广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

这是一份广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每题3分, 共30分)
1. 如图是小才国庆期间的微信支付情况，微信账单中的表示的意思是（ ）
A. 发出元红包B. 余额元
C. 收入元D. 抢到元红包
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用负数表示相反意义的量，根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．
【详解】解：由题意可知，表示的意思是发出100元红包．
故选：A．
2. 九（1）班选派4名学生参加演讲比赛，他们的成绩如下：
则如表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（ ）
A. 84，86B. 84，85C. 82，86D. 82，87
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均成绩可得B的成绩，再求出中位数，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：B的成绩＝85×4﹣86﹣82﹣88＝84，
∴4人的成绩从小到大排列为82、84、85、86、88，
∴中位数为85，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求中位数，根据平均数求相关数据，熟练掌握平均数和中位数的求法是解题的关您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高键．
3. 如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0，则整数x的值是（ ）
A. 0B. 1C. -1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0列出不等式组，然后求出x的取值范围，即可求出x的值.
【详解】解：根据正方形的展开图可知，1对-2，-3对3x-1,4对2x-3，
正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0，
则，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为：，
∵x为整数，
∴x=1，
故选B.
【点睛】本题是对不等式组的考查，熟练掌握不等式组的解法是解决本题的关键.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算依次判断即可．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
5. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行线的性质可知，再利用三角形外角的定义和性质即可求解．
【详解】解：由题意知，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握两直线平行、同位角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
6. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
7. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，过作轴于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性质可得．
【详解】解：如图，过作轴于，

∵菱形的顶点A的坐标为，．
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，
∴；
故选A
【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解B的坐标是解本题的关键．
8. 下列哪一个是假命题（ ）
A. 五边形外角和为360°
B. 圆的切线垂直于经过切点的半径
C. （3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D. 抛物线y＝x2﹣4x+2020的对称轴为直线x＝2
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的外角和定理、切线的性质定理、关于y轴对称的点的坐标特征、二次函数的对称轴是确定方法判断即可．
【详解】A．五边形外角和为360°，是真命题；
B．圆的切线垂直于经过切点的半径，是真命题；
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，﹣2），原命题是假命题；
D．抛物线y＝x2﹣4x+2020的对称轴为直线x＝2，是真命题；
故选：C．
【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉性质定理．
9. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．根据反比例函数与一次函数的图象，可知，所以函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据两个交点为和，可得，即，可得函数的图象过点，不过原点，即可判断函数的大致图象．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第一、三象限，则，
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，
由图象可知，反比例函数与一次函数的图象有两个交点和，
∴，
∴，
∴，
∴对于函数，当时，，
∴函数的图象过点，
∵反比例函数与一次函数的图象有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，
函数的图象开口向上，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴当时，，
∴函数的图象不过原点，
∴符合以上条件的只有A选项．
故选：A．
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时， 点B到达C， 当点A运动到F时，点B到达D； 若，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③当与相切时，；④当时，
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．根据切线的性质和勾股定理以及垂径定理即可得到结论．
【详解】解：如图，由题意可得：
，
∴，故①正确；
，故②错误；
如图，当与相切时，，
∴，
∴，故③正确；
当时，如图，
∴，
∴，，
∴，故④错误；
正确的有2个，
故选：B．
二、填空题(每题3分,共15分)
11. 小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：随机挑选一本书共有4种等可能的结果，其中拿到《红星照耀中国》这本书的结果有1种，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
12. 若，，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行分解，然后把，代入，即可求解．
【详解】解：
，
当，时，原式．
故答案为：-9．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．
13. 如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作垂直平分线，菱形性质，勾股定理；延长交于点，交于点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接着计算出，，然后计算出，最后利用勾股定理计算的长．
【详解】解：延长交于点，交于点，如图，

四边形为菱形，
，，
，
由作法得垂直平分，
，，
，
在中，，
，
，
在中，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
14. 如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为________．

【答案】
【解析】
【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．
【详解】解：如图，作轴，垂足为．

由题意，在中，，，
．
．
．
又绕点顺时针旋转至的位置，
．
．
又点是的中点，
．
在中，
，
．
，．
又在上，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．
【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
三、解答题(共55分)
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先约分，再算分式的减法以及除法运算，进行化简，再代入求值，即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
当==2时，原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及特殊角三角函数值，是解题的关键．
17. 为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类:艺术、文学、科普、传记、其他．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图(每位同学必选且只选最喜欢的一类)，根据图中提供的信息，解答下列问题:
（1）这次调查的学生共有________名，喜欢“文学”类的学生有_______名；
（2）在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是________°，“其他”类所对应的百分比是_______；
（3）如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是_________．
【答案】（1）300；75
（2）90；16% （3）
【解析】
【分析】（1）根据喜欢“艺术”类的学生人数和所占百分比可进行求解；
（2）根据（1）中的数据可直接进行求解；
（3）根据列表法可进行求解概率．
【小问1详解】
解：由统计图可知：这次调查的学生共有（名）；喜欢“文学”类的学生有（名）；
故答案为300；75；
【小问2详解】
解：由（1）可知：“科普”类所对应的圆心角的度数是；
“其他”类所对应的百分比是；
故答案为90；16％；
【小问3详解】
解：由题意可列表如下：
∴在这五类图书中任选两类进行调查共有20种，其中恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的共有2种，则恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形与条形统计图及概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率的求解是解题的关键．
18. 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．

（1）在图①中，的面积为；
（2）在图②中，的面积为5
（3）在图③中，是面积为的钝角三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点；
（3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可．
【小问1详解】
解：如图所示，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
【小问2详解】
由网格可知，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点，
答案不唯一，
【小问3详解】
如图所示，
作，过点作，交于格点，

由网格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．
19. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．

（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）场景A中随变化的函数关系为，场景B中随变化的函数关系为
（2）场景B
【解析】
【分析】（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中随变化的函数关系为，将代入，进而可得；
（2）场景A中当时，；场景B中，将代入，解得，,判断作答即可．
【小问1详解】
解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，
将，代入，得，
解得，
∴；
场景B中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，
∴；
【小问2详解】
解：场景A中当时，；
场景B中，将代入，得，解得，
∵，
∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20. 学科综合
我们在物理学科中学过，光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
小明为了观察光线折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但不在细管所在直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，．

（1）求入射角的度数．
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：， ，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角；
（2）根据直角三角形的边角关系求出、，再根据锐角三角函数的定义求出、即可．
【小问1详解】
解：如图，设法线为，
则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴入射角约为；
【小问2详解】
在中，，，
，
在中，，，
，
光线从空气射入水中的折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提．
21. 综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.

（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离.
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）.
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）.
（4）归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.
【答案】（1）1 （2）
（3）
（4），越小
（5）0
【解析】
【分析】（1）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果；
（2）是等腰直角三角形，进而求得，进一步得出结果；
（3）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果；
（4）比较大小得出结果；
（5）圆的半径相等，从而得出结果．
【小问1详解】
解：图1，
，，
，
，
是等边三角形，
，
∵C为的中点，为半径，
∴，
；
【小问2详解】
解：如图2，

，，，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图3，

，，
是等边三角形，
，
在中，
，
，
故答案为：，；
【小问4详解】
解：，
，则其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小；
故答案为：；越小．
【小问5详解】
解：圆的半径相等，
，
故答案为：0．
点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系．
22. 探究函数的图象和性质，探究过程如下：

（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下
其中，________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
（3）在图2中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】22. 2，图见解析，图象关于轴对称
23. 或或
24. 是定值，
【解析】
【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即可；
（2）利用，进行求解即可．
（3）根据题意，求出抛物线的顶点坐标，点的坐标，进而求出直线的解析式，设直线的解析式为，联立抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到，得到，分别联立直线和直线的解析式，求出的坐标，利用锐角三角形函数求出的长，再进行求解即可得出结论．
【小问1详解】
解：当时，，
∴，
根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下：
由图象可知：图象关于轴对称；
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵点，点，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时：，
解得：，
∴或，
当时：，
解得：，
∴；
综上：或或；
【小问3详解】
是定值；
∵，当时，，解得：，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，，
∵点是点关于抛物线顶点的对称点，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
设直线：，
联立和，得：，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴，
联立，，得：，
联立，，得：，
如图：∵关于对称，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作，过点作，
则：，
∴，
∴
；
∴与的和为定值：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形．解题的关键是掌握描点法画函数图象，利用数形结合的思想进行求解．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．选手
A
B
C
D
平均成绩
中位数
成绩/分
86
■
82
88
85
■
艺术
文学
传记
科普
其他
艺术
/
√
√
√
√
文学
√
/
√
√
√
传记
√
√
/
√
√
科普
√
√
√
/
√
其他
√
√
√
√
/