，
所以，a+4c的最小值为18.
故答案为：18.
15.【答案】解：(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC，
因为四边形ABCD是正方形，
所以BC⊥AB，
因为PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
因为AF⊂平面PAB，
所以BC⊥AF.
因为AB=PA，F是PB中点，
所以AF⊥PB，
因为PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，
所以AF⊥平面PBC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，而AD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AD，PA⊥AB，
而四边形ABCD为正方形，故AB⊥AD，
故PA，AB，AD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA=AB=AD=a，a≠0，
则P0,0,a,B0,a,0,F0,a2,a2,Ca,a,0,Da,0,0，
则AF=0,a2,a2,AC=a,a,0，
设平面FAC的法向量为n=x,y,z，
则AF⋅n=0AC⋅n=0，即a2y+a2z=0ax+ay=0，令x=1，则n=1,−1,1，
而PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故PA⊥BD，
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，故平面PAC的一个法向量BD=a,−a,0，
则csn,BD=n⋅BDn⋅BD=2a 3⋅ 2a= 63，
故二面角角P−AC−F的余弦值为 63.
【解析】本题考查棱锥的结构特征，线面垂直的判定与性质，利用空间向量求二面角，属于中档题.
(1)根据线面垂直的判定与性质证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面PAC与平面FAC的法向量，利用空间向量求解即可.
16.【答案】解：(1)当n=1时，由a1=31=3，得a1=3，
当n≥2时，∵a1+3a2+⋯+3n−1an=n⋅3n，
∴a1+3a2+⋯+3n−2an−1=(n−1)⋅3n−1，
两式相减，得3n−1an=n⋅3n−(n−1)⋅3n−1=3n−1⋅(2n+1)，
∴an=2n+1，n≥2
当n=1时，也满足上式，
综上可知，an=2n+1，n∈N*；
(2)由题意2m<2n+1<22m，
∴2m−12∴bm=22m−12−2m−12=12×4m−12×2m，
∴Tm=12×4(1−4m)1−4−12×2(1−2m)1−2=23×4m−2m+13.

【解析】本题考查根据数列的递推公式求通项公式，考查等比数列的求和公式，属于中档题.
(1)根据数列的前n项和与数列的关系即可得出；
(2)对m∈N*，若2m<2n+1<22m，则2m−1217.【答案】解：(1)由y=16i=16yi=80，
有91+86+p+78+73+706=80，解得p=82.
(2)x=1+2+3+4+5+66=3.5，
而y=16i=16yi=80，i=16xiyi=1606，i=16xi2=91，
所以b=1606−6×3.5×8091−6×3.52=−7417.5≈−4，
a=80−−4×3.5=94，
所求的线性回归方程为：y=−4x+94.
(3)由(2)可知，y1=90,y2=86,y3=82,y4=78,
y5=74,y6=70,故有效数据为4组，
ξ的所有可能取值为0，1，2，
Pξ=0=C22C62=115,Pξ=1=C21C41C62=815，P(ξ=2)=C42C62=25，
则ξ的分布列为：
则E(ξ)=0×115+1×815+2×25=43.
【解析】本题考查平均数，回归直线方程，离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.
(1)根据平均数列出关于p的方程，求解即可；
(2)根据条件直接求出线性回归直线方程即可；
(3)由y1=90,y2=86,y3=82,y4=78,y5=74,y6=70,得到有效数据，即可得到ξ的可能取值，求出概率得到分布列与期望.
18.【答案】解：(1)由题，
f′x=1xex−1+lnxexex2
=1x−1−lnxex，
则f′(1)=0，f1=1e，
所以函数f(x)在点(1,f(x))处的切线方程为
y−1e=0⋅x−1，即y=1e；
(2)由题，函数f(x)的定义域为0,+∞，
令hx=1x−1−lnx，
则h′x=−1x2−1x=−1+xx2，
当x>0时，h′(x)<0，
故h(x)在0,+∞上单调递减，
因为h(1)=11−1−ln1=0，
所以当0h(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x>1时，
h(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，
单调递减区间为1,+∞；
(3)证明：g(x)=(x2+x)f′(x)
=x2+x1x−1−lnxex
=1−x2−x2+xlnxex
=x+1ex1−x−xlnx，
令Fx=1−x−xlnx，则F′x=−2−lnx，
当00，F(x)单调递增；
当x>e−2时，F′(x)<0，F(x)单调递减，
所以Fx≤Fe−2=1+e−2，
令Gx=ex−x+1，G′x=ex−1，
当x>0时，G′(x)>0，G(x)单调递增，
故G(x)>G(0)=0，
所以ex>x+1>0，即x+1ex<1，
所以g(x)=x+1ex1−x−xlnx<1+e−2.
原命题得证.
【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于较难题.
(1)直接利用导数的几何意义求切线方程即可；
(2)利用导数求函数的单调区间即可；
(3)由对数式的化简可得g(x)=x+1ex1−x−xlnx，令Fx=1−x−xlnx，利用导数易证Fx≤Fe−2=1+e−2，令Gx=ex−x+1，利用导数易证x+1ex<1，即可证明原命题.
19.【答案】解：(1)设M(x,y)，直线y= 52x的倾斜角为θ，则tanθ= 52，
tan∠M1OM2=tan2θ=2tan θ1−tan2 θ=−4 5，cs∠M1OM2=−19，
cs∠M1MM2=cs(π−∠M1OM2)=−cs∠M1OM2=19，
MM1⋅MM2=| 5x−2y|3⋅| 5x+2y|3×19=2081，
由于M1位于第一象限，M2位于第四象限，
所以M的轨迹方程E:x24−y25=1(x≥2)；
(2)设l:x=my+3，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立：x=my+3x24−y25=1，化简得：(5m2−4)y2+30my+25=0，
y1+y2=−30m5m2−4，y1y2=255m2−4，
直线AA1:y=y1x1+2(x+2)，直线BA2：y=y2x2−2(x−2)，
联立消去y得：x=−2⋅y1(x2−2)+y2(x1+2)y1(x2−2)−y2(x1+2)
=−2⋅y1(my2+1)+y2(my1+5)y1(my2+1)−y2(my1+5)
=−2⋅2my1y2+y1+5y2y1−5y2，
又∵y1y2=−56m(y1+y2)，
∴x=−2⋅2my1y2+y1+5y2y1−5y2=−2⋅−53(y1+y2)+y1+5y2y1−5y2=43，
故点P(43,5 106)，直线AA1的斜率为：5 10643+2= 104
联立y= 104(x+2)x24−y25=1，消去x化简得：y2−2 10y=0
故y1=2 10，x1=6，
m=x1−3y1=32 10=3 1020，
直线l的方程为x=3 1020y+3.

【解析】本题考查与双曲线有关的轨迹问题，考查直线与双曲线的位置关系及其应用，属于较难题.
(1)先求出cs∠M1MM2=19，再结合点到直线距离公式与向量数量积求得轨迹方程；
(2)设l:x=my+3，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与双曲线方程，结合根与系数关系求得点P(43,5 106)，从而得到直线AA1的方程，再与双曲线方程联立，求得y1=2 10，x1=6，可得m的值，即可得到答案.试销单价x(百元)
1
2
3
4
5
6
产品销量y(件)
91
86
p
78
73
70
ξ
0
1
2
P
115
815
25