2024年甘肃省张掖市甘州区中考数学诊断试卷（含解析）

这是一份2024年甘肃省张掖市甘州区中考数学诊断试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）温度由﹣4℃上升7℃是（ ）
A．3℃B．﹣3℃C．11℃D．﹣11℃
2．（3分）据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为（ ）
A．4.57×106B．45.7×106C．4.57×107D．0.457×107
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x2+x3＝x5
C．x3•x4＝x7D．2x3﹣x3＝1
4．（3分）如图，直线l1∥l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，则∠2等于（ ）
A．56°B．34°C．44°D．46°
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则满足条件的实数b的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
6．（3分）分式的值为零，则x的值为（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．任意实数
7．（3分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A．6tan18°cmB．cmC．6sin18°cmD．6cs18°cm
8．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（ ）
A．1B．3C．5D．45
9．（3分）《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？大意是：3束上等禾的产量再加6斗，相当于10束下等禾的产量；5束下等禾的产量再加1斗，相当于2束上等禾的产量．问上等禾、下等禾每束的产量各为几斗？
设上等禾每束产量x斗，下等禾每束产量y斗，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图①，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ）
A．B．2cmC．1cmD．3cm
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）分解因式：4﹣4m2＝ ．
12．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠D的度数为 ．
14．（4分）若一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是 （写出一个即可）．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，折痕为DE．若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，则∠AED＝ ，AB＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）：（本大题共6小题，共46分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．
20．（8分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cs82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cs80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
21．（10分）春节来临之际，佳乐超市开展“翻牌抽奖”活动．如图是四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，且正面分别对应着“龙，花，竹，鸟”的剪纸照片．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．
（1）若顾客小辰随机翻开一张，翻到“A．龙”的概率是 ；
（2）这四张卡片分别对应价值为30元，25元，20元，15元的4件奖品，若顾客小欣先随机翻开一张卡片，然后从剩下的三张中再随机翻开一张，请用列表或画树状图的方法，求小欣两次所获奖品总值不低于45元的概率．
22．（10分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人；
（2）表中m的值为 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
四、解答题（二）：（本大题共5小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
23．（8分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
24．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x+的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x+的自变量x的取值范围是 ．
（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，请完成：
①当y＝﹣时，x＝ ．
②写出该函数的一条性质 ．
③若方程x+＝t有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，延长AB至点D，使得∠DCB＝∠CAB，点E为的中点，连接CE交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若CD＝4，，求CF•CE．
26．（10分）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四边形ABCD面积的最大值．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x＝m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年甘肃省张掖市甘州区中考数学诊断试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）温度由﹣4℃上升7℃是（ ）
A．3℃B．﹣3℃C．11℃D．﹣11℃
【分析】根据题意列出算式，再利用加法法则计算可得．
【解答】解：温度由﹣4℃上升7℃是﹣4+7＝3（℃），
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则．
2．（3分）据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为（ ）
A．4.57×106B．45.7×106C．4.57×107D．0.457×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：457万＝4570000＝4.57×106．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x2+x3＝x5
C．x3•x4＝x7D．2x3﹣x3＝1
【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断．
【解答】解：A、（﹣x2）3＝﹣x6，此选项错误；
B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
C、x3•x4＝x7，此选项正确；
D、2x3﹣x3＝x3，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则．
4．（3分）如图，直线l1∥l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，则∠2等于（ ）
A．56°B．34°C．44°D．46°
【分析】依据l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．
【解答】解：如图：
∵l1∥l2，∠1＝46°，
∴∠3＝∠1＝46°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣46°＝44°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则满足条件的实数b的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．据此得出关于b的方程，求出b的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4＝0，
解得b＝±2．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，关键是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系．
6．（3分）分式的值为零，则x的值为（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．任意实数
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
|x|﹣3＝0且x+3≠0，
解得，x＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
7．（3分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A．6tan18°cmB．cmC．6sin18°cmD．6cs18°cm
【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度．
【解答】解：由已知图形可得：tan18°＝，
木桩上升的高度h＝6tan18°cm．
故选：A．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得直角三角形，根据三角函数求解．
8．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（ ）
A．1B．3C．5D．45
【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1，
∵△ABC的周长为15，
∴△DEF的周长为5．
故选：C．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键．
9．（3分）《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？大意是：3束上等禾的产量再加6斗，相当于10束下等禾的产量；5束下等禾的产量再加1斗，相当于2束上等禾的产量．问上等禾、下等禾每束的产量各为几斗？
设上等禾每束产量x斗，下等禾每束产量y斗，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设上等禾每束产量x斗，下等禾每束产量y斗，等量关系：3束上等禾的产量+6斗＝10束下等禾的产量；5束下等禾的产量+1斗＝2束上等禾的产量．
【解答】解：根据题意知：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
10．（3分）如图①，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ）
A．B．2cmC．1cmD．3cm
【分析】由图②得，点P运动过程中，△ACP的面积的最大值为3cm2，此时点P在点E上，由题得△ACE为等边三角形，根据面积公式求出AC，进而求出边长．
【解答】解：由图②得，点P运动过程中，△ACP的面积的最大值为3cm2，
此时点P在点E上，由题得△ACE为等边三角形，
即，
∴AC＝2cm，
∵∠B＝120°，BA＝BC，
∴AB：AC＝1：，
∴AB＝2cm．
故答案为：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象的分析，等边三角形面积公式是解题关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）分解因式：4﹣4m2＝ 4（1+m）（1﹣m） ．
【分析】先提取公因式4，再用平方差公式因式分解．
【解答】解：原式＝4（1﹣m2）
＝4（1+m）（1﹣m）．
故答案为：4（1+m）（1﹣m）．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，考核学生的计算能力，解题的关键是把1看作12．
12．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是 x≥3且x≠4 ．
【分析】根据二次根式的意义可知：x﹣3≥0，根据分式的意义可知：x﹣4≠0，就可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0且x﹣4≠0，
解得：x≥3且x≠4．
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠D的度数为 20° ．
【分析】先利用平角定义求出∠BOC的度数，然后再利用圆周角定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝40°，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．（4分）若一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是 ﹣1 （写出一个即可）．
【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出k＜0，b＜0，随便写出一个小于0的b值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象所过的象限找出它的系数的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练的运用一次函数图象与系数的关系是关键．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，折痕为DE．若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，则∠AED＝ 60° ，AB＝ ．
【分析】根据将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，可得∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，即知∠AED＝60°，在Rt△ADE中，tan60°＝，可得AE＝＝A'E，在Rt△A'BE中，BE＝A'E＝，故AB＝AE+BE＝．
【解答】解：如图：
∵将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，
∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，
∵∠AED+∠A'ED+∠A'EB＝180°，
∴∠AED＝60°，
在Rt△ADE中，tan∠AED＝，
∴tan60°＝，
∴AE＝，
∴A'E＝，
在Rt△A'BE中，∠A'EB＝∠AED＝60°，
∴∠EA'B＝30°，
∴BE＝A'E＝，
∴AB＝AE+BE＝+＝，
故答案为：60°，．
【点评】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用含30°角的直角三角形三边关系．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 π﹣ ．
【分析】先利用勾股定理求出DB′＝＝，再根据S阴＝S扇形BDB′﹣S△DBC﹣S△DB′C，计算即可．
【解答】解：连接DB′，BD．
∵△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，
DB′＝＝＝，
∴S阴＝﹣×1×1﹣×1×2＝π﹣．
故答案为π﹣．
【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（一）：（本大题共6小题，共46分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）计算：．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝3+1﹣2+2+3
＝7．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（6分）解不等式组．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤2，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（8分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cs82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cs80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
【分析】利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、BF的长．计算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长．
【解答】解：在Rt△ACE中，
∵tan∠CAE＝，
∴AE＝＝≈≈21（cm）
在Rt△DBF中，
∵tan∠DBF＝，
∴BF＝＝≈＝40（cm）
∵EF＝EA+AB+BF≈21+90+40＝151（cm）
∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF
∴四边形CEFH是矩形，
∴CH＝EF＝151cm
答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．
【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．
21．（10分）春节来临之际，佳乐超市开展“翻牌抽奖”活动．如图是四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，且正面分别对应着“龙，花，竹，鸟”的剪纸照片．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．
（1）若顾客小辰随机翻开一张，翻到“A．龙”的概率是 ；
（2）这四张卡片分别对应价值为30元，25元，20元，15元的4件奖品，若顾客小欣先随机翻开一张卡片，然后从剩下的三张中再随机翻开一张，请用列表或画树状图的方法，求小欣两次所获奖品总值不低于45元的概率．
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次所获奖品总值不低于45元的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】（1）解：∵一共有四张卡片，每张卡片被翻开的概率相同，
∴顾客小辰随机翻开一张，翻到“A．龙”的概率是，
故填：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小欣两次所获奖品总值不低于45元的结果数有8种，
∴小欣两次所获奖品总值不低于45元的概率为．
【点评】本题主要考查了列树状图法或列表法求解概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 23 人；
（2）表中m的值为 77.5 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【分析】（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，
故答案为：23；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，
∴m＝＝77.5，
故答案为：77.5；
（3）甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩大于中位数77.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400×＝224（人）．
【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
四、解答题（二）：（本大题共5小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
23．（8分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
【分析】（1）将P点坐标代入y＝，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点P（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）如图所示：
矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．
24．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x+的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x+的自变量x的取值范围是 x≠0 ．
（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，请完成：
①当y＝﹣时，x＝ ﹣4或﹣ ．
②写出该函数的一条性质 函数图象在第一、三象限且关于原点对称 ．
③若方程x+＝t有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 t＜﹣2或t＞2 ．
【分析】（1）由x在分母上，可得出x≠0；
（2）代入x＝、3求出m、n的值；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）①代入y＝﹣，求出x值；
②观察函数图象，写出一条函数性质；
③观察函数图象，找出当x+＝t有两个不相等的实数根时t的取值范围（亦可用根的判别式去求解）．
【解答】解：（1）∵x在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当x＝时，y＝x+＝；
当x＝3时，y＝x+＝．
故答案为：；．
（3）连点成线，画出函数图象．
（4）①当y＝﹣时，有x+＝﹣，
解得：x1＝﹣4，x2＝﹣．
故答案为：﹣4或﹣．
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③∵x+＝t有两个不相等的实数根，
∴t＜﹣2或t＞2．
故答案为：t＜﹣2或t＞2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象、正比例函数的性质以及正比例函数图象，解题的关键是：（1）由x在分母上找出x≠0；（2）代入x＝、3求出m、n的值；（3）连点成线，画出函数图象；（4）①将﹣化成﹣4﹣；②观察函数图象找出函数性质；③观察函数图象找出t的取值范围．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，延长AB至点D，使得∠DCB＝∠CAB，点E为的中点，连接CE交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若CD＝4，，求CF•CE．
【分析】（1）根据等腰三角形性质，同角的余角相等得出∠DCB+∠OCB＝90°，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）利用直角三角形半径关系可求出AC，BC，再根据圆周角定理以及相似三角形的性质得出CE•CF＝AC•CB，代入计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：∵∠DAC＝∠DCB，∠D＝∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴＝＝＝tan∠A＝tan∠CEB＝，
∵CD＝4，
∴BD＝CD＝2，AD＝2CD＝8，
∴AB＝AD﹣BD＝6，
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2BC，
∵AC2+CB2＝AB2，
即 （2CB）2+CB2＝62，
∴BC＝，AC＝，
∵点E为 的中点，
∴∠ACF＝∠ECB，
又∵∠CAF＝∠CEB，
∴△ACF∽△ECB，
∴，
∴CE•CF＝AC•CB
＝
＝．
【点评】本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
26．（10分）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE 是 （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（1）根据旋转的性质得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论；
（2）如图2，将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，先证明D、C、G三点共线，根据旋转的性质可知：S四边形ABCD＝S△BDG＝8，根据三角形的面积公式可得BD的长；
（3）如图3，作辅助线：将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，先证明A、D、E三点共线，则S四边形ABCD＝S△BDE，当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，从而得结论．
【解答】解：（1）由旋转得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴四边形ADCE是等补四边形．
故答案为：是；
（2）如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，
∴∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCG＝180°，
∴D、C、G三点共线，
∵S四边形ABCD＝8，
∴S△BDG＝8，
∴BD2＝8，
∴BD＝4（负值舍去）；
（3）∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，如图3，
∴BD＝BE＝5，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD，
∵∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝180°，
∴A、D、E三点共线，
∴S四边形ABCD＝S△BDE，
当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，为S△BDE＝＝．
则四边形ABCD面积的最大值为．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x＝m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；
（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；
（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC＝∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+x﹣2，
∴当y＝0时，得x1＝1，x2＝﹣4，当x＝0时，y＝﹣2，
∵抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线l的函数解析式为y＝；
（2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，
由（1）可得，
AO＝4，OC＝2，∠AOC＝90°，
∴AC＝2，
∴OD＝，
∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD＝∠CAO，
∴△AOD∽△ACO，
∴，
即，得AD＝，
∵EF⊥x轴，∠AOC＝90°，
∴EF∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴，
解得，AF＝，DF＝，
∴OF＝4﹣＝，
∴m＝﹣，
当m＝﹣时，y＝×（）2+×（﹣）﹣2＝﹣，
∴EF＝，
∴DE＝EF﹣FD＝；
（3）存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，
理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如图2所示，
∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2，
∴tan∠OAC＝，tan∠OCB＝，AC＝2，
∴∠OAC＝∠OCB，
∵∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，∠GAM＝∠OAC﹣∠BAG，
∴∠BAP＝∠GAM，
∵点G（0，﹣1），AC＝2，OA＝4，
∴OG＝1，GC＝1，
∴AG＝，，即，
解得，GM＝，
∴AM＝＝＝，
∴tan∠GAM＝＝，
∴tan∠PAN＝，
设点P的坐标为（n，n2+n﹣2），
∴AN＝4+n，PN＝n2+n﹣2，
∴，
解得，n1＝，n2＝﹣4（舍去），
当n＝时，n2+n﹣2＝，
∴点P的坐标为（，），
即存在点P（，），使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG．
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
4
…
y
…
﹣
﹣
﹣2
﹣
﹣
m
2
n
…
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
4
…
y
…
﹣
﹣
﹣2
﹣
﹣
m
2
n
…