吉林省实验中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（学生版+教师版）

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数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的虚部为（ ）
A B. C. D.
2. 设D为ABC所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A. 若l与不平行，则l与m一定是异面直线
B. 若，则l与m可能垂直
C. 若，且，则l与m可能平行
D. 若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直
4. 在边长为1的菱形ABCD中，，将菱形沿对角线AC折起，使折起后，则二面角的余弦值为（ ）．
A B. C. D.
5. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
6. 已知直三棱柱中，，，，D是中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 圆锥中，为圆锥顶点，为底面圆的圆心，底面圆半径为3，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点，则面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. D. 6
8. 已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有唯一解，则或
D. 若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则点P的轨迹长为
B. 在线段上存在点P，使得直线PM与直线异面直线
C. 若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等
D. 过点P可以作4条直线与，AC均成角
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________.
13. 如图，已知四棱锥底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，平面，则的值为__________.
14. 已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积，求的周长.
16. 如图，已知在长方体中，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面
（1）求的长；
（2）求三棱锥.
18. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，.
（1）若，求的面积；
（2）证明：；
（3）若，求的面积的取值范围.
19. 如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点.
（1）求证：平面平面BDF；
（2）若，，.
（ⅰ）求二面角的余弦值；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.