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吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（学生版+教师版 ）
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出题人：康乐 审题人：徐赢
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 由数据，，…，可得y关于x的线性回归方程为，若，则（ ）
A. 48B. 52C. 66D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】由，求出，由回归方程求出，可得.
【详解】，则有，y关于x的线性回归方程为，
有，又，则.
故选：C.
2. 为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（ ）
A. 样本中不愿意选该门课的人数较多
B 样本中男生人数多于女生人数
C. 样本中女生人数多于男生人数
D. 该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
【答案】B
【解析】
【分析】根据等高条形图直接判断各个选项即可.
【详解】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，
则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；
对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，
所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误.
故选：B．
3. 以下有关直线拟合效果的说法错误的是（ ）
A. 通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心
B. 相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱
C. 最小二乘法求回归直线方程，是求使最小的a，b的值
D. 决定系数R2越接近1，表明直线拟合效果越好
【答案】B
【解析】
【分析】根据线性回归直线的定义，相关指数，相关系数的定义判断．
【详解】线性回归直线一定经过样本的中心，A正确；
相关系数r的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，越接近于1，相关性越强，B错；
最小二乘法求回归直线方程，就是求使最小a，b的值，C正确；
越接近1，表明回归的效果越好，越接近于0，效果越差，D正确．
故选：B．
4. 某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为，， 现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从该厂产品中任意取出一件成品是优等品，则此件优等品可能来自甲、乙、丙三地，所以根据全概率公式的步骤及性质进行运算即可得出其概率.
【详解】设事件表示“药材来自甲地”，事件表示“药材来自乙地”，
事件表示“药材来自丙地”，事件表示“抽到优等品”，
则，，，
，
所以，
所以
，
所以从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是.
故选：D.
5. 已知随机变量服从正态分布，则下列选项不正确的是（ ）（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布的性质及原则，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】∵随机变量服从正态分布，
∴，
∴，故A正确；
，故B正确；
根据题意可得，，，
∴，故C正确；
，故D错误．
故选：D．
6. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项不正确的有（ ）
A. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望
C. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望
D. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件结合随机变量分布列、期望公式，逐项分析、计算判断作答.
【详解】选项A：的可能值：1，2，3，，，
，则，错误；
选项B：的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为，
因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此，，所以，正确；
选项C：的可能值：0，1，2，，，
，
则，正确；
选项D：的可能值：0，1，2，3，，，
，，
则，正确.
故选：A
7. 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（ ）
A. 当，时，
B. 时，有
C. 当，时，当且仅当时概率最大
D. 时，随着的增大而增大
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，利用二项分布概率公式计算可得A错误；若时，为奇数的概率和为偶数的概率相等，B正确；利用二项式最大项求法可得当时概率最大，C项正确；由可知当概率一定时，越大则的值越大，也增大，D正确.
【详解】由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，
对于A：当，可取，
所以，
因为，所以，，
所以，故A项错误；
对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确；
对于C：当，，此时，，
当取得概率最大时，即，
即，解得，故C项正确；
对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，
由二项式的均值公式，
当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确.
故选：A.
8. 已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，构造函数，利用导数研究单调性，比较出，构造函数，比较出，即可求解.
【详解】依题意，则.
令，故，
故当时，在上单调递增，
故，则.令，
则，故当时，在上单调递增，
则，则.
综上所述：.
故选：A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分：若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 设随机变量X服从二项分布，则
B. 已知随机变量X服从正态分布且，则
C. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用二项分布的概率公式求解判断；对于B，利用正态曲线的对称性求解；对于C，利用条件概率公式求解；对于D，利用期望和方差的性质判断.
【详解】因为随机变量服从二项分布，则，
所以A错误；
因为随机变量服从正态分布且，
所以，
所以，所以B正确；
因为事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，
所以由题意得，所以，所以C正确；
因为，所以D错误.
故选：BC.
10. 已知，则下列描述不正确的是（ ）
A. B. 除以5所得的余数是1
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B.
【详解】，
令，可得，再令，可得，
,故A错误．
由于，即展开式各项系数和系数和，
故，，故C错误．
由题意，，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确．
把函数两边同时对求导数，可得，
再令，可得，，可得，
故,故D错误．
故选：ACD．
11. 已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，，，则（ ）
A. 是奇函数B. 是周期函数
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性综合求解.
【详解】，
与均为偶函数，则为偶函数，
关于对称，又
关于点对称，------（1）
又，
，关于点对称，
------（2）
由（1）（2）可知，，
是周期函数，最小正周期是4.
综上所述，选项A错误，选项B正确；
，
令得，------（3）
令得，------（4）
将（4）代入（3）中得，故选项C正确；
，
令得，
令得，
，故选项D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，现有五名大学生决定去海南三亚、四川九寨沟、东北长白山旅游．若每人只去一个景点，每个景点至少有一人前往，其中甲、乙需要到同一景点，则不同的人员分配方案种数为__________．
【答案】36
【解析】
【分析】按照分组分配法进行计数即可.
【详解】由于甲、乙需要到同一景点，则该问题转化为四名大学生去三个不同的景点，每个景点至少有一人前往，则不同的人员分配方案种数为.
故答案为：.
13. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于10个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，10），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余9个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推. 假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的9个外卖店取单，设事件｛第k次取单恰好是从1号店取单｝，是事件发生的概率，显然，，则_____________，_____________（用含有n的代数式表示）；
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据事件的含义结合条件概率公式可求答案；
【详解】由题意;
，
，即是公比为，首项为的等比数列，
所以，即.
故答案为：；.
14. 已知m、n为实数，，若对恒成立，则的最小值为__________．
【答案】0
【解析】
【分析】先利用导数讨论的单调性，然后进行分离参数可得，构造，求其最值即可
【详解】由，可知，由题可知，
当时，恒成立，则单调递增，，不恒成立，
当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，
∴，
∵恒成立，∴，
∴，
∴，
令，则，
由，可得，由，可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，即的最小值为0．
故答案为：0.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务.
（1）若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答）
（2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答）
【答案】（1）68； （2）2520.
【解析】
【分析】（1）航天员要求有男性也有女性，先根据人数分类，再结合组合数公式用分步计数原理求解；
（2）先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室即可.
【小问1详解】
由题意，分成3种情况讨论：
有1名女性，3名男性，共有种选法，
有2名女性，2名男性，共有种选法，
有3名女性，1名男性，共有种选法，
所以共有16+36+16=68种选法，
即参加此次航天任务有男性也有女性的选法，共有68种选法；
【小问2详解】
由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室，
共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式.
16. 已知，若.
（1）求实数m的值；
（2）求；
（3）求的值.
【答案】（1）1 （2）56
（3）2
【解析】
【分析】（1）利用赋值法即可求解，
（2）利用二项式展开式的通项特征即可求解，
（3）令，即可利用赋值法求解.
【小问1详解】
因，
令，可得，解得；
【小问2详解】
由（1）可知：，为一次项系数，
由于，
故一次项为，所以，
【小问3详解】
由（1）可知：，且，
令，可得，
则，
所以.
17. 随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份.
（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由）
（2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01)
（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?
参考公式与数据:， ，，其中.
【答案】（1）模型②
（2）（i）；（ⅱ）预测12月份的销售量大约是13.9万件
【解析】
【分析】（1）根据散点图结合一次函数以及二次函数图象特征分析判断；
（2）（i）令，根据题中数据和公式求回归方程；
（ⅱ）令，代入回归方程运算求解即可.
【小问1详解】
由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，
结合图象故选模型②
【小问2详解】
（i）令，则，
可得，，
则，，
所以关于的回归方程为，
即关于的回归方程；
（ⅱ）令，可得，
预测12月份的销售量大约是13.9万件.
18. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
【答案】（1）填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
（2），
（3）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【小问1详解】
根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
【小问2详解】
因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得，
故，．
【小问3详解】
易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值为；
且服从超几何分布：
故所求分布列为
可得
19. 已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（3）设是函数的两个极值点，证明：
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导函数，可得切线斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线方程.
（2）求出导函数，把所求问题转化为在上有解，即有正零点，根据二次型函数零点分布列式求解即可.
（3）由题意是的两个根，则，将所证不等式转化为，令，构造函数，综合导数的运用，求单调性和最值，即可得证.
【小问1详解】
当时，，，
则，，
所以在处的切线方程为：，即.
【小问2详解】
，
因为函数存在单调递减区间，所以在上有解，
因为，设，则，
所以只需或，解得或，
故实数a的取值范围为.
【小问3详解】
由题意可知，，
因为有两个极值点，
所以是的两个根，则，
所以
，
所以要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
0
1
2
3
出题人：康乐 审题人：徐赢
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 由数据，，…，可得y关于x的线性回归方程为，若，则（ ）
A. 48B. 52C. 66D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】由，求出，由回归方程求出，可得.
【详解】，则有，y关于x的线性回归方程为，
有，又，则.
故选：C.
2. 为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（ ）
A. 样本中不愿意选该门课的人数较多
B 样本中男生人数多于女生人数
C. 样本中女生人数多于男生人数
D. 该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
【答案】B
【解析】
【分析】根据等高条形图直接判断各个选项即可.
【详解】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，
则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；
对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，
所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误.
故选：B．
3. 以下有关直线拟合效果的说法错误的是（ ）
A. 通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心
B. 相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱
C. 最小二乘法求回归直线方程，是求使最小的a，b的值
D. 决定系数R2越接近1，表明直线拟合效果越好
【答案】B
【解析】
【分析】根据线性回归直线的定义，相关指数，相关系数的定义判断．
【详解】线性回归直线一定经过样本的中心，A正确；
相关系数r的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，越接近于1，相关性越强，B错；
最小二乘法求回归直线方程，就是求使最小a，b的值，C正确；
越接近1，表明回归的效果越好，越接近于0，效果越差，D正确．
故选：B．
4. 某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为，， 现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从该厂产品中任意取出一件成品是优等品，则此件优等品可能来自甲、乙、丙三地，所以根据全概率公式的步骤及性质进行运算即可得出其概率.
【详解】设事件表示“药材来自甲地”，事件表示“药材来自乙地”，
事件表示“药材来自丙地”，事件表示“抽到优等品”，
则，，，
，
所以，
所以
，
所以从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是.
故选：D.
5. 已知随机变量服从正态分布，则下列选项不正确的是（ ）（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布的性质及原则，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】∵随机变量服从正态分布，
∴，
∴，故A正确；
，故B正确；
根据题意可得，，，
∴，故C正确；
，故D错误．
故选：D．
6. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项不正确的有（ ）
A. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望
C. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望
D. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件结合随机变量分布列、期望公式，逐项分析、计算判断作答.
【详解】选项A：的可能值：1，2，3，，，
，则，错误；
选项B：的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为，
因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此，，所以，正确；
选项C：的可能值：0，1，2，，，
，
则，正确；
选项D：的可能值：0，1，2，3，，，
，，
则，正确.
故选：A
7. 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（ ）
A. 当，时，
B. 时，有
C. 当，时，当且仅当时概率最大
D. 时，随着的增大而增大
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，利用二项分布概率公式计算可得A错误；若时，为奇数的概率和为偶数的概率相等，B正确；利用二项式最大项求法可得当时概率最大，C项正确；由可知当概率一定时，越大则的值越大，也增大，D正确.
【详解】由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，
对于A：当，可取，
所以，
因为，所以，，
所以，故A项错误；
对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确；
对于C：当，，此时，，
当取得概率最大时，即，
即，解得，故C项正确；
对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，
由二项式的均值公式，
当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确.
故选：A.
8. 已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，构造函数，利用导数研究单调性，比较出，构造函数，比较出，即可求解.
【详解】依题意，则.
令，故，
故当时，在上单调递增，
故，则.令，
则，故当时，在上单调递增，
则，则.
综上所述：.
故选：A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分：若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 设随机变量X服从二项分布，则
B. 已知随机变量X服从正态分布且，则
C. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用二项分布的概率公式求解判断；对于B，利用正态曲线的对称性求解；对于C，利用条件概率公式求解；对于D，利用期望和方差的性质判断.
【详解】因为随机变量服从二项分布，则，
所以A错误；
因为随机变量服从正态分布且，
所以，
所以，所以B正确；
因为事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，
所以由题意得，所以，所以C正确；
因为，所以D错误.
故选：BC.
10. 已知，则下列描述不正确的是（ ）
A. B. 除以5所得的余数是1
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B.
【详解】，
令，可得，再令，可得，
,故A错误．
由于，即展开式各项系数和系数和，
故，，故C错误．
由题意，，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确．
把函数两边同时对求导数，可得，
再令，可得，，可得，
故,故D错误．
故选：ACD．
11. 已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，，，则（ ）
A. 是奇函数B. 是周期函数
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性综合求解.
【详解】，
与均为偶函数，则为偶函数，
关于对称，又
关于点对称，------（1）
又，
，关于点对称，
------（2）
由（1）（2）可知，，
是周期函数，最小正周期是4.
综上所述，选项A错误，选项B正确；
，
令得，------（3）
令得，------（4）
将（4）代入（3）中得，故选项C正确；
，
令得，
令得，
，故选项D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，现有五名大学生决定去海南三亚、四川九寨沟、东北长白山旅游．若每人只去一个景点，每个景点至少有一人前往，其中甲、乙需要到同一景点，则不同的人员分配方案种数为__________．
【答案】36
【解析】
【分析】按照分组分配法进行计数即可.
【详解】由于甲、乙需要到同一景点，则该问题转化为四名大学生去三个不同的景点，每个景点至少有一人前往，则不同的人员分配方案种数为.
故答案为：.
13. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于10个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，10），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余9个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推. 假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的9个外卖店取单，设事件｛第k次取单恰好是从1号店取单｝，是事件发生的概率，显然，，则_____________，_____________（用含有n的代数式表示）；
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据事件的含义结合条件概率公式可求答案；
【详解】由题意;
，
，即是公比为，首项为的等比数列，
所以，即.
故答案为：；.
14. 已知m、n为实数，，若对恒成立，则的最小值为__________．
【答案】0
【解析】
【分析】先利用导数讨论的单调性，然后进行分离参数可得，构造，求其最值即可
【详解】由，可知，由题可知，
当时，恒成立，则单调递增，，不恒成立，
当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，
∴，
∵恒成立，∴，
∴，
∴，
令，则，
由，可得，由，可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，即的最小值为0．
故答案为：0.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务.
（1）若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答）
（2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答）
【答案】（1）68； （2）2520.
【解析】
【分析】（1）航天员要求有男性也有女性，先根据人数分类，再结合组合数公式用分步计数原理求解；
（2）先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室即可.
【小问1详解】
由题意，分成3种情况讨论：
有1名女性，3名男性，共有种选法，
有2名女性，2名男性，共有种选法，
有3名女性，1名男性，共有种选法，
所以共有16+36+16=68种选法，
即参加此次航天任务有男性也有女性的选法，共有68种选法；
【小问2详解】
由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室，
共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式.
16. 已知，若.
（1）求实数m的值；
（2）求；
（3）求的值.
【答案】（1）1 （2）56
（3）2
【解析】
【分析】（1）利用赋值法即可求解，
（2）利用二项式展开式的通项特征即可求解，
（3）令，即可利用赋值法求解.
【小问1详解】
因，
令，可得，解得；
【小问2详解】
由（1）可知：，为一次项系数，
由于，
故一次项为，所以，
【小问3详解】
由（1）可知：，且，
令，可得，
则，
所以.
17. 随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份.
（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由）
（2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01)
（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?
参考公式与数据:， ，，其中.
【答案】（1）模型②
（2）（i）；（ⅱ）预测12月份的销售量大约是13.9万件
【解析】
【分析】（1）根据散点图结合一次函数以及二次函数图象特征分析判断；
（2）（i）令，根据题中数据和公式求回归方程；
（ⅱ）令，代入回归方程运算求解即可.
【小问1详解】
由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，
结合图象故选模型②
【小问2详解】
（i）令，则，
可得，，
则，，
所以关于的回归方程为，
即关于的回归方程；
（ⅱ）令，可得，
预测12月份的销售量大约是13.9万件.
18. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
【答案】（1）填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
（2），
（3）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【小问1详解】
根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
【小问2详解】
因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得，
故，．
【小问3详解】
易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值为；
且服从超几何分布：
故所求分布列为
可得
19. 已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（3）设是函数的两个极值点，证明：
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导函数，可得切线斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线方程.
（2）求出导函数，把所求问题转化为在上有解，即有正零点，根据二次型函数零点分布列式求解即可.
（3）由题意是的两个根，则，将所证不等式转化为，令，构造函数，综合导数的运用，求单调性和最值，即可得证.
【小问1详解】
当时，，，
则，，
所以在处的切线方程为：，即.
【小问2详解】
，
因为函数存在单调递减区间，所以在上有解，
因为，设，则，
所以只需或，解得或，
故实数a的取值范围为.
【小问3详解】
由题意可知，，
因为有两个极值点，
所以是的两个根，则，
所以
，
所以要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
0
1
2
3
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