江苏省连云港市厉庄高级中学2023-2024学年高二下学期2月学情检测数学试卷

这是一份江苏省连云港市厉庄高级中学2023-2024学年高二下学期2月学情检测数学试卷，共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

（本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1、（ ）
A．14B．16C．18D．24
2、已知空间四边形中，为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
3、在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）
A．异面B．平行C．垂直D．相交但不垂直
4、已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．C．D．
5、已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
6、如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（ ）种．
A．480B．600C．360D．750
7、在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）试卷源自 来这里 全站资源一元不到！每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。A．B．C．D．
8、有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9、下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10、若3男3女排成一排，则下列说法错误的是（ ）
A．共计有720种不同的排法B．男生甲排在两端的共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种D．男女生相间排法总数为72种
11、如图，已知是棱长为2的正方体的棱的中点，是棱的中点，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，二面角的夹角为，则（ ）
A．平面B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12、如图所示的电路图，从到共有________条不同的线路可通电．
13、如图，在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为________．
14、正与正所在平面垂直，则二面角的正弦值为________．
四、解答题：（解答题需写出明确的解答和证明过程，15-18题每题满分15分，19题满分17分，共77分）
15、在正方体中，设，，，，分别是，的中点．
（1）用向量，，表示，；（2）若，求实数，，的值．
16、已知向量，，点，．
（1）求；（2）在直线上，是否存在一点，使得？（为原点）．
17、从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数．
（1）可以组成多少个三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
18、已知空间内三点，，．
（1）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积；
（2）若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标．
19、在四棱锥中，直线平面，，，．
（1）求证：直线平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
厉庄高级中学高二年级2月学情检测
数学试卷答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1、答案 C
2、答案 A
解析 ．
3、答案 B
解析 因为，，，，
所以，，可得，
所以．故选B．
4、答案 B
解析 因为，，所以．
因为与垂直，所以，所以，
解得，所以，所以．
5、答案 A
解析 若向量，，共面，则，其中，，
即，
则解得
6、答案 D解析 首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步计数原理得，共有（种）涂色方法．
7、答案 D
解析 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则
取，得为平面的一个法向量，
点到平面的距离为．
8、答案 C
解析 如图所示，
作，，垂足分别为，，
则，，，，
折叠后，，，的长度保持不变，
所以．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9、答案 ABD
解析 对于A，，正确；对于B，，正确；
对于C，，错误；
对于D，，正确．
10、答案 BC
解析 3男3女排成一排共计有（种）；男生甲排在两端的共有（种）；男生甲、乙相邻的排法总数为（种）；男女生相间排法总数共有（种）．
11、答案 BCD
解析 以为坐标原点，，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则，，，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
则由得
令，则，，故．
，不存在使，即与不共线，
与平面不垂直，故A错误；
又，，故B正确；
又．．故C正确；
又为平面的一个法向量，由图知为锐角，，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12、答案 8
解析 分三类：第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有（种）方法，所以总的线路条数．
13、答案
解析 连接，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则，，，于是有，，所以，，
所以点到直线的距离为．
14、答案
解析 取的中点，连接，，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，．
所以，，．
为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则所以
取，则，，所以，所以，所以．
故二面角的正弦值为．
四、解答题：（解答题需写出明确的解答和证明过程，15-18题每题满分15分，19题满分17分，共77分）
15、解 （1）连接，，，，
，
．
（2），
又，，，．
16、解 （1），故．
（2）假设在直线上，存在一点，使得，则存在实数，使，所以，
若，则，所以，
解得，因此存在点，使得，点坐标为．
17、解 （1）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有（个）．
（2）三位数的首位不能为0，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二位可以排0，除首位排的数字共有4种方法，第三位除前两位排的数字共有3种方法，因此，共有（个）．
（3）偶数末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有（种）排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有（种）排法．因此有（种）排法．即可以排成30个无重复数字的三位偶数。
18、解 （1），，，
又，，．（2）设，由，得，
由，得，由，得，
或．或．
19、（1）证明 平面，，，又，
，，两两互相垂直，以，，为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由已知得，，，，
，，，
，，，，
又，，平面，平面．
（2）解 由（1），得平面的一个法向量是，，
设直线与平面所成的角为，
则，，即，
设平面的法向量为，，，
由，，得
令，则，．
二面角是锐角，二面角的余弦值为．