吉林省吉林市第一中学等校2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题（学生版+教师版）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：一元函数的导数及其应用，计数原理，随机变量及其分布.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 30B. 40C. 50D. 70
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列数与组合数的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由排列数与组合数的计算公式，可得.
故选：D.
2. 随机变量的分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率之和为1即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
故选：A
3. 曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，即可求解.
【详解】由函数，可得，则，
即曲线在点处的切线的斜率为.
故选：B.
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 1B. 6C. 12D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于5，求出的值，即可求得的系数．
【详解】的展开式的通项公式为，
令的幂指数，求得，故展开式中的系数为，
故选：C
5. 已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定函数的图象，确定函数的单调性，再探讨导函数的正负及零点个数可得答案.
【详解】观察图象知，当时，先单调递减，再单调递增，
则先为负数，再为正数，
在当时，先单调递增，再单调递减，最后单调递增，
所以先为正数，再为负数，最后为正数，
故只有B选项符合.
故选：B.
6. 柜子里有6双不同的鞋子，从中取出两只，若取出的两只鞋子不是同一双，则不同的取法共（ ）
A. 30种B. 55种C. 60种D. 66种
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先从柜子里的6双不同的鞋子，从中取出两双，再从每一双中各取出一支鞋子，结合组合数的计算公式，即可求解.
【详解】先从柜子里的6双不同的鞋子，从中取出两双，再从每一双中各取出一支鞋子，
共有种不同的取法.
故选：C.
7. 小华在周六和周日的早餐后会从阅读和书法两项活动中选择一项参与，如果周六早餐后选择阅读，那么他周日早餐后也选择阅读的概率为，如果周六早餐后选择书法，那么他周日早餐后选择阅读的概率为，若小华周六早餐后选择阅读的概率为，则他周日早餐后选择阅读的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出事件，利用全概率公式求出答案.
【详解】设周日早餐后选择阅读为事件A，周六早餐后选择阅读为事件B，
则
故选：D
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，由的单调性和最值可证明，再构造，由的单调性和最值可证明，即可得出答案.
【详解】令，则.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，故.
令，则.
当时，，单调递减，
则，即.
故.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数，和即可得出答案.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为随机变量服从正态分布，是图象的对称轴，
由及正态分布的对称性得，
，故A错误，B正确；
因为，根据对称性，
，，
所以，故C正确，D错误；
故选：BC.
10. 某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是（ ）
A. 晚会节目不同的安排顺序共有种
B. 若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种
C. 若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种
D. 若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，利用全排列进行求解；B选项，先安排2个小品类节目，4个舞蹈类节目，再利用插空法进行求解；C选项，从4个舞蹈节目中选择1个安排在第一个节目，再安排歌唱类节目，最后安排剩余的5个节目，得到答案；D选项，将两个小品进行全排列，有种选择，再从第一个或最后一个节目选择1个位置，再将剩余的9个节目和9个位置进行全排列，故D错误.
【详解】A选项，晚会节目不同的安排顺序共有种，A正确；
B选项，若5个歌唱类节目各不相邻，先安排2个小品类节目，4个舞蹈类节目，有种选择，
6个节目共有7个空，选择5个空进行插空，故有种选择，
则晚会节目不同的安排顺序共有种，B错误；
C选项，若第一个节目为舞蹈类节目，
则从4个舞蹈节目中选择1个安排在第一个节目，有种安排，
最后一个节目不是歌唱类节目，则除了第一个和最后一个位置外，
剩余的9个位置选择5个安排歌唱类节目，有种选择，
剩余的5个节目，剩余的5个位置，进行全排列，有种选择，
则晚会节目不同的安排顺序共有种，C正确；
D选项，若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，
先将两个小品进行全排列，有种选择，再从第一个或最后一个节目选择1个位置，
再将剩余的9个节目和9个位置进行全排列，
则晚会节目不同的安排顺序共有种，D错误.
故选：AC
11. 已知为方程的根，为方程的根，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设，利用导数法研究函数单调性，结合零点存在定理得，从而，即可判断A，结合零点存在定理得，从而，即可判断B，由及得，进而，利用的单调性即可判断C，令，利用导数研究其单调性，利用单调性即可判断D.
【详解】设，
由知均在上单调递增.
由，可得，则，
整理得，A不正确；
由，可得，则，
从而，B正确；
由，可得．因为，所以，
则，即，即，则，C正确；
令，则，当时，单调递增，
因，且，所以，即，
从而，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题根据式子特征选择，从而达到构造出适当函数的目的.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的单调增区间为____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求出函数的增区间作答.
【详解】函数的定义域为，
，由得，即单调递增区间为.
故答案为：.
13. 某市教育局计划将甲、乙、丙、丁4名教师安排到三个乡镇支教，每个乡镇至少安排一名教师，则甲、乙不在同一个乡镇支教的安排方法共有________种．
【答案】30
【解析】
【分析】先计算四名老师中有两名分在一个乡镇的种数共有种，去掉甲乙被分在同一乡镇的情况共有种即可，即可利用间接法求解．
【详解】先计算四名老师中有两名分在一所乡镇的种数，
可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有种，
再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有种，
所以不同的安排方法种数是
故答案为：30．
14. 若不等式恒成立，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构造函数求出其最小值即可求解．
【详解】因为，所以，则．
令，则．当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故，即，
从而，当且仅当时，等号成立．
又，所以，则，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
且当时，．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式常用思路
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，求解不等式．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．（参考数据：）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）令二项式中的，，即可求解．
（2）令，即可相减求解.
【小问1详解】
令得，，
再令得，，所以，
【小问2详解】
令得，，
所以，
所以
16. 已知函数．
（1）若，求在上的最值；
（2）若在R上单调递减，求a的值．
【答案】（1）最大值为，最小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，进而求得函数的最值；
（2）求得，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由时，可得，则，
当时，；当时，；当时，，
所以函数在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
又由，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
【小问2详解】
解：由函数，可得，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
则满足，整理得且，解得.
17. 不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从袋子中随机取出4个小球．
（1）求取出的红球个数大于黄球个数的概率；
（2）记取出的红球个数为X，求X的分布列与期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】（1）先求出从9个球中取出4个球的基本事件总数，再求红球个数为3和4时的概率．
（2）由已知得随机变量的可能取值，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【小问1详解】
一个口袋里装有大小相同袋子中装有6个红球，3个黄球，现从中任意取出4个小球，基本事件总数，
其中红球个数大于黄球个数的基本事件个数，
红球个数大于黄球个数的概率是；
【小问2详解】
若变量为取出的四个小球中红球的个数，则的可能取值为1，2，3，4，
，，，
数学期望．
18. 小林开车从家出发去单位上班，路上共需要经过n个红绿灯路口，已知他在每个路口遇到红灯的概率均为．
（1）若，记小林上班路上遇到红灯的个数为X，求X的分布列与期望；
（2）若，记小林上班路上恰好遇到k（）个红灯的概率为，求当k取何值时，取得最大值．
【答案】（1）分布列见解析，期望
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率求出分布列及期望.
（2）利用独立重复试验的概率最大问题求解即得.
【小问1详解】
依题意，的所有可能取值为，，
则，
，
所以X的分布列为：
期望
【小问2详解】
依题意，，显然，
当时，，即，
整理得，即，
解得，而，于是，而，
所以当时，取得最大值
19 已知函数
（1）当时，求的零点；
（2）若恰有两个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）有且仅有一个零点
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，即可求解；
（2）当时，利用二阶导数研究函数的单调性可知最多只有一个极值点；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可知，和，，即可求解.
【小问1详解】
当时，等价于.
令，则，
所以在上单调递增.
因为，所以有且仅有一个零点.
【小问2详解】
由，得.
令，则.
若，则在上恒成立，故在上单调递增，
最多只有一个零点，则最多只有一个极值点，不符合题意；
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，从而.
显然，当时，，则，.
令，则，
设，则，
由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即恒成立，故单调递增.
当时，，即，
则.
因，所以，.
当时，，当时，，
则的单调递增区间为和，单调递减区间为，
则恰有两个极值点.
故当恰有两个极值点时，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(极值点)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.1
3
P
m
1
2
3
5
0
1
2
3