2022-2023学年江苏省南通市海门中学高二下学期6月学情调研数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南通市海门中学高二下学期6月学情调研数学试题

一、单选题

1．满足等式的集合X共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】根据方程的实数根可得集合，则，由集合的并集与元素的关系即可得符合条件的所有集合.

【详解】解：方程的实数根有，解集构成的集合为，

即，则符合该等式的集合为，，，，

故这样的集合共有4个.

故选：D.

2．若复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出复数的共轭复数及模，即可计算作答.

【详解】复数，则，，

所以.

故选：A

3．若的展开式的各项系数和为8，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】直接令计算可得答案.

【详解】令得，解得

故选：C.

4．函数在上的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.

【详解】函数定义域为，

而，且，

即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；

而当时，，排除选项A，选项B符合要求.

故选：B

5．点P是正八边形ABCDEFGH内一点(包括边界)，且＝1，则的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，先求出在方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出的最大值即可.

【详解】连接AF，因为，故，

因为，故，

故，

以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则

在方向上的投影的取值范围为，结合向量数量积的定义可知，

等于的模与在方向上的投影的乘积，

又，∴的最大值为，

故选：C ．

6．某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，，，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，列式求解.

【详解】因至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，依题意，

得 即， 解得.

故选：B.

7．若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由导数的几何意义得出，两个函数有共公切点，且求得切点横坐标为，从而用表示出，引入新函数，再由导数求其最大值，从而得的范围．

【详解】由题意，由得，

，由得，

因此两个函数图象有公共切点，切点横坐标为，

所以，即，，

令，则，

时，，递增，时，，递减，

所以，显然时，，

所以，

故选：A．

8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O的位置，求出球半径作答.

【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理，

而平面，因此平面，

在等腰中，，则，，

令的外接圆圆心为，则平面，，

有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，

从而，四边形为平行四边形，，又，

因此球O的半径，

所以球的表面积.

故选：A

二、多选题

9．若，其中为实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据给定的条件，把写成，再利用二项式定理结合赋值法，逐项计算判断作答.

【详解】依题意，令，

对于A，，A错误；

对于B，是按展开的第4项系数，因此，B正确；

对于C，，，

所以，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC

10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（    ）

A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08

B．该零件是次品的概率为0.03

C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98

D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为

【答案】BC

【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D．

【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，

则，，，，，，

对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；

对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确；

对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；

对于，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为

，故D错误．

故选：BC．

11．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（    ）

A．为奇函数 B．周期为2

C． D．是奇函数

【答案】AD

【分析】由于的定义域为，且关于中心对称，可知是奇函数，又关于对称，由此即可求出函数的周期，根据函数的奇偶性及周期性判断各项的正误.

【详解】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；

因为关于直线对称，即，所以，

所以函数的周期，故B项错误；

，故C项错误；

，所以是奇函数，故D项正确.

故选：AD.

12．已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（    ）

A．若取得最小值，则

B．若，则平面

C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为

D．直线到平面的距离为

【答案】BCD

【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，对每个选项逐一分析即可．

【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示，

因为正四面体的长为2，

所以正方体的棱长为，

则，，，

因为点，分别为和的重心，

所以点的坐标为，点的坐标为

所以

设，则，

所以，

所以，

，

对于Ａ：因为，

，

所以，

当时，即，，取得最小值，故A错误；

对于B：若，则，

所以，

因为，，设平面的一个法向量为，

则，取，则，

因为，

所以平面，即平面，故B正确；

对于C：若平面，则，即，

，即，

设平面的一个法向量为，因为，，

则，取，则，

因为，

所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，

又因为点为等边三角形的重心，

所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，

设三棱锥外接球的半径为，

则，即，解得，

所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项正确；

对于D：因为点的坐标为，点的坐标为，

所以，

设平面的一个法向量为，

因为，，

所以，取，则，

因为，且直线平面，

所以直线平面，

所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，

则点到平面的距离，

即直线到平面的距离为，故D正确，

故选：BCD．

三、填空题

13．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为            .

【答案】8

【分析】根据正态分布的对称性即可求解.

【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，

由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.

故答案为：8

14．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有   种．（用数字作答）

【答案】144

【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，

有种情况，

②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，

有种情况，

则有种排法，

故答案为：144．

15．近年来，纳米品的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用.纳米晶体结构众多，如图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为n的几何体，则该结构的纳米晶个体的体积为          .

【答案】

【分析】先推出正四面体的棱长与体积的关系，然后根据此关系可求得结果.

【详解】设正四面体的棱长为，如图为的中心，则平面，

因为平面，所以，

因为正的边长为，所以，

所以，

所以正四面体的体积为，

因为此纳米晶个体是由棱长为的正四面体的四个顶点处各截去一个棱长为的正四面体，

所以该结构的纳米晶个体的体积为，

故答案为：

16．已知函数，点P，Q分别在函数的的图像上，若存在P，Q关于y轴对称，则实数a的取值范围是   .

【答案】

【分析】构造函数，将题给条件转化为存在零点，利用导数求得值域，列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.

【详解】函数关于y轴对称的函数为，

则与有公共点，

则方程有根，即有根，

令，

则在恒成立，

则为增函数，

又，

则值域为，由题意可得存在零点，

则有，解之得

则实数a的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知幂函数的定义域为R.

(1)求实数的值；

(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由幂函数定义求得参数值；

（2）由二次函数的单调性知对称轴在开区间上，再由指数函数性质，对数的定义得结论．

【详解】（1）由题意且，解得；

（2）由（1），的对称轴 ，

因为在上不单调，所以，

解得．

18．飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:

(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.

附:，其中.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；

(2)先求 再根据数表对应判断相关性即可，对比两次的值可以得出结论说明原因.

【详解】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ，

按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人.

随机变量的取值为:.

,

,

随机变量的分布列为

随机变量的数学期望.

（2）零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联.

根据列联表重的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.

列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.

所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化.

19．某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准(单位：元/日)，t为入住天数(单位：天)，以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图.

(1)令z＝ln x，由散点图判断与，哪个更合适于此模型(给出判断即可，不必说明理由)？并根据你的判断结果求回归方程；(，的结果精确到0.1)

(2)根据第（1）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？(100天销售额L＝100×入住率×收费标准x)

参考数据：，

【答案】(1)，

(2)150元/天

【分析】（1）由散点图判断出更适模型的回归方程，分别求出和，求出回归方程.

（2）写出100天销售额L的表达式，再根据导数求得最大值，即可得出收费标准.

【详解】（1）由散点图可知，散点并非均匀分布在一条直线的两侧，而是大致分布在一条曲线的两侧，不符合线性回归模型要求，∴更合适于此模型，

∵

∴

∴回归方程为：；

（2）由题意得，，

在中，

当时，解得：，

当即时，函数单调递减，

当即时，函数单调递增，

∴函数在处取最大值，

∴收费标准为150元/天时，100天销售额L最大.

20．某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：

一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．

方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；

方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．

当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．

(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；

(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．

【答案】(1)4

(2)40%．

【分析】（1）根据题意分析可得方式Ⅰ回答问卷的人数，利用二项分布的期望的公式运算求解；

（2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解

【详解】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，

每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率，

由题意可得：该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数，

所以X的数学期望．

（2）记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．

由（1）知，，．

∵，

由全概率公式，则，解得，

故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．

21．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且底面，点分别在棱、上·

(1)若P是的中点，证明：；

(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；

（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.

【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

设，其中，，

若是的中点，则，，，

于是，∴，即．

（2）由题设知，，，是平面内的两个不共线向量．

设是平面的一个法向量，

则，取，得．

又平面的一个法向量是，

∴，

而二面角的余弦值为，因此，

解得或（舍去），此时．

设，而，由此得点，，

∵平面，且平面的一个法向量是，

∴，即，解得，从而．

将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，

故四面体的体积．

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

22．已知函数.

(1)若函数为增函数，求的取值范围；

(2)已知.

(i)证明：；

(ii)若，证明：.

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解；

（2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可；

（ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果.

【详解】（1）∵，则，

若是增函数，则，

且，可得，

故原题意等价于对恒成立，

构建，则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，故，

∴的取值范围为.

（2）（i）由（1）可知：当时，单调递增，

∵，则，即，

整理得，

构建，则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递减，在上单调递增，

故，即，当且仅当时等号成立，

令，可得，

故；

（ii）∵，则，

可知有两个不同实数根，由（1）知，

可得，

同理可得，

构建，则，

当时，；当时，；当时，；

且，故对恒成立，

故在上单调递减，

∵，则，即，

且，则，故，

可得；

又∵，由（i）可得，即，

则，

且，则，

可得；

综上所述：.

可得，则

故.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形．

（2）构造新的函数．

（3）利用导数研究的单调性或最值．

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．