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2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第十九中学高一上学期第二次月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第十九中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用集合的并集的定义可得结果.
【详解】，
故选：D.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得，，即可得到结果.
【详解】因为，即，
又因为，即，
所以.
故选：C
3．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.
【详解】解：由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
4．已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，作出直线得到，即得解.
【详解】
如图，作出直线得到，
所以.
故选：B
5．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．
【详解】的定义域是，关于原点对称，
，是偶函数，排除BC；
又时，，是增函数，排除A．
故选：D．
【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．
确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．
6．标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.
【详解】由题意，对于，有
，
所以，分析选项B中与其最接近.
故选：B
7．设是奇函数，且在上是减函数，，则的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】先利用奇函数的性质确定的单调性，然后再分和两种情况，利用函数的单调性“脱掉”，求出结果即可.
【详解】由已知可得是奇函数，且在上是减函数，
则在上是减函数，
又，所以，
所以等价于：
当时，则，即,解得；
当时，则，即,解得；
综上所述，不等式的解集为或.
故选：D
8．若满足时，恒有，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的不等式关系，结合均值不等式逐项判断作答.
【详解】对于A，取，，，
而，此时有，A不可能；
对于B，，于是，B可能；
对于C，，C可能；
对于D，，D可能.
故选：A
二、多选题
9．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】CD
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,的定义域为的定义域为，两函数的定义域不相同，
所以不是同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，
因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，
所以是同一个函数，故C正确；
对于D，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同，
所以两函数是同一个函数，故D正确.
故选:CD.
10．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案.
【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项.
函数，均为偶函数.
又二次函数在上为增函数.
，当时，函数可化为，在上为增函数.
故选项B，D满足条件.
故选：BD
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称D．函数在上为减函数
【答案】AB
【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以函数的定义域为，故A正确；
B：，
由，
所以函数的值域为，故B正确；
C：因为，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，故D错误.
故选：AB.
12．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（ ）
A．B．且
C．D．方程有个不同的实数根
【答案】ABC
【分析】画出函数的图象，根据图象，得出的范围；利用对称性以及对数的运算性质得出且；结合且，将变形为，利用函数的单调性即可得出的取值范围；令，则，解出的根，根据直线与函数的图象的交点，即可得出方程根的个数.
【详解】函数与直线的图象，如下图所示：
因为直线与函数的图象相交于四个不同的点，所以，则A正确；
因为二次函数的图象关于直线对称，则，
，则B正确；
设，因为，所以，
令，则，，
设，
因为，，所以，即函数在上单调递增，
故，即，则C正确；
令，则.
由得，则方程的解为、、、.
当时，由于，则直线与函数的图象相交一点
当时，由于，则直线与函数的图象相交一点
当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的四点
当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的两点
则方程有个不同的实数根，则D错误；
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
三、填空题
13．函数，且，则
【答案】1
【分析】根据，求得，由此能求出.
【详解】由，且，
即，即，则，
则.
故答案为：1
14．已知，则的解析式为 ．
【答案】
【分析】利用换元法令，再代入函数即可求解.
【详解】令，则，
所以，则，
故答案为：
15．不等式与不等式是同解不等式，则
【答案】
【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合一元二次不等式解法进而得到答案.
【详解】因为在上单调递增，
则，即，
即，解得，
因为也是的解，
所以，解得，
此时，即，解得，满足题意，
故
故答案为：.
16．用表示，两个实数中的最大值．设，则函数的最小值是
【答案】
【分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，将问题转化为求分段函数的最小值问题.
【详解】由题意知
当时，单调递增， ，
当时，在单调递减，
，
当时，在单调递增，
，
综上，的最小值为.
故答案为：.
四、计算题
17．化简求值：
(1)
(2)若，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指对运算法则即可得解；
（2）利用指对互换，结合指数的运算即可得解.
【详解】（1）
.
（2）因为，所以，则，
所以，故.
五、解答题
18．已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上单调，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据幂函数的定义可知或，再根据奇偶性可得；
（2）利用二次函数单调性列不等式，可得解.
【详解】（1）由已知函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，，为奇函数，不符合题意，
当时，，为偶函数，
综上所述，；
（2）由（1）得，
则，
在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上单调，
所以或，
即或.
六、证明题
19．已知函数.
(1)根据定义证明函数在区间上单调递增
(2)求函数在区间上的最大值和最小值
【答案】(1)证明见解析
(2)，.
【分析】（1）先取值再作差，结合定义域判断的正负，从而证明出单调性；
（2）根据（1）中的单调性，确定出和.
【详解】（1）任取，且，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增；
（2）因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，.
七、解答题
20．已知是定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用偶函数的意义求出时，的解析式即可作答.
（2）求出函数在时的单调性，再借助偶函数列出不等式，求解作答.
【详解】（1）当时，有，而是偶函数，则，
所以函数的解析式是.
（2）依题意，函数在上单调递增，而是偶函数，
由得：，于是得，
即有，整理得：，解得，
所以不等式的解集为.
八、应用题
21．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.
（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.
【详解】（1）依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元，
因此，
所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是.
（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，
而，因此当时，，
所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
九、解答题
22．已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可得，利用换元法可转化为求的值域，利用二次函数性质可得其值域为；
（2）将原不等式转化成对于恒成立，利用对勾函数单调性即可得.
【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，，
令，即可得，
由二次函数性质可知当时，，当时，；
因此可得当时，该函数的值域为.
（2）当时，可得，
原不等式可化为对于恒成立，
即可得对于恒成立，易知函数在上单调递增，
所以，因此只需即可，得；
即的取值范围是.
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用集合的并集的定义可得结果.
【详解】，
故选：D.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得，，即可得到结果.
【详解】因为，即，
又因为，即，
所以.
故选：C
3．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.
【详解】解：由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
4．已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，作出直线得到，即得解.
【详解】
如图，作出直线得到，
所以.
故选：B
5．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．
【详解】的定义域是，关于原点对称，
，是偶函数，排除BC；
又时，，是增函数，排除A．
故选：D．
【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．
确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．
6．标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.
【详解】由题意，对于，有
，
所以，分析选项B中与其最接近.
故选：B
7．设是奇函数，且在上是减函数，，则的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】先利用奇函数的性质确定的单调性，然后再分和两种情况，利用函数的单调性“脱掉”，求出结果即可.
【详解】由已知可得是奇函数，且在上是减函数，
则在上是减函数，
又，所以，
所以等价于：
当时，则，即,解得；
当时，则，即,解得；
综上所述，不等式的解集为或.
故选：D
8．若满足时，恒有，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的不等式关系，结合均值不等式逐项判断作答.
【详解】对于A，取，，，
而，此时有，A不可能；
对于B，，于是，B可能；
对于C，，C可能；
对于D，，D可能.
故选：A
二、多选题
9．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】CD
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,的定义域为的定义域为，两函数的定义域不相同，
所以不是同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，
因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，
所以是同一个函数，故C正确；
对于D，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同，
所以两函数是同一个函数，故D正确.
故选:CD.
10．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案.
【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项.
函数，均为偶函数.
又二次函数在上为增函数.
，当时，函数可化为，在上为增函数.
故选项B，D满足条件.
故选：BD
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称D．函数在上为减函数
【答案】AB
【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以函数的定义域为，故A正确；
B：，
由，
所以函数的值域为，故B正确；
C：因为，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，故D错误.
故选：AB.
12．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（ ）
A．B．且
C．D．方程有个不同的实数根
【答案】ABC
【分析】画出函数的图象，根据图象，得出的范围；利用对称性以及对数的运算性质得出且；结合且，将变形为，利用函数的单调性即可得出的取值范围；令，则，解出的根，根据直线与函数的图象的交点，即可得出方程根的个数.
【详解】函数与直线的图象，如下图所示：
因为直线与函数的图象相交于四个不同的点，所以，则A正确；
因为二次函数的图象关于直线对称，则，
，则B正确；
设，因为，所以，
令，则，，
设，
因为，，所以，即函数在上单调递增，
故，即，则C正确；
令，则.
由得，则方程的解为、、、.
当时，由于，则直线与函数的图象相交一点
当时，由于，则直线与函数的图象相交一点
当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的四点
当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的两点
则方程有个不同的实数根，则D错误；
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
三、填空题
13．函数，且，则
【答案】1
【分析】根据，求得，由此能求出.
【详解】由，且，
即，即，则，
则.
故答案为：1
14．已知，则的解析式为 ．
【答案】
【分析】利用换元法令，再代入函数即可求解.
【详解】令，则，
所以，则，
故答案为：
15．不等式与不等式是同解不等式，则
【答案】
【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合一元二次不等式解法进而得到答案.
【详解】因为在上单调递增，
则，即，
即，解得，
因为也是的解，
所以，解得，
此时，即，解得，满足题意，
故
故答案为：.
16．用表示，两个实数中的最大值．设，则函数的最小值是
【答案】
【分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，将问题转化为求分段函数的最小值问题.
【详解】由题意知
当时，单调递增， ，
当时，在单调递减，
，
当时，在单调递增，
，
综上，的最小值为.
故答案为：.
四、计算题
17．化简求值：
(1)
(2)若，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指对运算法则即可得解；
（2）利用指对互换，结合指数的运算即可得解.
【详解】（1）
.
（2）因为，所以，则，
所以，故.
五、解答题
18．已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上单调，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据幂函数的定义可知或，再根据奇偶性可得；
（2）利用二次函数单调性列不等式，可得解.
【详解】（1）由已知函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，，为奇函数，不符合题意，
当时，，为偶函数，
综上所述，；
（2）由（1）得，
则，
在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上单调，
所以或，
即或.
六、证明题
19．已知函数.
(1)根据定义证明函数在区间上单调递增
(2)求函数在区间上的最大值和最小值
【答案】(1)证明见解析
(2)，.
【分析】（1）先取值再作差，结合定义域判断的正负，从而证明出单调性；
（2）根据（1）中的单调性，确定出和.
【详解】（1）任取，且，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增；
（2）因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，.
七、解答题
20．已知是定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用偶函数的意义求出时，的解析式即可作答.
（2）求出函数在时的单调性，再借助偶函数列出不等式，求解作答.
【详解】（1）当时，有，而是偶函数，则，
所以函数的解析式是.
（2）依题意，函数在上单调递增，而是偶函数，
由得：，于是得，
即有，整理得：，解得，
所以不等式的解集为.
八、应用题
21．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.
（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.
【详解】（1）依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元，
因此，
所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是.
（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，
而，因此当时，，
所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
九、解答题
22．已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可得，利用换元法可转化为求的值域，利用二次函数性质可得其值域为；
（2）将原不等式转化成对于恒成立，利用对勾函数单调性即可得.
【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，，
令，即可得，
由二次函数性质可知当时，，当时，；
因此可得当时，该函数的值域为.
（2）当时，可得，
原不等式可化为对于恒成立，
即可得对于恒成立，易知函数在上单调递增，
所以，因此只需即可，得；
即的取值范围是.
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新疆乌鲁木齐市新疆实验中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）： 这是一份新疆乌鲁木齐市新疆实验中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
