2024年福建省龙岩市高考数学三模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年福建省龙岩市高考数学三模试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若全集U=R，集合A={y|y= 3−x},B={x|2x≤8}，则A∩(∁UB)=( )
A. (0,3)B. (3,+∞)C. [3,+∞)D. [0,3]
2.若复数z满足z=(2+i)⋅i，则复平面内z−对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知a为正数，则“a>3”是“aa>a3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量a=(1,1),b=(λ,−1),λ∈R.若b在a上的投影向量为(32,32)，则λ=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.已知球的体积为323π，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为( )
A. 4 153πB. 8 153πC. 4 15πD. 8 15π
6.声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：ω/m2)满足f(x)=10×lgx10−12.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为( )
A. 120dBB. 100dBC. 80dBD. 60dB
7.已知曲线C1：x2+y2−10y+16=0与曲线C2：x2+y2−2ax+a2−9=0(a>0)相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则点P的横坐标的取值范围为( )
A. (0,7 1111)B. (−7 1111,7 1111)
C. (−∞,−7 1111)∪(7 1111,+∞)D. (−∞,−7 1111)
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),x=−π4为f(x)的零点，x=π4为f(x)图象的对称轴，且f(x)在(0,π6)上有且仅有1个零点，则ω的最大值为( )
A. 11B. 9C. 7D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=(x−1)lnx，则( )
A. f(x)在(0,+∞)单调递增B. x=1是f(x)的零点
C. f(x)的极小值为0D. f(x)是奇函数
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2−b2−c2+bc=0，则( )
A. A=π3
B. 若a= 3,csB=45，则c=4 3−35
C. 若a=2，则△ABC面积的最大值为 3
D. 若bsinC=sinC+ 3csC，则c=2
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)与圆O：x2+y2=20交于A，B两点，且|AB|=8.过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则( )
A. 若MF=3FN，则直线l的斜率为± 33
B. |MF|+4|NF|的最小值为18
C. ∠MON为钝角
D. 点P与点F的横坐标相同时，|PF||PQ|最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(1−x)(1+x)6的展开式中x3的系数为______.
13.互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的平均数为4，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的中位数为______.
14.已知函数f(x)=xa−lgbx(a>1,b>1)有且只有一个零点，则ab的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若数列{an}是公差为1的等差数列，且a3=2，点(an,bn)在函数f(x)=3x的图象上(n∈N*)，记数列{bn}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=bn4SnSn+1，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：Tn<112.
16.(本小题15分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AB=2AA1=2A1B1，AA1⊥平面ABCD.
(1)证明：BD⊥CC1；
(2)若M是棱BC上的点，且满足BMBC=23，求二面角M−AD1−D的余弦值.
17.(本小题15分)
某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数x−作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973.)
(2)(i)从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；
(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(118.(本小题17分)
动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=49和圆C2:(x−1)2+y2=1都内切，记动圆圆心M的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则曲线上一点(x0,y0)处的切线方程为：Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0.试运用该性质解决以下问题：点P为直线x=9上一点(P不在x轴上)，过点P作Γ的两条切线PA1，PA2，切点分别为A1，A2.
(i)证明：A1A2⊥PC2；
(ii)点A1关于x轴的对称点为A1′，直线A1′A2交x轴于点N，直线PC2交曲线Γ于G，H两点.记△GC2N，ΔHC2N的面积分别为S1，S2，求S1−S2的取值范围.
19.(本小题17分)
若函数f(x)的定义域为I，有x0∈I，使f′(x0)=0且f(x0)=0，则对任意实数k，b，曲线y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，称函数y=f(x)为恒切函数.
(1)判断函数f(x)=x⋅sinx是否为恒切函数，并说明理由；
(2)若函数g(x)=aex2−x−pa为恒切函数(a,p∈R).
(i)求实数p的取值范围；
(ii)当p取最大值时，若函数h(x)=g(x)⋅ex+1+2m为恒切函数，记A=(−3e32,0],证明：m∈A.
(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数.参考数据：e3≈20)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知，A={y|y≥0}，B={x|x≤3}，
则CU={x|x>3}，
故A∩(∁UB)=(3,+∞).
故选：B.
先求出集合A，B，再结合集合的运算，即可求解．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：z=(2+i)⋅i=−1+2i，
则z−=−1−2i，
故复平面内z−对应的点(−1,−2)位于第三象限．
故选：C.
结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：当a>3时，因为函数y=ax是单调递增函数，则一定有aa>a3，
当aa>a3时，当a>1时，则a>3，当0故“a>3”是“aa>a3”的充分不必要条件，
故选：A.
当a>3时，利用指数函数的单调性即可判断，当aa>a3时再分a>1与0本题考查了四个条件的应用，涉及到指数函数的单调性，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：向量a=(1,1),b=(λ,−1),λ∈R.
则b在a上的投影向量为a⋅b|a|2a=λ−112+12(1,1)=(λ−12,λ−12)=(32,32)，
所以λ−12=32，解得λ=4.
故选：C.
根据投影向量的定义列方程求解即可．
本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设球的半径为R，则球体积V=4πR33=323π，解得R=2，所以球的表面面积S=4πR2=16π，
设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，则πrl=16π，即2πl=16π，解得l=8，
因此该圆锥的高h= l2−r2= 64−4=2 15，可得圆锥的体积V1=13πr2h=8 153π.
故选：B.
利用球的体积公式，计算出球半径R=2，然后根据球的表面积公式与圆锥的侧面积公式，列式算出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，利用锥体的体积公式算出答案．
本题主要考查球的体积与表面积公式、圆锥的结构特征与锥体的体积公式等知识，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：设一般说话时声音强度为x0，喷气式飞机起飞时声音强度为x1，
由题意知，f(x1)=10×lgx110−12=140，解得x1=102，
又因为x1=108x0，所以x0=10−6，所以f(x0)=10×lg10−610−12=10×ln106=60(dB)，
所以一般说话时声音的等级约为60dB.
故选：D.
设一般说话时声音强度为x0，喷气式飞机起飞时声音强度为x1，根据题意求出x1，x0，再计算f(x0)即可．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，曲线C1：x2+y2−10y+16=0，即(x−5)2+y2=9，是以(5,0)为圆心，半径为3的圆，
曲线C2：x2+y2−2ax+a2−9=0，即x2+(y−a)2=9，是以(0,a)为圆心，半径为3的圆，
若两圆相交，则有 25+a2<6，解可得− 11又由a>0，则0联立两圆的方程，有2ax−10y−a2+25=0，即直线AB的方程为2ax−10y−a2+25=0，
直线AB与x轴于点P，设P的坐标为(t,0)，
则有2at−a2+25=0，变形可得t=a2−252a=a2−252a，
设f(a)=a2−252a，易得f(a)在区间(0, 11)上为增函数，
且f(a)故选：D.
根据题意，由两圆相交的性质可得0本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆相交的性质，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，且x=−π4为f(x)的零点，x=π4为f(x)图象的对称轴，
∴π4−(−π4)=2k+14T=2k+14⋅2πω=π2，
∴ω=2k+1，k∈Z，
∵ω>0，
∴ω=2k+1，k∈Z+，
又f(x)在(0,π6)上有且仅有1个零点，
∴π6−0∴ω<12.
当ω=11时，f(x)=sin(11x+φ)，
11π4+φ=π2+kπ，∴φ=−9π4+kπ(k∈Z)，
∵|φ|<π2，
∴φ=−π4，
∴f(x)=sin(11x−π4)；
当x∈(0,π6)时，11x−π4∈(−π4,1912π)，故f(x)有2个零点，不符合，舍去．
当ω=9时，f(x)=sin(9x+φ)，
94x+φ=kπ+π2(k∈Z)，
∴φ=−7π4+kπ(k∈Z)，
∵|φ|<π2，
∴φ=π4，
∴f(x)=sin(9x+π4)，
当x∈(0,π6)时，9x+π4∈(π4,74π)，此时f(x)有且仅有1个零点，符合题意．
故选：B.
依题意，可得ω=2k+1，k∈Z+，利用f(x)在(0,π6)上有且仅有1个零点，可得ω<12，再对ω=11，9时分别分析，可得答案．
本题考查正弦函数的图象与性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意得f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1−1x，
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当0所以f(x)的极小值为f(1)=0，故A错误，C正确；
因为f(1)=0，所以x=1是f(x)的零点，故B正确；
因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不是奇函数，故D错误．
故选：BC.
求导数f′(x)=lnx+1−1x，根据单调性可得极值，可得结果．
本题主要考查利用导数研究单调性和极值，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为a2−b2−c2+bc=0，
由余弦定理得，csA=b2+c2−a22bc=12，
由A为三角形内角得，A=π3，A正确；
若a= 3,csB=45，
则b2+c2−bc=3，sinB=35，
由正弦定理得，bsinB=asinA= 3 32=2，
所以b=2sinB=65，代入b2+c2−bc=3，得c=3+4 35，B错误；
若a=2，则b2+c2=4+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号，
所以bc≤4，此时12×4× 32= 3，C正确；
因为bsinC=sinC+ 3csC=csinB，
所以csinB=2sin(C+π3)=2sin(C+A)=2sinB，
因为sinB>0，
所以c=2，D正确．
故选：ACD.
结合余弦定理检验选项A；结合正弦定理检验选项B；结合基本不等式及三角形面积公式检验选项C；结合正弦定理及和差角公式检验选项D.
本题主要考查了正弦定理余弦定理，和差角公式，三角形面积公式，还考查了基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)与圆O：x2+y2=20交于A，B两点，且|AB|=8，
不妨设A在第一象限，
即A(2,4)，
代入到抛物线方程可得42=4p，
即p=4，
即抛物线方程为y2=8x，
则抛物线的焦点为F(2,0).
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
对选项A，
由MF=3FN得(2−x1,−y1)=3(x2−2,y2)，
则x1+3x2=8y1=−3y2，
又因为y12=8x1,y22=8x2，
解得x2=23y2=±4 33，
所以直线l的斜率为±4 33−023−2=± 3，
故A选项错误；
对选项B，由抛物线定义得1|MF|+1|NF|=2p=12，
所以 |MF|+4|NF|=2(|MF|+4|NF|)(1|MF|+1|NF|)=10+2(|MF||NF|+4|NF||MF|)≥10+8=18，
当且仅当|MF||NF|=4|NF||MF|，即|MF|=2|NF|时等号成立，
因此|MF|+4|NF|的最小值为18，
故B选项正确；
对选项C，如图，不妨设M在第一象限，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
直线l：x=my+2，
联立直线l与抛物线的方程消x得y2−8my−16=0，
又Δ=(−8m)2+4×16>0，
所以y1y2=−16，x1x2=4，
所以x1x2+y1y2=4−16=−12<0，
所以cs<0，
则∠MON为钝角．
故C选项正确；
对选项D，
Q(−2,0)，F(2,0)，
设P(x0,y0)，
则y02=8x0,x0≥0，
由抛物线的定义可得|PF|=x0+2，
|PQ|= (x0+2)2+(y0−0)2= x02+4x0+4+8x0= x02+12x0+4，
又x0>0，
则|PF||PQ|=x0+2 x02+12x0+4= x02+4x0+4x02+12x0+4= 1−8x0x02+12x0+4
= 1−8x0+4x0+12≥ 1−82 x0⋅4x0+12= 22，
当且仅当x0=4x0，即x0=2时取等号，
即点P与点F的横坐标相同时，|PF||PQ|最小，
故D选项正确．
故选：BCD.
由抛物线的定义，结合抛物线的性质及直线、抛物线的位置关系及基本不等式求解．
本题考查了抛物线的定义，重点考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属中档题．
12.【答案】5
【解析】解：由题意，(1−x)(1+x)6=(1−x)(1+6x+C62x2+C63x3+…+C66x6)，
∴展开式中x3的系数为C63−C62=20−15=5.
故答案为：5.
可得(1−x)(1+x)6=(1−x)(1+6x+C62x2+C63x3+…+C66x6)，即可得出结果．
本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】72
【解析】解：由题意可知，a1+a2+a3+a4=16，a4−a1=2×a2+a32=a2+a3，
所以a4=a1+a2+a3=16−a4，
所以a4=8，
所以a1+a2+a3=8，
又因为a1，a2，a3，a4是互不相等的4个正整数从小到大排序的，
所以a1=1，a2=2，a3=5或a1=1，a2=3，a3=4，
所以这4个数据的中位数为a2+a32=72.
故答案为：72.
利用平均数、极差和中位数的定义求解．
本题主要考查了平均数、极差和中位数的定义，属于基础题．
14.【答案】(e1e,+∞)
【解析】解：依题意得g(x)=xa与h(x)=lgbx只有一个交点，即两曲线相切，
则g′(x)=h′(x)只有一个解，
∴axa−1=1xlnb，
即xa=1alnb，
化简得x=(1alnb)1a，将其代入f(x)，
得1alnb+1algb(alnb)=0，
1lnb+lgb(alnb)=0，
∴lgbe+lgb(alnb)=0，
即ealnb=1，∴a=1elnb.
∵a>1，∴1elnb>1，∴1则ab=belnb，
设Q(b)=belnb(1则Q′(b)=lnb−1e(lnb)2<0，
∴Q(b)在(1,e1e)单调递减，
∴Q(b)>Q(e1e)=e1e，
∴ab>e1e，
∴ab的取值范围是(e1e,+∞).
故答案为：(e1e,+∞).
由题意可得g′(x)=h′(x)只有一个解，从而可得a=1elnb，ab=belnb，设Q(b)=belnb(1本题考查了转化思想、对数函数、指数函数的性质，考查了导数的综合运用，属于难题．
15.【答案】解：(1)∵数列{an}是公差为1的等差数列，
由a3=2得a1=0，
∴an=a1+(n−1)×d=0+1(n−1)×1=n−1，
∵点(an,bn)在函数f(x)=3x的图象上(n∈N*)，
∴bn=3an=3n−1；
证明：(2)显然数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为3，
则Sn=3n−12，
∴cn=bn4SnSn+1=3n−1(3n−1)(3n+1−1)=16(13n−1−13n+1−1)，
∴Tn=c1+c2+c3+⋯+cn
=16(12−18+18−126+126−180+⋅⋅⋅+13n−1−13n+1−1)
=16(12−13n+1−1)=112−16(3n+1−1)<112
∴Tn<112.
【解析】(1)由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可分别求解；
(2)先求出cn，然后利用裂项求和即可求解Tn，进而可证．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．
16.【答案】(1)证明：在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1，CC1延长后必交于一点，
所以A，C，C1，A1四点共面，
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，
连接AC，A1C1，
因为底面四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，
因为CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CC1.
(2)解：取BC的中点N，连接AN，
因为菱形ABCD，且∠ABC=60∘，所以△ABC是等边三角形，所以AN⊥BC，即AN⊥AD，
以AN，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设A1B1=1，则AB=2A1B1=2，BN=12AB=1，
所以A(0,0,0)，D1(0,1,1)，D(0,2,0)，M( 3,13,0)，
所以AD1=(0,1,1)，AM=( 3,13,0)，AD=(0,2,0)，
记平面AMD1的法向量为n=(a,b,c)，则AD1⋅n=0AM⋅n=0，即b+c=0 3a+13b=0，
令b=3，则a=− 33,c=−3，所以n=(− 33,3,−3)，
易知平面ADD1的一个法向量为m=(1,0,0)，
所以cs=n⋅m|n|⋅|m|=− 33 13+9+9×1=− 5555，
由图知，二面角M−AD1−D为锐角，
所以二面角M−AD1−D的余弦值为 5555.
【解析】(1)连接AC，A1C1，分别证明AA1⊥BD，AC⊥BD，从而知BD⊥平面ACC1A1，再由线面垂直的性质定理，即可得证；
(2)取BC的中点N，连接AN，可证AN⊥AD，再以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：x−=10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69，
即μ≈x−=69，又因为σ≈s≈11，
所以X∼N(69,112)，
因为质量指标值X近似服从正态分布N(69,112)，
所以P(X≥80)=1−P(69−11所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16；
(2)(i)(0.01+0.01)×10×100=20，
所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[85,95]的芯片件数为10件，
故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
P(η=0)=C103C100C203=219，P(η=1)=C102C101C203=1538，P(η=2)=C101C102C203=1538，P(η=3)=C100C103C203=219，
所以随机变量η的分布列为：
所以η的数学期望E(η)=0×219+1×1538+2×1538+3×219=32；
(ii)设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有(100−Y)件，
设每箱产品的利润为Z元，
由题意知：Z=mY+(100−Y)ln(25−m)=(m−ln(25−m))Y+100ln(25−m)，
由(1)知：每箱零件中A等品的概率为0.16，
所以Y∼B(100,0.16)，
所以E(Y)=100×0.16=16，
所以E(Z)=E[(m−ln(25−m))Y+100ln(25−m)]=16(m−ln(25−m))+100ln(25−m)=16m+84ln(25−m)，
令f(x)=16x+84ln(25−x)(1则f′(x)=16−8425−x，
令f′(x)=0得，x=794，
当x∈(1,794)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(794,24)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=794∈(1,24)时，f(x)取得最大值，
所以当m=794时，每箱产品利润最大．
【解析】(1)由题意可知X∼N(69,112)，再利用正态分布曲线的对称性求解；
(2)(i)由题意可知，η可能取的值为0，1，2，3，利用古典概型求出相应的概率，进而得到η的分布列，再结合期望公式求解；
(ii)设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有(100−Y)件，设每箱产品的利润为Z元，则E(Z)=E[(m−ln(25−m))Y+100ln(25−m)]
=16m+84ln(25−m)，令f(x)=16x+84ln(25−x)(1本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设动圆M的半径为r，由题意得圆C1和圆C2的半径分别为7，1，
因为M与C1，C2都内切，所以|MC1|=7−r，|MC2|=r−1，
所以|MC1|+|MC2|=7−r+r−1=6，
又C1(−1,0)，C2(1,0)，
故|C2C1|=2<6=|MC1|+|MC2|，
所以圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
设Γ的方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则2a=6，2c=2，
即a=3，c=1，
所以b2=a2−c2=8，
故Γ的方程为：x29+y28=1；
(2)(i)证明：设A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，P(9,t)(t≠0)，
由题意中的性质可得，切线PA1方程为xx19+yy18=1，
切线PA2方程为xx29+yy28=1，
因为两条切线都经过点P(9,t)(t≠0)，
所以x2+ty28=1，
故直线A1A2的方程为：x+ty8=1，
所以直线A1A2的斜率为−8t.
又kPC2=t−09−1=t8，
t8×(−8t)=−1，
所以直线A1A2⊥PC2；
(ii)由(i)知直线A1A2的方程为：x+ty8=1，过定点(1,0)，
设直线A1A2的方程为：x=my+1(m≠0)，
联立，整理得(8m2+9)y2+16my−64=0，
由韦达定理得y1+y2=−16m8m2+9y1y2=−648m2+9，
又A1′(x1,−y1)，
所以直线A1′A2的方程为y+y1=y2+y1x2−x1(x−x1)，
令y=0得，
xN=y1(x2−x1)y2+y1+x1=y1x2+y2x1y2+y1=y1(my2+1)+y2(my1+1)y2+y1
=2my1y2+y1+y2y2+y1=1+2my1y2y2+y1=1+2m(−648m2+9)−16m8m2+9=9，
所以N(9,0)，C2(1,0)，
设G(x3,y3)，H(x4,y4)，同理得y3+y4=−16m8m2+9.
不妨设y4<0所以|S1−S2|=12|C2N|⋅||y3|−|y4||=4|y3+y4|
=4|16m|9+8m2=648|m|+9|m|≤642 72=8 23，
所以|S1−S2|max=8 23，
当且仅当8|m|=9|m|时，即m=±3 24时取等号．
所以−8 23≤S1−S2≤8 23.
所以S1−S2的取值范围为[−8 23,8 23].
【解析】(1)由题意可得|C2C1|=2<6=|MC1|+|MC2|，结合椭圆的定义求解即可；
(2)(i)根据题意可得切线PA1、PA2方程，从而可得直线A1A2的方程为：x+ty8=1，斜率为−8t，求得kPC2=t−09−1=t8，即可得证；
(ii)设直线A1A2的方程为：x=my+1(m≠0)，与椭圆方程联立、结合韦达定理可得N(9,0)，C2(1,0)，再根据三角形的面积公式可得|S1−S2|max=8 23，
即可得答案．
本题考查了椭圆的定义及标准方程，考查了韦达定理及三角形的面积公式、基本不等式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=x⋅sinx是恒切函数，理由如下：
设函数f(x)=x⋅sinx为恒切函数，则有x0∈I，
使f′(x0)=0且f(x0)=0，即sinx0+x0csx0=0x0sinx0=0，
解得x0=0，故函数f(x)=x⋅sinx是恒切函数．
(2)(i)由函数g(x)=aex2−x−pa为恒切函数可知，
存在x0，使得g′(x0)=0且g(x0)=0，
即aex02−x0−pa=0aex02−1=0解得a=2ex0，p=ex0(1−x0)2，
设Q(x)=ex(1−x)2，∴Q′(x)=−xex2，
当x∈(−∞,0)时，Q′(x)>0，Q(x)单调递增；
当x∈(0,+∞)时，Q′(x)<0，Q(x)单调递减．
∴Q(x)≤Q(0)=12，即实数p的取值范围是(−∞,12].
(ii)证明：当p=12时，a=2，
函数h(x)=(ex−x−1)ex+1+2m为恒切函数．又h′(x)=(2ex−x−2)ex+1，
∴存在x0，使得h′(x0)=0，即2ex0−x0−2=0.
令T(x)=2ex−x−2，则T′(x)=2ex−1，
当x∈(−∞,−ln2)时，T(x)单调递减；当x∈(−ln2,+∞)时，T(x)单调递增．
∴当x∈(−∞,−ln2)时，
T(−2)=2e−2>0，T(−32)=2e−32+32−2=2⋅1 e3−12<0，
故在(−2,−32)上存在唯一x0，
使得2ex0−x0−2=0，即ex0=x0+22.
又由h(x0)=(ex0−x0−1)ex0+1+2m=0
得−2m=(ex0−x0−1)ex0+1=−e4x0(x0+2)，
由x0∈(−2,−32)得x0(x0+2)∈(−34,0)，所以−3e32又T(0)=0，所以当x∈(−ln2,+∞)时，有唯一零点x1=0，
故由h(x1)=0得2m=0，即m=0.
∴m∈A.
【解析】(1)对f(x)求导，利用恒切函数的定义求出x0，即可判断；
(2)(i)根据恒切函数的定义解方程，用x0表示p，再利用导数即可求解p的取值范围；
(ii)由p的值可得a的值，从而可得h(x)的解析式，利用新定义，可得2ex0−x0−2=0，令T(x)=2ex−x−2，求出x0的取值范围，由−2m=(ex0−x0−1)ex0+1=−e4x0(x0+2)，从而可得m的取值范围，从而得证．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．η
0
1
2
3
P
219
1538
1538
219