2024年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学中考三模数学试题（学生版+教师版）

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本试卷共6页，22题，满分100分，考试用时90分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案（作图题除外）；不准使用涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分 选择题
一．单选题（本大题共10小题,每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义进行解答即可.
【详解】解：的相反数是
故选：A
2. 如图的展开图中，能围成三棱柱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】一般三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形，进而得出答案．
【详解】解：把选项中的平面展开图经过折叠后．
A选项展开图能围成四棱锥．
B选项展开图能围成圆柱体．
C选项展开图能围成圆锥
因此A、B、C都不能围成三棱柱．
选项展开图能围成三棱柱．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了几何图形初步，涉及到三棱柱表面展开图，需注意上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，其中具备一定的空间想象能力是解决本题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法及乘法、幂的乘方及合并同类项，根据同底数幂的除法及乘法、幂的乘方及合并同类项的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，则错误，故不符合题意；
B、，则错误，故不符合题意；
C、与不能合并，则错误，故不符合题意；
D、，则正确，故符合题意，
故选D．
4. 学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分．9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的特征数据是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分，9个有效评分，与11个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
不变的特征数据是：中位数．
故选：B．
【点睛】此题考查了数据分析初步，涉及到平均数、众数、中位数以及方差，熟知相关数据特征代表的意义是解决本题的关键．
5. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】关于x轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查的是关于x轴对称的两个点的坐标关系，掌握“关于x轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．”是解题的关键．
6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，
则．
故选B
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A. 72B. 68C. 75D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】由作图法可得MN是AB的垂直平分线；利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠A=∠DBA=36°，进而求得∠BDC，最后由三角形内角和为180°便可解答．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，外角的性质，三角形的内角和定理；解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
8. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，，在中，利用解直角三角形得，则利用进而可求解，根据题意构造直角三角是的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，如图：
由题意得：，，
在中，，
，
，
若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过，
故选C．
9. 月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，过点作于点，由垂径定理得，证明四边形是矩形，得到米，米，设该圆的半径为米，然后根据题意列方程组即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
则米，，
，
，
四边形是矩形，
米，米，
设该圆的半径为米，
根据题意得：，
解得：，
即此月亮门的半径为米，
故选：C．
10. 如图，在中，为延长线上一点，为上一点，．若，，则的长是（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用平行四边形的性质结合已知证得，利用相似三角形的性质得到，进而求出的长，最后求出问题得解．
【详解】解：如图
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴，（舍去）．
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查是相似三角形的判定和性质，合理的选择恰当的三角形相似，并学会利用相似三角形的性质求解线段是解决问题的关键．
第二部分 非选择题
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：＝________．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式，即可解答．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法．
12. 在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出红球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】由红球的个数及球的总数，根据概率的计算公式即可．
【详解】解：共有球个，红球有2个，
因此摸出的球是红球的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率的计算公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．熟知概率的计算公式是解此类题型的关键．
13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图，
在中，，，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14. 如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是_______．
【答案】9
【解析】
【分析】作轴于点，与，证明，求出的长度，进而求出点的坐标，设向上平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出的值．
【详解】解：作直线轴于点，直线与，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴
，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
，，
，
设向上平移个单位，
则，则，
又点和在该比例函数图象上，
，
解得，
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的变化平移，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识．
15. 如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则______．

【答案】
【解析】
【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，
【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：．
作于点M，于点N，则，
过点G作于点P，

∵于点M，
∴，
设，则，，
又∵，，
∴，，，
∵，即，
∴，，
在中，，，
设，则
∴
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
化简得：，
∴，
∴
故答案是：．
【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
三．解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】先分别计算负整数指数幂与零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、特殊角的余弦值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先计算括号内的分式减法，然后把除法转化为乘法进行化简，最后代入求值．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则时解题的关键．
18. 疫情防控工作需要，深圳市某学校为积极响应市政府加强防疫宣传的号召，组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习．并进行了一次全校2000名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现这100份答卷中考试成绩（分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：______；______；______；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）在绘制的扇形统计图中，这一分数段对应的扇形，其圆心角的度数为______°；
（4）该校对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1∶3∶6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．
【答案】（1），，；
（2）见解析； （3）126；
（4）72人
【解析】
【分析】（1）根据频数分布表可直接进行求解；
（2）由（1）可直接进行求解；
（3）由题意可直接进行求解；
（4）由题意可得获得二等奖所占百分比，然后问题可求解．
【小问1详解】
解：，，．
故答案为：10，25，0.25；
【小问2详解】
：如图，即为补充完整的频数分布直方图；
【小问3详解】
解：这一分数段所占的圆心角度数为；
故答案为：126；
【小问4详解】
解：∵（人）
∴估算全校获得二等奖的学生人数为72人．
【点睛】本题主要考查频数分布表、频数分布直方图，熟练掌握频数分布直方图是解题的关键．
19. 如图，点I是的内心，的延长线与的外接圆交于点D，与交于点E，延长、相交于点F，的平分线交于点G．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，即可得出结论；
（2）证明，利用相似比得到，则，再计算即可．
【小问1详解】
证明：∵点I是的内心，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解；∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵点I是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及平行线的判定、内接四边形的性质，熟练掌握三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个角是解题的关键．
20. 港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过吨的禁止通行，现有一辆自重吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由个部件和个部件组成，这种设备必须成套运输，已知个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等．
（1）求个部件和个部件的质量各为多少吨？
（2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？
【答案】（1）个部件质量为吨，个部件质量为吨；
（2）一次可以运送套这种设备．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及解不等式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键．
（1）设个A部件质量为吨，个部件质量为吨，根据个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据内地货车载重后总质量不超过吨列出不等式，求解不等式即可．
【小问1详解】
设个A部件质量为吨，个部件质量为吨
解得
答：个部件质量为吨，个部件质量为吨
【小问2详解】
设一次可以运送套这种设备，
为整数
答：一次最多可以运送套这种设备
21. 【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．

（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．

①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．
【答案】（1）3；（2）①；②；（3）
【解析】
【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出；
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案；
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：；
（2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②把代入得：，
或（舍去），
∴米；
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，
放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为，
把代入得：，
解得：（舍去）或，
∴喷淋头N距离喷淋头M至少米．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式．
22. 【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ．
【答案】（1）成立；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可；
（2）根据正方形性质得出即可；
（3）如图3，在上取一点M,使，过M作于N，，根据四边形为菱形，且，证出，，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可．
【详解】解：（1）结论成立
理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴，
又∵，
∴,
∴
∵
∴
故结论成立；
（2）证明：如图2，
∵四边形是正方形，
∴,
∵，
∴,
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）线段的长为cm
理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N，
又∵四边形为菱形,且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，，
∴
∵,
∴，
∴
∴
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴cm，
∴，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键．分数段（分）
频数（人）
频率
0.1
18
0.18
35
0.35
12
0.12
合计
100
1