2023-2024学年新疆乌鲁木齐市实验学校高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐市实验学校高一上学期第一次月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各式中，正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【分析】利用集合知识逐个判定即可得出答案.
【详解】利用元素与集合关系，正确，所以①正确；
利用集合与集合关系，可知，，
所以②不正确，③正确；
因为是无理数，所以，故④不正确.
故选：A.
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】借助集合的补集、交集运算即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以.
故选：B.
3．已知，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．每一个二次函数的图象都是开口向上
B．存在一条直线与两条相交直线都平行
C．梯形的对角线相等
D．有些菱形是正方形
【答案】D
【分析】根据题意结合二次函数以及几何知识逐项分析判断.
【详解】对于选项A：例如，其图象是开口向下的，故A错误；
对于选项B：根据平行线的传递性可知：一条直线与两条直线都平行，则这两条直线也平行，故B错误；
对于选项C：例如直角梯形的对角线不相等，故C错误；
对于选项D：正方形也是菱形，即有些菱形是正方形，故D正确；
故选：D.
5．是的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，结合充分性和必要性的定义即可求解.
【详解】当，时，显然不成立；
当时，显然，由不等式性质可知，，
故是的必要不充分条件.
故选：B.
6．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质求出，3a的范围，两式相加即可得出答案．
【详解】因为，，所以，，所以．
故选：D.
7．若命题：，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可.
【详解】命题：，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题的否定为，.
故选：C
8．设集合，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】A
【分析】根据集合相等的含义求出可得答案.
【详解】因为，，所以，所以.
故选：A.
9．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由，得，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
10．已知对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对分和两种情况讨论即可求得答案.
【详解】当时，，成立.
当时，需满足，
所以.
综上，.
故选：D.
二、多选题
11．已知为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若，则，
可得，即，故A正确；
对于选项B：若，例如，则，故B错误；
对于选项C：若，则，故C正确；
对于选项D：若，则，可得，
因为，则，故D正确；
故选：ACD.
12．下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值为
B．若，则
C．若，则的最大值为9
D．若，则的最大值是
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，由可得，当且仅当，即时，等号成立；即的最大值为；A正确；
B选项，由，，可得，即，故B正确；
C选项，若，，且，则，
且仅当，即时，等号成立；即的最小值为9，故C错；
当D选项，由得，所以，当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知集合，，则= .
【答案】
【分析】构造方程组解出集合的交集.
【详解】解：联立，解得，
则．
故答案为：．
14．设，则 （填“>”､“<”､“”或“”）.
【答案】
【分析】运用作差法和不等式的性质，即可得到所求大小关系.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
15．关于的不等式的解集是，则不等式的解集为 .
【答案】或
【分析】利用不等式解集的端点即为方程的根求出，再求解不等式即可.
【详解】因为关于的不等式的解集是，所以,
所以，所以不等式等价于，
令得：，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
16．若条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可得的解集是的真子集，从而可求出的取值范围
【详解】由得，
因为是的充分不必要条件，
则
故．
所以实数的取值范围为.
故答案为：．
四、解答题
17．设全集为或，求：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集的运算进行求解；
（2）先求并集，再求补集，可得答案.
【详解】（1）因为，或，
所以.
（2）因为，或，
所以或；
所以.
18．解下列关于的不等式：
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为空集，当时，原不等式的解集为.
【分析】（1）利用因式分解，结合不等式的解法可得答案；
（2）分类讨论，结合不等式的解法可得答案.
【详解】（1）因为，所以或，
故不等式的解集为.
（2）当时，的解为；
当时，原不等式等价于，此时不等式无解；
当时，的解为；
综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为空集，当时，原不等式的解集为.
19．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合.
(1)当时，求；
(2)选__________，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)选①，的取值范围为或；
选②，实数的取值范围；
选③，实数的取值范围.
【分析】（1）根据集合补集和交集的运算即可得答案.
（2）由集合的交和并的运算性质，列出相应的不等式即可得解.
【详解】（1）当时，集合，或，
又，
则.
（2）选①，则或，解得或，
所以实数的取值范围为或；
选②，由题意知，则，解得，
所以实数的取值范围；
选③，由题意知，则，解得，
所以实数的取值范围.
20．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出且，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【详解】（1）因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
21．为了缓解市民吃肉难的生活问题,某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距千米的乙地,运费为每小时元,装卸费为元,猪肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速度值的倍.(说明:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)
（1）若汽车的速度为每小时千米,试求运输的总费用;
（2）为使运输的总费用不超过元,求汽车行驶速度的范围;
（3）若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶？
【答案】（1）元 （2）（3）每小时千米
【分析】（1）根据运输的总费用运费装卸费损耗费,即可求得答案;（2）设汽车行驶的速度为千米/小时,利用,即可求得答案;
（3）设汽车行驶的速度为千米/小时,利用运输的总费用运费装卸费损耗费，可得运输的总费用:,根据均值不等式,即可求得答案.
【详解】（1）从甲地运往相距千米的乙地,运费为每小时元,装卸费为元,
又运输的总费用运费装卸费损耗费
当汽车的速度为每小时千米时
运输的总费用为:（元）
（2）设汽车行驶的速度为千米/小时
运输的总费用运费装卸费损耗费
,
化简得
解得:
运输的总费用不超过元,汽车行驶速度的范围为:.
（3）设汽车行驶的速度为千米/小时,
运输的总费用运费装卸费损耗费
运输的总费用:
当且仅当即时取得等号
若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时千米的速度行驶.
【点睛】本题主要考查了求解一元二次不等式和均值不等式的解决实际问题,解题关键是掌握一元二次不等式的解法和灵活使用均值不等式,在使用均值不等式时,要注意等号的验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
22．（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假设全部溶解），糖水变甜了.这一事实可以表示为不等式，证明这个不等式成立.
（2）已知都是正数，求证；
【答案】（1）答案见解析，（2）答案见解析.
【分析】（1）用作差比较法即可证明；（2）利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）证明：因为，，
所以，
所以，
故成立.
（2）证明：因为都是正数，
所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
故成立.