江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期3月阶段练习数学试卷(含答案)

这是一份江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期3月阶段练习数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．对于空间任一点O和不共线的三点A,B,C,有,则是P,A,B,C四点共面的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
2．已知向量,向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
3．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”。“礼”,主要指德育；“乐”,主要指美育；“射”和“御”,就是体育和劳动；“书”,指各种历史文化知识；“数”,指数学。某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求：“乐”和“书”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
A.240种B.36种C.120种D.360种
4．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”。将“仁义礼智信”排成一排,其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为( )
A.B.C.D.
5．在正四棱锥中,,与平面所成角为,则点D到平面的距离为( )
A.B.C.D.
6．古代城池中的“瓮城”,又叫“曲池”,是加装在城门前面或里面的又一层门,若敌人攻入瓮城中,可形成“瓮中捉鳖”之势。如下图的“曲池”是上。下底面均为半圆形的柱体,若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,,,,E为弧的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
7．2024年3月初,某运动队的7名队员合影留念,计划站成一横排,但甲不站最左端,乙不站最右端,丙不站正中间。则理论上他们的排法有( )
A.3864种B.3216种C.3144种D.2952种
8．如图,在棱长为2的正方体中,为棱的中点,分别是底面与侧面的中心,P为该正方体表面上的一个动点,且满足,记点的轨迹所在的平面为,则过四点的球面被平面截得的圆的周长是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列等式正确的是( )
A. B.
C.D.
10．如图,在直棱柱中,,,,M,N分别是,的中点,则下列说法正确的有( )
A.B.
C.直线与平面的夹角正切值为D.
11．如图,在棱长为1的正方体中,M,N分别是,的中点,为线段上的动点,则下列说法正确的是( )
A.一定是异面直线
B.存在点P,使得
C.直线与平面所成角的正切值的最大值为
D.过M,N,P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题
12．已知三棱锥的体积为15,M是空间中一点,,则三棱锥的体积是____________________.
13．中国古建筑闻名于世,源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式,该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点,要求E,F处用同一种形状的风铃,其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃,则不同的装饰方案共有______________种.
14．在正方体中,,点平面,点F是线段的中点,若,则当的面积取得最小值时,______________.
四、解答题
15．已知向量,,
(1)求的值；
(2)求；
(3)求的最小值.
16．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中,若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD,,,,,点E为棱PC的中点.
(1)求证：；
(2)若F为棱PC上一点,满足,求二面角的余弦值.
18．如图,是半球O的直径,,M,N是底面半圆弧上的两个三等分点,P是半球面上一点,且.
（1）证明：平面：
（2）若点在底面圆内的射影恰在上,求直线与平面所成角的正弦值.
19．有n个元素,将其中相同的元素归成一类,共有k类,这k类元素中每类分别中,,,个,,将这n个元素全部取出的排列叫做n个不尽相异元素的全排列.
(1)求上述n个不尽相异的元素的全排列数.
(2)由结论（1）,回答“1个球队与10个球队各比赛1次,共有10场比赛,问五胜三负二平的可能情形有多少种？”
参考答案
1．答案：B
解析：若,则,即,
由共面定理可知向量,,共面,所以P,A,B,C四点共面；
反之,若P,A,B,C四点共面,当O与四个点中的一个比如点重合时,,x可取任意值,
不一定有,所以是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件.
2．答案：A
解析：因为向量,,所以,
所以向量在向量上的投影向量为：,
3．答案：A
解析：“乐”和“书”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有排法.
4．答案：D
解析：选将“仁、义、礼”放好保持顺序不变,将“智”插空放入有4种方法,将“信”插空放入有5种方法,
共有20种方法,将“仁义礼智信”排成一排共有种方法,
因此将“仁义礼智信”排成一排,其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为.
5．答案：B
解析：依题意,设,则平面,
因为平面,所以为与平面所成角,即,
因为,所以,则,以O点为原点,
建立空间直角坐标系如图,则,
所以,,,
设平面的一个法向量为,则,
令,则,故,所以点D到平面的距离为.
6．答案：D
解析：在半圆柱下底面半圆所在平面内过A作直线的垂线,
由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,
则以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
于是,,,,,,,
又E为的中点,则,,,,
设平面的法向量,则,
令,得,设直线与平面所成角为,
则,
直线与平面所成角的正弦值为.
7．答案：B
解析：根据题意,分3种情况讨论：①、甲在右端,若乙在中间,则丙有5个位置可选,再将剩余的4个人全排列,安排在其余的4个位置,有种情况；甲在右端,若乙不在中间,则乙还有5个位置可选,此时丙还有4个位置可选,再将剩余的4个人全排列,安排在其余的4个位置,有种情况；两种情况合并,共有种情况；②、若甲在中间,分丙在右端与丙不在右端两种,情况同①. 共有种情况；③、若甲不在中间也不在右端,先排甲,有4种方法,再排乙,乙若在中间,则丙有5种排法；乙若不在中间,则乙有4种排法,此时丙有4种排法；最后,将剩余的4个人全排列,安排在其余的4个位置,共有种情况；
综上,则共有种不同的站法.
8．答案：B
解析：取面对角线中点O,连接,,,,,分别在,上,
且,,以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,, ,,,,,,,,,三棱锥中,为直角三角形,所以,因此点O即为三棱锥的外接球球心,球半径长为,,,,,,共面,
,,,,,平面,,平面,平面,点P的轨迹为矩形的四边,如图所示,,为平面的法向量,
则球心O到平面的距离为,球面被平面截得的圆的半径,
圆的周长为.
9．答案：ABD
解析：对于A,,正确；
对于B,正确；
对于C,,错误；
对于D,,正确.
10．答案：BC
解析：对于A：因为,,所以,
则,A错误；
对于B：因为,为线段中点,所以,
又面面,面面,面,
所以面,又面,所以,B正确；
对于C：因为,,,,面,
所以面,
所以为直线与平面的夹角,又,C正确；
对于D：
,又,
所以,D错误.
11．答案：AD
解析：以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
则,,,
设,,则P点坐标为；
对A：设平面的法向量为,,,
则,即,取,解得,,故；
又,,考虑到,则,
故,故,一定是异面直线,A正确；
对B：,,若,则,即,
解得,又,故不存在这样的点P,使得,B错误；
对C： ,取平面的法向量,
则,设直线与平面的夹角为,,
则,则,
,又,故,即直线与平面所成角的正切值的最大值为,C错误；
对D：在正方体中,过M,N的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大.
此时过的截面经过对称中心O,设截面交,,于中点,P也为中点,
所以P为的中点时,过M,N,P三点的平面截正方体所得截面面积最大,
取,,的中点为E,F,G,连接,,,,如下所示：
故此时截面为正六边形,其面积,故D正确.
12．答案：10
解析：因为,则,
即,即,
所以,因为,
由空间向量基本定理可知,在平面内存在一点D,
使得成立,即,所以,
即,则,又三棱锥的体积为15,
则.
13．答案：72
解析：①使用3种形状风铃,只能同,同,同.此时共有：种挂法,
②使用4种形状风铃,此时有两种情况；1）同,不同：直接将4种风铃挂到四个点上,全排列有：种,2）不同,同：此时与1）相同,共有种。共24+24+24=72种.
14．答案：
解析：以点D为坐标原点,以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,设,则,,
因为,故,即,由于平面,平面,故,所以的面积为,
而,
故,当时,取最小值,即S最小,
此时,,则,故,即
15．答案：（1）-6
（2）
（3）
解析：（1）因为,,所以,又因为,
所以.
（2）因为,,所以.
（3）因为,,所以,
所以,
当时,取得最小值,则最小值为.
16．答案：(1)30
(2)20
(3)28
解析：(1)将组成的三位数中所有偶数分为两类：
①若个位数为0,则共有 (个)符合题意的三位数；
②若个位数为2或4,则共有 (个)符合题意的三位数.
故共有(个)符合题意的三位数.
(2)将这些“凹数”分为三类：
①若十位上的数字为0,则共有 (个)符合题意的“凹数”；
②若十位上的数字为1,则共有 (个)符合题意的“凹数”；
③若十位上的数字为2,则共有 (个)符合题意的“凹数”.
故共有 (个)符合题意的“凹数”.
(3)将符合题意的五位数分为三类：
①若两个奇数数字在万位和百位上,则共有 (个)符合题意的五位数；
②若两个奇数数字在千位和十位上,则共有 (个)符合题意的五位数；
③若两个奇数数字在百位和个位上,则共有 (个)符合题意的五位数.
故共有 (个)符合题意的五位数.
17．答案：(1)见解析
(2)
(1)证明:依题意,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),可得,
,,,.由E为棱PC的中点,得,
所以,,故,所以.
(2),,,.
由点F在棱PC上,设,
故.由,得,,
则,解得,即,
设为平面FAB的法向量,
则,即
不妨令,可得为平面FAB的一个法向量.
易知向量为平面ABP的一个法向量,则.
由图可知,二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连接,,,因为M,N是底面半圆弧上的两个三等分点,
所以有,又因为,所以,都为正三角形,
所以,四边形是菱形,记与的交点为Q,Q为和的中点,因为,,所以三角形为正三角形,所以,
所以,因为P是半球面上一点,是半球O的直径,所以,
因为,,平面,所以平面.
（2）因为点P在底面圆内的射影恰在上,
由（1）知Q为的中点,为正三角形,
所以,所以底面,因为四边形是菱形,
所以,即,,两两互相垂直,
以点Q为坐标原点,,,分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
（2）则,,,,,
所以,,,设平面的一个法向量为
,则,所以,取,则,设直线与平面的所成角为,所以,故直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）n个不尽相异元素的全排列数
（2）2520
解析：（1）假定n个不尽相异元素的所有排列数有N种,在每种排列中,如果把相同的元素,
当成不相同的元素,则个元素的所有排列数可增加为种；
另一方面,n个不同的元素的全排列有种, 即.
即得n个不尽相异元素的全排列数.
（2）将比赛结果的胜、负、平看作三种元素,按题意,10场比赛的结果是五胜三负二平,
即是一个不尽相异元素的全排列,由（1）知,共有种可能情况.