广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题

这是一份广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
3．下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列命题：
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．
它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移3个单位，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣1，3）
7．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（　　）

A．48° B．36° C．30° D．24°
8．若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．3﹣a＜3﹣b B．＜ C．|a|＜|b| D．﹣3a＞﹣3b
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．
10．等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（　　）
①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
11．当x　 　时，分式无意义．
12．已知a+b＝5，ab＝6，则a2b+ab2的值为 　 　．
13．定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中偏度值”为 　 　．

14．已知关于x的不等式组有且仅有三个整数解，则a的取值范围是　 　．
15．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中AB＝AC＝AG＝FG，AF、AG分别与BC交于D、E两点，将△ACE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABH，①BH⊥BC；②DA平分∠HDE；③若BD＝3，CE＝4．则AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝S△ADE，其中正确的序号有 　 　．

三、解答题（16题6分，17题9分，18题6分，19题6分，20题9分，21题9分，22题10分，共55分）
16．（1）因式分解：﹣8ax2+16axy﹣8ay2；
（2）解不等式组．
17．（1）解分式方程：＝+1；
（2）先化简（﹣）÷，然后从2，0，﹣1三个数中选一个合适的数代入化简后的结果中进行求值．
18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
（3）求线段CA在旋转过程中扫过的面积．

19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，若AD＝BD，求∠A的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC．求证：△EBC是等边三角形．

20．某企业购买了一批A、B型国产芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该企业用3120元购买A型芯片的数量与用4200元购买B型芯片的数量相等．
（1）求该企业购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200枚，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低费用是多少元？
21．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？

22．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为　 　．



参考答案
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、结果不是积的形式，故选项错误；
C、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），正确；
D、结果不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
【点评】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
3．下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质作答．
解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
4．下列命题：
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．
它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可．
解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；
③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；
它们的逆命题是真命题的个数是3个．
故选：B．
【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题．
5．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作DE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DP＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ODQ．
解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝4，
∴S△ODQ＝×3×4＝6．
故选：D．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移3个单位，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣1，3）
【分析】求出两次变换后点A的对应点的坐标即可．
解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝2，
∴点A的坐标为（3，0），
将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A的对应点坐标为（1，﹣2），
再向左平移3个单位长度，
则变换后点A的对应点坐标为（﹣2，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查旋转变换，平移变换，解题的关键是正确寻找点A位置，属于中考常考题型．
7．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（　　）

A．48° B．36° C．30° D．24°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD＝24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCB＝24°，然后可算出∠ACF的度数．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝24°，
∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．3﹣a＜3﹣b B．＜ C．|a|＜|b| D．﹣3a＞﹣3b
【分析】根据不等式的基本性质判断A，B，D选项；通过举特例判断C选项．
解：A选项，∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴3﹣a＞3﹣b，故该选项不符合题意；
B选项，当c+1≤0时，不等式不成立，故该选项不符合题意；
C选项，例如a＝﹣2，b＝1，|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．
【分析】过D作DF⊥BC于F，过A作AG⊥BC于G，通过判定△CAG≌△DCF（AAS），即可得到CG＝DF，再根据等腰直角三角形的性质，用勾股定理进行计算即可得到BD的长．
解：如图所示，过D作DF⊥BC于F，过A作AG⊥BC于G，则∠AGC＝∠CFD＝90°，
又∵∠B＝45°，
∴∠BDF＝∠BAG＝45°，DF＝BF，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD﹣∠BAG＝∠CDA﹣∠B，
即∠CAG＝∠DCF，
又∵CD＝CA，
∴△CAG≌△DCF（AAS），
∴CG＝DF，
∵CA＝EA，AG⊥CE，
∴CG＝CE＝4＝2，
∴DF＝2＝BF，
Rt△BDF中，BD＝＝2，
故选：A．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
10．等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（　　）
①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝S△ABC＝3，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S△ODE＝OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长＝BC+DE＝6+DE＝6+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是等边△ABC的内心和外心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，①正确；
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××62＝3，③错误；
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝6+3＝9，④正确．
故选：B．

【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
11．当x　＝﹣3　时，分式无意义．
【分析】分式无意义则分式的分母为0，据此求得x的值即可．
解：∵分式无意义，
∴x+3＝0，
解得x＝﹣3．
故答案为：＝﹣3．
【点评】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．已知a+b＝5，ab＝6，则a2b+ab2的值为 　30　．
【分析】先把代数式分解因式，再整体代入求值．
解：∵a+b＝5，ab＝6，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝6×5
＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入求解是解题的关键．
13．定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中偏度值”为 　　．

【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出△ABC中AB边上的高和该边上的中点到CD的距离，再求它们的比值即可．
解：作CD⊥AB于点D，CE为△ACB的中线，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵＝，
∴，
解得CD＝，
∴BD＝＝＝，
∵CE为Rt△ACB斜边AB上的中线，AB＝5，
∴BE＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣＝，
即点E到CD的距离为，
∴△ABC中AB边的“中偏度值”为：＝，
故答案为：．

【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出AB边上的高和该边上的中点到高的距离．
14．已知关于x的不等式组有且仅有三个整数解，则a的取值范围是　≤a＜1　．
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解集是整数，可得答案．
解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴此不等式组的整数解为1、0、﹣1，
又x＞2a﹣3，
∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得：≤a＜1，
故答案为：≤a＜1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
15．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中AB＝AC＝AG＝FG，AF、AG分别与BC交于D、E两点，将△ACE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABH，①BH⊥BC；②DA平分∠HDE；③若BD＝3，CE＝4．则AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝S△ADE，其中正确的序号有 　①②③　．

【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ABH和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAH＝∠CAE，然后求出∠EAF＝45°，判断出①正确；通过证明△ADH≌△ADE，根据全等三角形的性质可得DH＝DE，∠ADH＝∠ADE，判断出②正确；利用勾股定理得到③正确；根据角的度数得到∠ADE＝∠BEA，然后利用“角角边”证明△ABD和△ACE全等，根据三角形面积公式即可求得，判断出④错误．
解：∵AB＝AC＝AG＝FG，
∠BAC＝∠AGF＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝∠FAG＝45°，
BC＝AB，
由旋转性质可知△ABH≌△ACE，
∴∠ABH＝∠ACE＝45°，BH＝CE，
，AH＝AE，∠BAH＝∠CAE，
∠HBD＝∠ABH+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴BH⊥BC，故①正确；
∵∠BAH＝∠CAE，
∴∠BAH+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠FAG＝45°，
即∠DAH＝45°，
∴∠DAH＝∠DAE，
在△ADH和△ADE中，
，
∴△ADH≌△ADE（SAS），
DH＝DE，∠ADH＝∠ADE，
∴AD平分∠HDE，
故②正确；
在Rt△BDH中，BD2+BH2＝DH2，
∵BH＝CE，DH＝DE，
∴BD2+BH2＝DH2，
当BD＝3，CE＝4时，
根据勾股定理得：32+42＝DE2，
解得：DE＝5，
∴BC＝BD+DE+CE＝12，
BC＝AB＝12，
∴AB＝6，
故③正确；
∵BA＝BE，∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABC）＝67.5°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠BEA＝67.5°，
∴∠ADE＝∠BEA，
∠ADB＝180°﹣∠ADE，
∠AEC＝180°﹣∠BEA，
∴∠ADB＝∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE，
∵BD2+CE2＝DE2，
∴DE＝

2
BD，
设A到BC边距离为h，
S△ABD＝，S△ADE＝，
∴，
∴S△ABD＝S△ADE，
故④错误；
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
三、解答题（16题6分，17题9分，18题6分，19题6分，20题9分，21题9分，22题10分，共55分）
16．（1）因式分解：﹣8ax2+16axy﹣8ay2；
（2）解不等式组．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：（1）原式＝﹣8a（x2﹣2xy+y2）
＝﹣8a（x﹣y）2；
（2），
由①得：x＞﹣4，
由②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为x≥﹣1．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法及因式分解的方法是解本题的关键．
17．（1）解分式方程：＝+1；
（2）先化简（﹣）÷，然后从2，0，﹣1三个数中选一个合适的数代入化简后的结果中进行求值．
【分析】（1）根据解分式方程的方法可以解答此方程；
（2）先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从2，0，﹣1三个数中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
解：（1）＝+1，
去分母，得：3x＝2x+3x+3，
移项及合并同类项，得：﹣2x＝3，
系数化为1，得：x＝﹣1.5，
检验：当x＝﹣1.5时，3x+3≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣1.5；
（2）（﹣）÷
＝•
＝
＝，
∵x（x﹣2）≠0，x+2≠0，
∴x≠0，2，﹣2，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、解分式方程，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和解分式方程的方法，注意分式方程要验根．
18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
（3）求线段CA在旋转过程中扫过的面积．

【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点A2的坐标；
（3）由勾股定理得CA＝5，再代入扇形面积公式即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C即为所求，A2（6，﹣2）；

（3）由勾股定理得CA＝5，
∴线段CA在旋转过程中扫过的面积为＝．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，若AD＝BD，求∠A的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC．求证：△EBC是等边三角形．

【分析】（1）根据角平分线和等腰三角形的性质求得∠A＝∠DBA＝∠DBC，由∠A+∠DBA+∠DBC＝90°，即可求得∠A＝30°；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质得出CE＝BE，由∠EBC＝60°，即可证得△EBC是等边三角形．
【解答】（1）解：∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠DBA＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠DBA+∠DBC＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）证明：∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴CE＝BE，
∵∠A＝30°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
20．某企业购买了一批A、B型国产芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该企业用3120元购买A型芯片的数量与用4200元购买B型芯片的数量相等．
（1）求该企业购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200枚，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低费用是多少元？
【分析】（1）设该企业购买的B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为（x﹣9）元，由题意：该企业用3120元购买A型芯片的数量与用4200元购买B型芯片的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买a枚A型芯片，则购买（200﹣a）枚B型芯片，由题意：购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，列出一元一次不等式，求出40≤a≤50，再设总费用为y元，则y＝26a+35（200﹣a）＝﹣9a+7000，然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）设该企业购买的B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为（x﹣9）元，
依题意得：，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．
∴x﹣9＝26．
答：该企业购买的A型芯片的单价为26元，B型芯片的单价为35元．
（2）设购买a枚A型芯片，则购买（200﹣a）枚B型芯片，
依题意得：，
解得：40≤a≤50，
设总费用为y元，
则y＝26a+35（200﹣a）＝﹣9a+7000，
∵﹣9＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当a＝50时，y的最小值＝﹣9×50+7000＝6550（元），
此时200﹣a＝200﹣50＝150．
答：当购买A型芯片50枚，B型芯片150枚时，总费用最低，最低为6550元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？

【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．
答：AP的长为2．

（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．

（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．


【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．
22．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为　HG＝CF+BD　．

【分析】（1）根据一线三等角可得∠BCD＝∠EAC，再由AAS证明△AEC≌△CDB即可；
（2）如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，根据一线三等角得：∠FAE＝∠GFH，证明△HGF≌△FEA（AAS），可得结论；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明△BDM是等边三角形，得∠DBM＝60°，再证明△ACE≌△CBM（ASA）和△HGF≌△FEA（AAS），可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠BCD+∠ACE＝120°，
∵∠AEC＝60°，
∴∠ACE+∠EAC＝120°，
∴∠BCD＝∠EAC，
∵∠AEC＝∠BDC＝60°，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，
由（1）知：△AEC≌△CDB，

∴BD＝CE，
∵∠AEF＝∠AFH＝60°，
∴∠AFE+∠FAE＝∠AFE+∠GFH＝60°，
∴∠FAE＝∠GFH，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝EF，
∴CF＝EF+CE＝HG+BD；
（3）解：HG＝CF+BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED＝60°，连接AE，在l上取一点M，使BM＝BD，

∵∠BDC＝60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠DBM＝60°，
∴∠CBM+∠ABM＝∠ABM+∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBM，
∵∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ANC＝∠DNB，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠CBM，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACE+∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBM（ASA），
∴CE＝BM＝BD，
∵∠AFH＝120°，
∴∠AFC+∠GFH＝∠AFC+∠FAE＝60°，
∴∠GFH＝∠FAE，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝FE，
∵EF＝CF+CE
∴HG＝CF+BD．
故答案为：HG＝CF+BD．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了一线三等角模型的基本型﹣﹣K型全等和变式模型的应用，主要是通过角与角之间的关系，外角关系以及内角和关系来推导等角关系，是对几何证明基本功的很好检验，是一道很好的综合问题．