专题19 高考中的新定义问题-备战2022年高考数学二轮复习专题之提分秘典

专题19 高考中的新定义问题

一、单选题

1．（2021·上海市七宝中学高一期中）已知非空集合A､B满足两个条件：（1），；（2）若，则，则有序集合对的个数为（    ）

A．17 B．18 C．19 D．20

【答案】C

【分析】

对集合的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．

【详解】

解：由题意分类讨论可得：

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则．

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

若，则；

综上可得：有序集合对的个数为19．

故选：C．

2．（2021·全国·高一课时练习）定义运算如下:设函数，则该函数的图象是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据函数新定义求得函数解析式，再根据一次函数和二次函数得图像即可的解.

【详解】

解：由的定义可知

因为，所以函数图象过点，排除A，B；

当时，，排除D，只有C符合.

故选：C.

3．（江西省部分学校2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题）在上定义运算“”：，则满足的实数x的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据新的定义运算，把，化简为，即可求解.

【详解】

在上定义运算“”，可得，

则，

因为，即，解得或.

故选：B.

4．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：.若函数，则函数是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．单调递增函数 D．非奇非偶函数

【答案】D

【分析】

根据高斯函数的定义得出函数的解析式，作出图形，由图象可得选项.

【详解】

解：由于，所以，由此作出函数的图象，由图示可以得出是非奇非偶函数，不是单调递增函数，

故选：D.

5．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）对于角的正切的倒数，记作，称其为角的余切．在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若满足，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据正弦定理结合三角恒等变换化简得到，根据角度的范围得到，化简得到，得到答案.

【详解】

因为，根据正弦定理得，

由，，

即，

三角形为锐角三角形，可得，即，

所以，可得，可得，

所以，

则，

所以．

故选：C．

6．（2022·全国·高三专题练习）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：①为同时与垂直的向量；②，三个向量构成右手系(如图1)；③如图2，在长方体中，，则下列结论错误的是（    ）

A．

B．长方体的体积

C．

D．

【答案】C

【分析】

根据新定义可判断A，C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断B；根据新定义计算等号左右两边可判断D，进而可得正确答案.

【详解】

对于A：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系，

且，，

所以，故，所以选项A正确；

对于B：长方体的体积为，

又因为，所以长方体的体积，故选项B正确；

对于C：根据定义可得：，，所以，故选项C不正确；

对于D：因为，且与同向共线，，且与同向共线，又因为与同向共线，所以，且与同向共线，故选项D正确；

所以结论错误的是选项C，

故选：C.

7．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．

【详解】

解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，

因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，

所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，

所以面角和为，

故总曲率为．

故选：B.

8．（2021·江西南昌·高二期中（文））若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据给定定义可得椭圆的短半轴长与半焦距相等，再对各选项逐一计算判断作答.

【详解】

由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，

对于A，，即，A是“对偶椭圆”；

对于B，，即，B不是“对偶椭圆”；

对于C，，即，C不是“对偶椭圆”；

对于D，，即，D不是“对偶椭圆”.

故选：A

二、填空题

9．（2019·上海市亭林中学高一期中）定义集合A与B之间的运算：且，则__________.

【答案】

【分析】

根据文氏图先判断且所表示的意义并找出其代表的阴影部分，然后根据此运算求出

【详解】

如图，表示的是阴影部分，

设＝C，
根据的定义可知：
，
所以

故答案为：.

10．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数不是常数函数，写出一个同时具有下列三个性质的一个函数___________.

①；②；③.

【答案】（形式不唯一）

【分析】

由联想得到，可设，由周期性确定，猜想的值代入检验可确定.

【详解】

解:由，

得，

联想到，

可推测.

由，

得，

则，

设，

则，所以满足题意.

故答案为：.（不唯一）

11．（2021·北京市第三十五中学高二期中）已知点．若曲线上存在两点、，使为正三角形，则称为型曲线，给定下列四条曲线：

①；           ②；

③；       ④．

其中，属于型曲线的是____________（写出序号即可）

【答案】①④

【分析】

线段的端点为、，计算出的值可判断①；设过点且与曲线相切时切点为，计算出可判②；记曲线的端点为、，计算出的值可判断③；数形结合可判断④.

【详解】

对于①，线段的端点为、，

则，，，

故，所以，线段上存在、使得为正三角形，

故是型曲线；

对于②，设过点且与曲线相切的直线的方程为，

联立，可得，，

因为，解得，设切点为点，

则，故，

所以，曲线上不存在点、，使得为正三角形，曲线不是型曲线；

对于③，由可得，

曲线表示圆在第一象限内的圆弧（包括端点），

曲线的端点为、，

，，，

因为，则，

故曲线上不存在点、，使得为正三角形，

曲线不是型曲线；

对于④，曲线为双曲线在第三象限的部分，以为圆心作圆，

如下图所示：

由图可知，存在圆，当该圆与曲线相交于、两点时，满足，

所以，曲线为型曲线.

故答案为：①④.

【点睛】

关键点点睛：本题考查曲线中的新定义，解题的关键在于计算出关于点的最大张角，必要时可利用数形结合思想来进行判断.