2022-2023学年湖北省部分市州高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省部分市州高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x− 3y−1=0的倾斜角α=( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.已知曲线y=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+3=0平行，则实数a等于( )
A. −32B. −12C. 1D. 2
3.下列命题中，错误的是( )
A. 若随机变量X∼B(5,12)，则D(X)=54
B. 若随机变量X∼N(5,σ2)，且P(3≤X≤5)=0.3，则P(X≥7)=0.2
C. 在回归分析中，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好
D. 在回归分析中，若样本相关系数r越大，则成对样本数据的线性相关程度越强
4.“拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一拃长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从所在班级随机抽取了15名学生，根据测量数据的散点图发现x和y具有线性相关关系，其经验回归直线方程为y =6.5x+a ，且i=115xi=270，i=115yi=2550.已知小明的右手一拃长为20厘米，据此估计小明的身高为( )
A. 187厘米B. 183厘米C. 179厘米D. 175厘米
5.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚向上的点数为奇数”，B=“第二枚向上的点数为3的倍数”，C=“向上的点数之和为8”，则( )
A. A与B互斥B. A与C对立C. A与B相互独立D. B与C相互独立
6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为( )
A. 54B. 48C. 42D. 36
7.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=3n+54n+6，则a7b8=( )
A. 23B. 34C. 1013D. 1319
8.已知a= e−1，b=ln32，c=sin12，其中e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数，则( )
A. b二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在二项式(1 x−x)9的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 第8项的系数为36B. 常数项为−84
C. 各二项式系数之和为512D. 各项系数之和为0
10.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则以下说法正确的是( )
A. 椭圆轨道Ⅱ的焦距为R−r
B. 椭圆轨道Ⅱ的短轴长为 Rr
C. 若r不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随R的增大而增大
D. 若R不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随r的增大而增大
11.某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第k站参观甲地的景点”为事件Ak，k=1，2，…，7，则( )
A. P(A6)=37B. P(A2|A1)=13C. P(A1+A2)=27D. P(A2A3−)=1249
12.在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，设三棱锥P−ABC的体积为V，直线PB与平面ABC所成的角为α，则下列说法正确的是( )
A. 若PA+PC= 10，则V的最大值为 2
B. 若PA+PC= 10，则α的最大值为30∘
C. 若直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为30∘，60∘，则α不可能为90∘
D. 若直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为30∘，60∘，则V的最小值为 63
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，4%，5%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为______.
14.6名大学毕业生到绿水村、青山村、人和村担任村官，每名毕业生只去一个村，绿水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，则不同的安排方法共有______种.
15.已知双曲线C:x2−y23=1.则其渐近线方程为______；设 A，B分别为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C上一点.若PA的斜率为1，则tan∠APB=______.
16.若x>0时，不等式(x−a)ex+a+1>0恒成立，则整数a的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在等比数列{an}中，a2=4，4a1+a3=16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=lg2an，求数列{1bnbn+1}的前n项和Sn.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−2x2+ax+1.
(1)当a=−4时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间(13,3)上有极值点，求实数a的取值范围.
19.(本小题12分)
如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=CD=2，∠ABC=60∘.将△ACD沿AC折起，使得AD⊥BC，如图2.
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)在线段BD上是否存在点E，使得平面ACE与平面BCD的夹角的余弦值为 64？若存在，求BEBD的值；若不存在，请说明理由.
20.(本小题12分)
某年级对“热爱篮球运动与性别是否有关”作了一次调查，被调查的男、女生人数均为4n(n∈N*)，其中男生热爱篮球运动的人数占被调查男生人数的34，女生热爱篮球运动的人数占被调查女生人数的12.若根据独立性检验认为热爱篮球运动与性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05.
(1)求被调查的学生中男生人数的所有可能结果；
(2)当被调查的学生人数取最小值时，现从被调查的热爱篮球运动的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人参加某篮球赛事的志愿活动，再从这10人中任选4人担任助理裁判.设4名助理裁判中女生人数为X，求X的分布列和均值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
21.(本小题12分)
已知抛物线C：x2=2py(p>0)，点P(m,4)(m<0)在抛物线C上，且点P到抛物线C的焦点的距离为174.
(1)求p；
(2)设圆M：x2+(y−2)2=1，点Q是圆M上的动点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于A，B两点，求△ABQ的面积S的最大值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=exax(x>0)和g(x)=axlnx(x>1)有相同的最小值.
(1)求a；
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．
本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．
【解答】
解：可得直线x− 3y−1=0的斜率为k= 33，
由斜率和倾斜角α的关系可得tanα= 33，
又∵0∘≤α<180∘
∴α=30∘
故选：A.
2.【答案】C
【解析】解：因为y=ex+ax，所以y′=ex+a，
则曲线y=ex+ax在点(0,1)处的切线斜率为y′|x=0=1+a，
又因为直线2x−y+3=0斜率为2，
所以1+a=2，即a=1.
故选：C.
由导数的几何意义求解即可．
本题主要考查导数及其几何意义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A，若随机变量X∼B(5,12)，则D(X)=5×12×(1−12)=54，故A正确；
对于B，若随机变量X∼N(5,σ2)，且P(3≤X≤5)=0.3，则P(X≥7)=P(X≤3)=0.5−P(3≤X≤5)=0.5−0.3=0.2，故B正确；
对于C，在回归分析中，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好，故C正确；
对于D，在回归分析中，若样本相关系数|r|越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故D错误．
故选：D.
根据二项分布计算出判断B；
根据正态分布的对称性计算出P(X≥7)可判断B；
根据残差的平方和的定义可判断C；
根据样本相关系数的定义可判断D.
本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：x−=115×i=115xi=115×270=18，y−=115×i=115yi=115×2550=170，
又y−=6.5x−+a ，∴170=6.5×18+a ，解得a =53，
故经验回归直线方程为y =6.5x+53.
当x=20时，y =6.5×20+53=183，
则小明的右手一拃长为20厘米时，估计小明的身高为183厘米．
故选：B.
根据题意求出x−，y−，进而可得回归直线方程，再将x=20代入，即可求解．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：选项A：当第一枚向上的点数为3，第二枚向上的点数为3，
∴A与B同时发生，
∴A与B不互斥，
∴选项A错误；
选项C：该实验的样本空间有36个元素，事件A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)}，
事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)}，
事件AB={(1,3),(3,3),(5,3),(1,6),(3,6),(5,6)}，
则P(A)=1836=12，P(B)=1236=13，P(AB)=636=16，
∴P(AB)=P(A)⋅P(B)，
∴A与B相互独立，
∴选项C正确；
选项B：当第一枚向上的点数为5，第二枚向上的点数为3，此时向上的点数之和为8，则A与C同时发生，
∴A与C不对立，
∴选项B错误；
选项D：事件C={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}，
事件BC={(5,3),(2,6)}，
则P(B)=1236=13，P(C)=536，P(BC)=236=118，
∴P(BC)≠P(B)⋅P(C)，
∴B与C不是相互独立，
∴选项D错误．
故选：C.
利用互斥事件，对立事件，相互独立事件的性质依次判断即可．
本题考查互斥事件，对立事件，相互独立事件的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意，第一种情况：乙是冠军，则甲在第二位，剩下的三人安排在其他三个名次，有A33=6种情况；
第二种情况：先从丙、丁、戊中选1人为冠军，再排甲，乙两人，再把甲和乙捆绑与其他人排列，共有A31×A22×A33=36种；
综上可得共有6+36=42种不同的情况．
故选：C.
根据题意，分两种情况讨论：乙是冠军，乙不是冠军，再安排其他人，由加法计数原理可得答案．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解由：已知得SnTn=3n+54n+6，可设Sn=kn(3n+5)，Tn=kn(4n+6)，
则a7=S7−S6=182k−138k=44k，b8=S8−S7=304k−238k=66k，
即a7b8=44k66k=23，
故选：A.
利用等差数列的前n项和公式求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由ex≥x+1知a= e−1>12，
由ln(1+x)≤x知b=ln32<12，
由sinx≤x知c=sin12<12，
所以a>b，a>c.下面比较b和c的大小：
设f(x)=ln(1+x)−sinx，0设g(x)=1−csx−xcsx，0g′′(x)=sinx+(x+1)csx+sinx=2sinx+(x+1)csx>0，
所以g′(x)在(0,π6)上单调递增，则g′(x)所以g(x)在(0,π6)上单调递减，
g(x)则f(x)在(0,π6)上单调递减，
由12∈(0,π6)，则f(12)所以b故选：B.
先判断a>b，a>c，再比较b和c的大小，设f(x)=ln(1+x)−sinx，0本题主要考查利用导数研究函数的单调性，数的大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：(1 x−x)9的通项为Tr+1=C9r(1 x)9−r(−x)r=(−1)rC9rx−9+3r2，
对于A，令r=7，则T8=(−1)7C97x6=−36x6，所以第8项的系数为−36，故A错误；
对于B，令−9+3r2=0得r=3，所以常数项为(−1)3C93=−84，故B正确；
对于C，二项式系数之和为29=512，故C正确；
对于D，令x=1可得各项系数之和为(1−1)9=0，故D正确．
故选：BCD.
根据通项可判断A，B；根据二项式系数之和为2n可判断C，令x=1可得各项系数之和可判断D.
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：在椭圆中，由图可知PQ=2a=R+ra−c=QF=r，
解得a=R+r2,c=R−r2，
所以b= (R+r2)2−(R−r2)2= Rr，
所以2c=R−r,2b=2 Rr，A正确，B错误；
e=ca=R−rR+r=1−2rR+r，当r不变时，由反比例函数的性质可知，函数f(R)=1−2rR+r在(0,+∞)上单调递增，C正确；
e=ca=R−rR+r=−1+2RR+r，当R不变时，由反比例函数的性质可知，函数f(r)=−1+2RR+r在(0,+∞)上单调递减，D错误．
故选：AC.
根据图中几何关系列方程组求出a，c，然后可得b，可判断AB；分离常数，利用反比例函数的性质可判断CD.
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：由题意可得P(A6)=C31A66A77=37，A正确；
P(A1)=C31A66A77=37，P(A2A1)=A32A55A77=17，P(A2|A1)=P(A2A1)P(A1)=1737=13，故B正确；
由于P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2)=37+37−17=57，C错误；
P(A2A3−)=C31C41A55A77=1242=27，所以D错误．
故选：AB.
根据古典概型的概率公式可判断A，C选项，继而根据条件概率的计算公式可判断B选项，结合对立事件判断D选项．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率的计算公式，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，在平面中，若PA+PC= 10>2 2=AC，
则点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，其中a= 102，b= 22，
那么在空间中，点P的轨迹为椭球面(点P不在平面ABC上)，
所以当三棱锥的高为b= 22其体积最大，
所以Vmax=13×2× 22= 23，A错误；
对于选项B，当过点P的直线与以AC的中点为圆心半径为b= 22的圆x2+y2=b2=12相切时，α取最大值，
此时sinα=b 2=12，且α为锐角，
所以α的最大值为30∘，B正确；
对于选项C，若α=90∘，则PB⊥平面ABC，
因AB=BC，
则直线PA，PC与平面ABC所成的角相等，不合题意，C正确；
对于选项D，作PO⊥平面ABC，O为垂足，
则∠PAO=30∘，∠PCO=60∘，
设PO=h>0，则AO= 3h，CO= 33h，
由AO+CO≥AC知4 33h≥2 2，
即h≥ 62，则Vmin=13×2× 62= 63，D正确．
故选：BCD.
根据椭圆点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，在空间中，点P的轨迹为椭球面(点P不在平面ABC上)可判断A；当过点P的直线与圆相切时α取最大值，求出此时sinα得α的最大值可判断B；若α=90∘时根据AB=BC直线PA，PC与平面ABC所成的角相等可判断C；作PO⊥平面ABC，设PO=h>0，由AO+CO≥AC知h≥ 62，求出Vmin可判断D.
本题考查命题的真假判断，考查立体几何知识的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】13250
【解析】解：因为A，B，C三个地区的人口数的比为5：3：2，
所以设A，B，C三个地区的人口数分别为5x，3x，2x，
则这三个地区患了流感的人数分别为310x，325x，110x.
现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为：
P=310x+325x+110x5x+3x+2x=13x2510x=13250.
故答案为：13250.
有三个地区的人数比设出三个地区的人数，求出三个地区患了流感的人数，利用古典概型的概率计算公式求解即可．
本题开叉古典概型相关知识，属于基础题．
14.【答案】60
【解析】解：先从6名大学毕业生选出2名安排到绿水村，有C62种方法；
再从剩余的4名大学毕业生选出1名安排到青山村，有C41种方法；
最后剩余的3名大学毕业生安排到人和村，有1种方法，
根据分步计数原理可知不同的安排方法共有C62C41=60种．
故答案为：60.
利用组合以及分步计数原理求解．
本题考查组合以及分步计数原理，属于基础题．
15.【答案】y=± 3x 12
【解析】解：双曲线C:x2−y23=1的a=1,b= 3，
所以双曲线的渐近线方程为y=± 3x，
设P(x,y)，由题意kAP=yx+1,kBP=yx−1，
又∵x2−y23=1，∴y2x2−1=3，
即kAP⋅kBP=3，
又kAP=tan∠PAB=1，∴kBP=−tan∠PBA=3，
∴tan∠APB=3−11+1×3=12.
故答案为：y=± 3x；12.
①根据双曲线方程即渐近线公式可直接求得；
②根据条件写出直线AP，BP的斜率，利用双曲线方程，可求得kAP⋅kBP=3，又kAP=1，进一步求出kBP，再利用两角差的正切公式即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】2
【解析】解：法1：不等式可化为xex+1>a(ex−1)，由x>0，知ex>1，则x>0时，a设f(x)=xex+1ex−1，x>0，f′(x)=ex(ex−x−2)(ex−1)2，
设g(x)=ex−x−2，x>0，则g′(x)=ex−1>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又g(1)=e−3<0，g(2)=e2−4>0，则g(x)在(1,2)上存在唯一的零点x0，
当0x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(x0)=x0ex0+1ex0−1，且ex0=x0+2，化简得f(x0)=x0+1，
因1法2：设h(x)=(x−a)ex+a+1，x>0，h′(x)=(x−a+1)ex，要求整数a的最大值，
则直接考虑a−1>0的情形，
由h′(x)<0得00得x>a−1，
所以h(x)在(0,a−1)上单调递减，在(a−1,+∞)上单调递增，
则h(x)min=h(a−1)=−ea−1+a+1>0，令A(a)=−ea−1+a+1，a>1，A′(a)=−ea−1+1<0，
则A(a)在(1,+∞)上单调递减，A(2)=3−e>0，A(3)=4−e2<0，则整数a的最大值为2.
故答案为：2.
方法1：参变分离可得a0，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解；
方法2：设h(x)=(x−a)ex+a+1，x>0，求出函数的导函数，考虑a−1>0的情形，利用导数求出函数的最小值，即可得解．
本题主要考查函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q，则a1q=44a1+a1q2=16，
解得q=2，a1=2，
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)bn=lg2an=lg22n=n，
则1bnbn+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以Sn=(1−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1.
【解析】(1)根据已知列方程求出a1和公比q，然后可得通项公式；
(2)利用裂项相消法求解可得．
本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f′(x)=3x2−4x−4，由f′(x)>0得x<−23或x>2.
则f(x)的单调递增区间为(−∞,−23)，(2,+∞)，单调递减区间(−23,2)；
(2)依题知，f′(x)=3x2−4x+a在(13,3)上有变号零点，
由3x2−4x+a=0，得a=4x−3x2，令g(x)=4x−3x2=x(4−3x)，
g(x)在(13,23)上单调递增，在(23,3)上单调递减，
且g(13)=1，g(23)=43，g(3)=−15，
则−15即实数a的取值范围是(−15,43).
【解析】(1)求导函数，利用导数大于0或小于0，可得f(x)的单调区间；
(2)f(x)在区间(13,3)上有极值点，等价于f′(x)在区间(13,3)有变号零点，再利用分离参数法即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC=60∘，
可得∠ADC=180∘−60∘=120∘，
又AD=CD=2，则AC= AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cs∠ADC
= 4+4−2×2×2×(−12)=2 3，
在△ABC中，ACsin∠ABC=BCsinBAC，
即为2 3sin60∘=2sin∠BAC，得sin∠BAC=12，
因为∠BAC为锐角，
所以∠BAC=30∘，
所以∠ACB=180∘−30∘−60∘=90∘，即BC⊥AC，
由题设AD⊥BC，而AC，AD为平面ACD内的两条相交直线，
所以BC⊥平面ACD，
又BC⊂平面ABC，则平面ACD⊥平面ABC；
(2)建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，则C(0,0,0)，B(0,2,0)，D( 3,0,1)，A(2 3,0,0)，
设BE=λBD=( 3λ,−2λ,λ)，λ∈[0,1]，则E( 3λ,−2λ+2,λ)
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，
则有CA⋅n=0CE⋅n=0，即2 3x=0 3λx+(−2λ+2)y+λz=0，
则x=0，令y=λ，z=2λ−2，所以n=(0,λ,2λ−2)，
设平面BCD的法向量为m=(a,b,c)，
则有m⋅CD= 3a+c=0m⋅CB=2b=0，令c= 3，则m=(−1,0, 3)，
所以|cs⟨n,m⟩|=|n⋅m||n||m|=| 3(2λ−2)|2 λ2+(2λ−2)2= 64，
3(2λ−2)24(5λ2−8λ+4)=616，化简得3λ2−8λ+4=0，
解得λ=23或λ=2(舍)，则存在这样的点E，且BEBD=23.
【解析】(1)在△ACD中由余弦定理求出AC，再在△ABC中由正弦定理可求出∠BAC，从而可得∠ACB=90∘，即BC⊥AC，而AD⊥BC，则由线面垂直的判定可得BC⊥平面ACD，再由面面垂直的判定可得结论．
(2)以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，过C且垂直于底面所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可．
本题考查面面垂直的判定和两个平面的夹角求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)已知被调查的男、女生人数均为4n(n∈N*)，
其中男生热爱篮球运动的人数占被调查男生人数的34，女生热爱篮球运动的人数占被调查女生人数的12，
列联表如下：
此时K2=8n(3n×2n−n×2n)25n×3n×4n×4n=8n15，
若根据独立性检验认为热爱篮球运动与性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，
此时3.841≤8n15<6.635，
解得7.2≤n<12.4，
所以n=8，9，10，11，12，
则男生人数可能为32、36、40、44、48；
(2)当被调查的学生人数取最小值时，
由(1)知，共调查64人，
其中热爱篮球运动的男生、女生各有24人、16人，
若用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人参加某篮球赛事的志愿活动，
其中参加志愿活动的10人中，男生有6人，女生有4人，
则X的所有取值为0，1，2，3，4，
所以P(X=0)=C64C104=114，P(X=1)=C41C63C104=821，P(X=2)=C42C62C104=37，P(X=3)=C43C61C104=435，P(X=4)=C44C104=1210，
则X的分布列为：
所以E(X)=821+67+1235+4210=336210=85.
【解析】(1)由题意，补全列联表信息，代入公式中求出K2的观测值，结合所给信息列出等式即可求出n的所有值，进而可得男生人数的所有可能结果；
(2)结合(1)中所得n的取值，根据分层抽样选出男生和女生数，得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：(1)由题知准线方程为y=−p2，则4+p2=174，得p=12.
(2)抛物线的方程为x2=y，把点P代入到抛物线方程，m2=4，又m<0，
所以m=−2，则点P的坐标为(−2,4)，
依题知过点P的直线斜率必存在，
设过点P的直线方程为y−4=k(x+2)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M：x2+(y−2)2=1的圆心为M(0,2)，半径r=1，
则圆心到该直线的距离为|−2+2k+4| 1+k2，
由直线与圆相切，所以|−2+2k+4| 1+k2=1，解得k1=−4+ 73，k2=−4− 73，
联立x2=yy−4=k(x+2)，消y得，x2−kx−2k−4=0，则xP+x1=k，又xP=−2，
不妨设x1=k1+2=−4+ 73+2=2+ 73，同理x2=k2+2=−4− 73+2=2− 73，
故A(2+ 73,11+4 79)，B(2− 73,11−4 79)，得kAB=11+4 79−11−4 792+ 73−2− 73=43，
所以直线AB：y−11+4 79=43(x−2+ 73)，即4x−3y+1=0，
|AB|= 1+169|x1−x2|=53×|2+ 73−2− 73|=10 79(定值)，
要使△ABQ的面积S最大，则△ABQ中AB边上的高最大即可，
又因为圆心M到直线的距离为d=|−6+1|5=1，
则圆上一点到直线的距离的最大值为d+r=1+1=2，
即△ABQ中AB边上的高的最大值为2，
所以Smax=12×10 79×2=10 79.
【解析】(1)根据抛物线的定义，即可求解．
(2)根据已知直线方程，和抛物线联立方程，结合韦达定理，求出点A，B的坐标，从而求出直线AB的方程，根据弦长公式，求得|AB|，结合圆上一点到直线的距离的最大值为d+r，从而求出△ABQ的面积S的最大值．
本题主要考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的应用，还考查了数学运算的核心素养，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f′(x)=ex⋅ax−ex⋅a(ax)2=ex(ax−a)(ax)2，令f′(x)=0得x=1，
g′(x)=alnx−a(lnx)2，令g′(x)=0得x=e.
当a>0时，f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f(x)min=f(1)=ea，
g(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增，所以g(x)min=g(e)=ae，
由ea=ae，得a=1.
当a<0时，f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，无最小值，不合题意．
综上所述，a=1.
(2)证明：由(1)知，f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
g(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增，
g(x)min=e，则直线y=b与f(x)、g(x)最多有4个交点．
当x∈(1,e)时，令h(x)=f(x)−g(x)，则h(x)在(1,e)上单调递增，
当x→1时，h(x)→−∞，h(e)=ee−e2e>0，
则h(x)在(1,e)上有唯一的零点x0，即存在x0∈(1,e)，使得f(x0)=g(x0)，
取b=f(x0)=g(x0)满足题意，使得直线y=b与f(x)、g(x)恰有三个交点，
分别记为A(x1,b)，B(x0,b)，C(x2,b)，
不妨设0要证x02=x1x2，即证x1x2=ex0lnx0，
而b=f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)，即b=ex1x1=ex0x0=x0lnx0=x2lnx2.
由ex1x1=x0lnx0得ex1x1=elnx0lnx0，即f(x1)=f(lnx0)，
又x0∈(1,e)，lnx0∈(0,1)，x1∈(0,1)，而f(x)在(0,1)单调，所以x1=lnx0.
又由ex0x0=x2lnx2得ex0lnex0=x2lnx2，即g(ex0)=g(x2)，
又x2∈(e,+∞)，ex0∈(e,+∞)，而g(x)在(e,+∞)单调，所以ex0=x2.
由x1=lnx0，ex0=x2得x1x2=ex0lnx0=x02，原命题得证．
【解析】(1)由导数确定函数的单调性，得最小值，由最小值相等得参数值；
(2)结合图象分析可知，当直线y=b过曲线y=f(x)和y=g(x)的交点时，满足题意，结合g(x)=f(lnx)可得出三个交点的横坐标之间的关系，从而证得结论成立．
本题考查用导数求函数的最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题．对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由g(x)=f(x)确定一个交点，其次通过f(x1)=f(lnx0)和g(ex0)=g(x2)找到交点横坐标之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立．α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
篮球运动
合计
热爱
不热爱
男生
3n
n
4n
女生
2n
2n
4n
合计
5n
3n
8n
X
0
1
2
3
4
P
114
821
37
435
1210