江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期5月学情调研数学试卷

这是一份江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期5月学情调研数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.已知点M在平面ABC内，且对于空间任意一点O﹐都有，则的值是()
A. B. C. D.
2.若，且能被17整除，则的最小值为()
A.0 B.1 C.15 D.16
3.正十二边形的对角线的条数是()
A.56 B.54 C.48 D.44
4.某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()种.
A.144 B.72 C.64 D.36
5.下列结论正确的是()
A.已知一组样本数据，，…，()，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B.已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为(m，2.8)，则实数m的值是4
C.50名学生在一模考试中的数学成绩X～N(120，)，已知P(X>140)=0.2，则X∈[100，140]的人数为20人
D.已知随机变量X～B(n，)，若E(3X+1)=6，则n=5
6.已知，.设p：，q：，则p是q的()条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要
7.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.
已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为()
A.56 B.54 C.48 D.44
8.己知定义在(0，+)上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有()
A. B.
C. D.
二、选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分.)
9.已知平面α过点M(1，，2)，其法向量，则下列点不在平面α内的是()
A.S(2，0，0) B.Q(2，0，4) C.R(0，2，) D.T(-2，，1)
10.有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件A：为偶数，B：为偶数，C：，则()
A.P(B)= B.A与B相互独立 C.A与C相互独立 D.B与C相互独立
11.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角(如图1)，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下(如图2)：
上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则()
A.
B.
C.
D.
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机量的线性相关系数分别为=0.66，=-0.97，=0.92，=0.89，则这四人中，____________研究的个随机变量的线性相关程度最高.
13.已知，则=____________.
14.已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内.
(1)共有多少种不同的放法?
(2)每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种?
(3)将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种?
16.为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为X(单位：nm).
(1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个.现从这10个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求于的分布列及数学期望E(E)；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为.，每个零件是否合格相互独立，现任取4个零件进行检测，若合格的零件数刀超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及刀的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N(10，0.04)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率.
参考数据：若，则，，，，.
17.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点.
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.
18.甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率
为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为n(n≥2).
(1)求P；
(2)当n=2时，求甲得分X的分布列及数学期望：
(3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.
19.①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：
i)四则运算法则：如果，，则，，
若B≠0，则
ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0，a)上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①；
②；
(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.
江苏省海门中学2023-2024学年度第二学期五月份学情调研
高二数学参考答案
1.D 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.CD 10.ACD 11.BCD
12.乙；13.4048；14.；15.(1)；(2)；(3)5
16.(1)由题知，的可能取值为0，1，2，~H(3，2，10).
则，，，
所以5的分布列为：
所以，数学期望.
(2)由题意可知，从二项分布.
故((k=3，4)，
技术攻坚成功的概率为
【小问3详解】
记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为X~H(10，0.04)，所以=10，=0.2，
所以，
所以，
所以.
从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056.
17.(1)设AD中点为O，连接PO，△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，
由题意知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，
PO平面PAD，故PO⊥平面ABCD，AB平面ABCD，
故PO⊥AB，又PD⊥AB，POPD=P，PO，PD平面PAD，
故AB⊥平面PAD，DM平面PAD，故AB⊥DM，
又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM⊥PA，
ABPA=A，AB，PA平面PAB，
所以DM⊥平面PAB；
(2)由(1)知AB⊥平面PAD，AD平面PAD，故AB⊥AD，
连接CO，AO=AD=2，则AO∥BC，AO=BC，
即四边形AOCB为平行四边形，故OC∥AB，
∴OC⊥AD，
故以О为坐标原点，OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0，0，)，B(2，-2，0)，M(O，-1，)，C(2，0，0)，D(O，2，0)，
，，，
设平面MCD的一个法向量为，则
即，令y=1，则
设直线PB与平面MCD所成角为，，
则.
18.解：(1)记“第i次答题时为甲”，B=“甲积1分”，则，，，，，
，
则，解得；
(2)由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由(1)可知
，
，
，
P(x=0)=责0言+吉言一方'P(X=2)=14.4+!4=4，X的分布列为：
随机变量X的数学期望为.
(3)由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，则工甲一z=2，且，，所以甲晋级时n必为偶数，令n=2m，m∈N*
当n为奇数时，，
则
又∵m≥1时，随着m的增大而增大，
∴
19.【答案】(1)①1；②
(2)是，证明见解析
【解析】
【分析】(1)①根据洛必达法则1，以此计算即可得解；②设，根据洛必达法则1求出，利用变换得解；
(2)方法1，，均有，同理可得，利用洛必达法则1可得，得证；
方法2，利用导数可得在上单调递增，又由，得证.
【小问1详解】
①根据洛必达法则1，，
②设，则，
设，，
∴
∴
【小问2详解】
∵，，
∴，，，
∴
∴，均有，
∴是区间上的2阶无穷递降函数.
方法一：
以上同理可得，
由①，得
∴，.
方法二：
设，，
则
设，，则
∴在上单调递增，又，
∴在上恒成立，
∴
∴在上单调递增，∵，
∴在上但成立，
∴，
∴在上单调递增，
：.f(x)在上单调递增，
又
∴，.0
1
2
X
0
1
2
P