新疆乌鲁木齐市第二十三中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

这是一份新疆乌鲁木齐市第二十三中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：景维龙审题人：高一数学备课组
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．长方体中，，，为中点，则异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知树人中学高一年级总共有学生人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则（ ）
A．1100B．1000C．900D．800
3．设，是两个平面，，是两条直线，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，为上靠近点的三等分点，则三棱锥与四棱锥的体积比为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．点、到平面的距离相等B．与为异面直线
C．D．平面截该正方体的截面为正六边形
7．已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值（ ）
A．3B．C．4D．
8．已知空间4个球，它们的半径分别为2，2，3，3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若点的坐标为，且是关于的方程（，）的一个根，则
C．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D．若复数满足，则的最小值为
10．设的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，，则面积的最大值为
C．若，，则点的轨迹一定通过的内心
D．若是内的一点，满足，则
11．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为2
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，则外接圆半径为_________．
13．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为_________．
14．在平面五边形中，，，，，且．将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的体积为_________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15、（本小题满分13分）已知，，且与的夹角为．
（1）求在上的投影向量；
（2）若，求实数的值；
（3）求向量与向量夹角的余弦值．
16、（本小题满分15分）在直三棱柱中，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，．
①求二面角的正切值；
②求直线到平面的距离．
17、（本小题满分15分）记的内角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求角；
（2）若为上一点，且，，，求的面积；
（3）若，，是中线，求的长．
18、（本小题满分17分）如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，．
（1）求证：与共面，与共面；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角的余弦值．
19、（本小题满分17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中（，2，…，，）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．
（1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）如图，现已知在直四棱柱中，底面是菱形，，
①若四面体在点处的离散曲率为，证明：平面；
②若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，求直线与平面所成角的正弦值．
高一数学月考参考答案
1、【答案】C．【详解】取的中点为，连接，，，则为正三角形。
2、【答案】B【详解】树人中学高一年级总共有学生人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，则参赛学生中男生人数为人，参赛学生中女生人数为人，．故选：B．
3、【答案】D【详解】对于A，，可能平行，相交或异面，故A错误，对于B，，可能相交或平行，故B错误，对于C，，平行，不可能垂直，故C错误，由线面平行性质得D正确，故选：D
4、【答案】C【详解】如图，将三棱锥转化为长方体，可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则，可得，则外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选：C．
5、【答案】A【详解】解：设四棱锥的高为，则三棱锥的高为，，则，，，三棱锥与四棱锥的体积比为：．故选：A．
6、【答案】B【详解】对于A选项，为的中点，故点、到平面的距离相等，A对；对于B选项，延长、交于点，延长、交于点，因为，为的中点，则，，，所以，，则，同理可知，则，即点、重合，故、相交，B错；对于C选项，设正方体的棱长为，则，同理，所以，为等边三角形，因为，由余弦定理可得，所以，，故，则，C对；对于D选项，设平面分别交棱、于点、，因为平面平面，平面平面，平面平面，则，因为、分别为、的中点，则，因为，，故四边形为平行四边形，则，，为的中点，则为的中点，同理可知为的中点，所以，、、、、、分别为棱、、、、、的中点，由勾股定理可知六边形的边长为，且，同理易知，故六边形为正六边形，D对．故选：B．
7、【答案】D【详解】解：，设与的夹角为，，，则，不妨设，，再设，则
，即，所以的最大值为．故选：D．
8、【答案】C【详解】以四个球的球心为顶点作四面体，则，，，设，的中点分别为，，设小球的球心为，半径为．因为，，所以，．所以面是线段的中垂面．又因为，所以在平面上．同理，也在线段的中垂面上，从而必在线段上．由，得解此方程，可得．故选：C．
9、【答案】ABD【详解】对于A，由（，），可得，，化简得，所以，故A正确；
B中，若点的坐标为，则，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正确；
C中，，所以，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故C不正确；
D中，根据复数模的几何意义可知，表示复数与复数对应两点间的距离为1，所以复数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，如图，表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最小值为．故D正确；
10、【答案】BCD【详解】选项A，若，由正弦定理，，则，而，，，则或者，即，或者，即是等腰三角形或者直角三角形，A选项不正确．
对于B，面积，当且仅当时取等号，故B正确．
对于C，，分别表示平行于，的单位向量，故平分，即平分，所以的轨迹经过的内心，故C正确．
对于D，由，得，令，的中点分别为，，则，即，则是线段靠近的四等分点，在中，连接，则是的中位线，所以，故D正确．
11、【答案】BD【详解】对于A，如图，底面，为圆锥的轴截面，所以，因为，所以，，该圆锥的体积为，故A错误；对于B，该圆锥的侧面积为，故B正确；对于C，连接，则，即，取的中点，连接，，又是的中点，所以，则，因为，是的中点，所以，可得为二面角的平面角，即，因为底面，底面，所以，所以，则，所以，故C错误；对于D，的面积为，故D正确．故选：BD．
12、【答案】【详解】由及正弦定理得，即，即，由，则，所以，因为，所以，所以，所以由正弦定理得，的外接圆半径为．故答案为：
13、【答案】【详解】如图，作出正四棱台的轴截面，设上底面边长为，则下底面边长为，则，，，，故，在中，，则由射影定理，得，解得，于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2，故该正四棱台的体积为：．故答案为：．
14、【答案】【详解】设的中心为，矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，则由球的性质可知，直线与的交点为几何体外接球的球心，取的中点，连接，，由条件得，，连接，因为，从而，连接，则为所得几何体外接球的半径，在直角中，由，，可得，即外接球的半径为，故所得几何体外接球的体积为．故答案为：．
15、【参考解析】（1）因为，，且与的夹角为，
所以．
在上的投影向量为；
（2）因为，所以，
即，
即，解得．
（3）因为，，
设向量与向量的夹角为，则，
即向量与向量夹角的余弦值为．
16、【参考解析】证明：（1）取中点并连接，
因为是的中点，所以，
因为是的中点，所以，
所以，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）（1）连接，因为，，是的中点，
所以，所以，所以，同理可得，
所以，因为，所以二面角的平面角为，
又，所以平面，因为平面，
所以，因为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，又，
所以平面，因为平面，所以，易得，
在中可得，
所以二面角的正切值为
（2）因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
因为，所以，
即，解得，
所以直线到平面的距离为．
17、【参考解析】（1）因为，由正弦定理可知：，
由，故
（，），，
又，所以；
（2）由三角形面积公式可得，
则
（3）根据数量积的定义，由，得，
又，在中由余弦定理得：，
，
，
所以
18、【参考解析】（1）证明，设，分别为，的中点，连结，，，
有，，，．
，于是．
由，得，故，与共面．
过点作平面于点，则，，连结，，
于是，，．，．
，．所以点在上，故与共面．
（2）证明：平面，，
又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线，
平面．
又平面过，平面平面．
（3）解：直线是直线在平面上的射影，，
根据三垂线定理，有．过点
在平面内作于，连结，则平面，
于是，，所以，是二面角的一个平面角．
根据勾股定理，有，，．
，有，，，。
19、【参考解析】（1）四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为：
（2）（1）因为直四棱柱中，四边形为菱形，，
所以直四棱柱侧面均为正方形，
四面体在点处的离散曲率为，
则，则为正三角形，，
所以，四边形为正方形，直四棱柱为正方体，
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，又因为平面，所以，
同理可得，，平面，平面，，
所以平面；
（2）直四棱柱在点处的离散曲率为，
则，设，交于点，则，，
由（1）知，，因为四边形为菱形，所以，
又平面，平面，，所以平面，
即与平面所成的角，，
所以与平面所成的角的正弦值为。