2024年甘肃省中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年甘肃省中考数学试卷【含解析】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1B．﹣4C．4D．1
2．如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．若∠A＝55°，则∠A的补角为（ ）
A．35°B．45°C．115°D．125°
4．计算：＝（ ）
A．2B．2a﹣bC．D．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
7．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A．y＝3xB．y＝4xC．y＝3x+1D．y＝4x+1
8．近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016﹣2023年中国农村网络零售额情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016﹣2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
9．敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，16），那么有序数对记为（12，17）对应的田地面积为（ ）
A．一亩八十步B．一亩二十步
C．半亩七十八步D．半亩八十四步
10．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ ．
12．（4分）已知一次函数y＝﹣2x+4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）．
13．（4分）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ ．
14．（4分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
15．（4分）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
16．（4分）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 cm2.（结果用π表示）
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：×．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
20．（8分）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则△ABC的周长为 cm．
21．（10分）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
22．（10分）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔简AH的高度．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈．）
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图；
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m＝ ，n＝ ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax+b的图象，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，4）．过点B（0，2）作x轴的平行线分别交y＝ax+b与y＝（x＞0）的图象于C，D两点．
（1）求一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的表达式；
（2）连接AD，求△ACD的面积．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，＝，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
26．（10分）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
27．（12分）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
2024年甘肃省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1B．﹣4C．4D．1
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣4．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2．如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【解答】解：该几何体的主视图是．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．若∠A＝55°，则∠A的补角为（ ）
A．35°B．45°C．115°D．125°
【分析】如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，据此即可求得答案．
【解答】解：若∠A＝55°，则∠A的补角为180°﹣55°＝125°，
故选：D．
【点评】本题考查余角和补角，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．计算：＝（ ）
A．2B．2a﹣bC．D．
【分析】根据“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”，再进行约分即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
故选：A．
【点评】本题考查分式的加减法，掌握“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”是正确解答的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据矩形性质得OA＝OB＝OC＝OD，再根据∠ABD＝60°得△OAB为等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，由此可得AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠ABD＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴OC＝OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】先根据圆周角定理求出∠O的度数，再由AC⊥OB得出∠CDO＝90°，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝35°，
∴∠O＝2∠A＝70°，
∵AC⊥OB，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠O＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
7．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A．y＝3xB．y＝4xC．y＝3x+1D．y＝4x+1
【分析】由长方形的面积公式，用含x和y的代数式分别表示出“回文”的桌面的总面积和各部分图形的面积，根据“各部分图形的面积之和＝总面积”列方程并将y表示为x的函数即可．
【解答】解：由图可知，“回文”的桌面的总面积为4x（x+y），其中每张长桌的桌面面积为xy，每张中桌的桌面面积为3x2，每张小桌的桌面面积为2x2．
根据题意，得2xy+2×3x2+3×2x2＝4x（x+y），
解得y＝4x．
故选：B．
【点评】本题考查函数关系式，掌握长方形的面积公式是解题的关键．
8．近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016﹣2023年中国农村网络零售额情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016﹣2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
【分析】根据统计图中的数据，逐一判断各选项即可．
【解答】解：A、由统计图可知，2023年中国农村网络零售额为24900亿元，是2016﹣2023年中总额最高的；
B、由统计图可知，2016年中国农村网络零售额为8945亿元，是2016﹣2023年中总额最低的；
C、由统计图可知，2016﹣2023年中，中国农村网络零售额是持续增加的；
D、由统计图可知，中国农村网络零售额从2021年开始突破了20000亿元，而非2020年；
故选：D．
【点评】本题考查的是折线统计图，根据题目找出有用信息是解题的关键．
9．敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，16），那么有序数对记为（12，17）对应的田地面积为（ ）
A．一亩八十步B．一亩二十步
C．半亩七十八步D．半亩八十四步
【分析】根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．
【解答】解：根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
∴（12，17）对应的是半亩八十四步，
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．
10．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，根据菱形的性质，得∠AOB＝∠BOC＝90°，继而得到，当点P运动到BC中点时，PO的长为，解得即可．
【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，
∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴，
当点P运动到BC中点时，PO的长为，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
12．（4分）已知一次函数y＝﹣2x+4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是 ﹣2（答案不唯一） （写出一个合理的值即可）．
【分析】把x＝3代入y＝﹣2x+4求出y值即可得出结论．
【解答】解：当x＝3时，y＝﹣2×3+4＝﹣2；
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
13．（4分）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ 8 ．
【分析】根据m*n＝mn﹣mn，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵m*n＝mn﹣mn，
∴（﹣2）*2
＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
14．（4分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 A（答案不唯一） 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可答案．
【解答】解：白方如果落子于点A（答案不唯一）的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．
故答案为：A（答案不唯一）．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
15．（4分）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 能 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【分析】根据题意求出当x＝2时，y的值，若此时y的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之不能，据此求解即可．
【解答】解：∵CD＝4m，B（6，2.68），
∴6﹣4＝2，
在y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6中，
当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出范围是解题的关键．
16．（4分）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 3000π cm2.（结果用π表示）
【分析】利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC即可求解．
【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
＝
＝
＝3000π（cm2），
故答案为：3000π．
【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：×．
【分析】先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可．
【解答】解：原式＝3﹣3
＝0．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和化为最简二次根式，合并同类二次根式．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2（x﹣2）＜x+3，得：x＜7，
由＜2x，得：x＞，
所以不等式组解集为＜x＜7．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，然后代入a＝2，b＝﹣1，求出答案即可．
【解答】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b
＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b
＝（4ab+2b2）÷2b
＝2a+b，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×2﹣1＝3．
【点评】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键．
20．（8分）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则△ABC的周长为 6 cm．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明△ABC是等边三角形，解直角三角形求出AB即可．
【解答】解：（1）如图，点A，B，C即为所求．
（2）设CM交AB于点E．
∵＝＝，
∴AB＝CB＝AC，∠AOB＝120°，
∵＝，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，AE＝EB＝AO•sin60°＝2×＝（cm），
∴AB＝2（cm），
∴△ABC的周长为6cm．
故答案为：6．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，切线的性质，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（10分）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用概率公式求出甲获胜的概率即可；
（2）根据树状图计算乙获胜的概率，比较作出判断即可．
【解答】解：（1）画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，
∴甲获胜的概率为；
（2）不公平．
由树状图可知，乙获胜的结果有4种，
∴乙获胜的概率为，
∵，
∴游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22．（10分）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔简AH的高度．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈．）
【分析】连接DF交AH于点G，根据题意可得：CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH，然后设DG＝x m，则FG＝（182﹣x）m，分别在Rt△ADG和Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：连接DF交AH于点G，
由题意得：CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH，
设DG＝x m，
∴FG＝DF﹣DG＝（182﹣x）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG•tan45°＝x（m），
在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，
∴AG＝FG•tan53°≈（182﹣x）m，
∴x＝（182﹣x），
解得：x＝104，
∴AG＝104m，
∴AH＝AG+GH＝104+1.6＝105.6（m），
∴风电塔简AH的高度约为105.6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图；
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m＝ 8.98 ，n＝ 9.2 ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 丙 发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义进行求解即可；
（2）根据方差的意义即可得出答案；
（3）分别从平均数、中位数两方面进行分析，即可得出答案．
【解答】解：（1）甲的平均数是：m＝×（9.2+8.8+9.3+8.4+9.5）＝9.1，
把这些数从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4，
中位数n＝9.1；
故答案为：9.1，9.1；
（2）由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲发挥的稳定性更好．
故答案为：甲；
（3）应该推荐甲，理由如下：
甲的中位数和平均数都比乙的大，且甲的成绩稳定性比乙好，所以应该推荐甲选手．
【点评】本题考查的是折线统计图，算术平均数，中位数和方差，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax+b的图象，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，4）．过点B（0，2）作x轴的平行线分别交y＝ax+b与y＝（x＞0）的图象于C，D两点．
（1）求一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的表达式；
（2）连接AD，求△ACD的面积．
【分析】（1）根据平移可得b＝3，再将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题．
（2）分别求出点D和点C的坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）因为函数y＝ax+b的图象由函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度得到，
所以b＝3．
将点A坐标代入一次函数解析式得，
2a+3＝4，
解得a＝，
所以一次函数解析式为y＝．
将点A坐标代入反比例函数解析式得，
k＝2×4＝8，
所以反比例函数解析式为y＝．
（2）将y＝2代入y＝得，
，
解得x＝﹣2，
所以点B的坐标为（﹣2，2）．
将y＝2代入y＝得，
x＝4，
所以点D的坐标为（4，2），
所以CD＝4﹣（﹣2）＝6，
所以．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，＝，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
【分析】（1）连接BD，OC＝OD，证明OB垂直平分CD，得出∠AFD＝90°，证明CD∥BE，得出∠ABE＝∠AFD＝90°，说明AB⊥BE，即可证明结论；
（2）根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB＝90°，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出，证明∠AEB＝∠ABC，得出．
【解答】（1）证明：连接BD，OC，OD，
∵，
∴BC＝BD，
∵OC＝OD，
∴点O、B在CD的垂直平分线上，
∴OB垂直平分CD，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADC＝∠AEB，
∴CD∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴AB＝2×2＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，
∴，
∴，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠AEB＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴．
【点评】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
26．（10分）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明△ABE≌△BCD（AAS），即可得出DE+CD＝AE；
（2）证明Rt△AEM≌Rt△FEN（HL），即可得出；
（3）证明△HAE≌△GEF（AAS），即可得出．
【解答】解：（1）DE+CD＝AE，理由如下：
∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠CBD＝∠C+∠CBD＝90°，
∴∠ABE＝∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴BE＝CD，AE＝BD，
∴DE＝BD﹣BE＝AE﹣CD，
∴DE+CD＝AE；
（2），理由如下：
过E点作EM⊥AD于点M，过E点作EN⊥CD于点N，如图，
∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，BD平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴，
∴，
∵EN⊥CD，EM⊥AD，
∴EM＝EN，
∵AE＝EF，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN（HL），
∴AM＝NF，
∵EM＝EN，EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC＝90°，
∴四边形EMDN是正方形，
∴ED是正方形EMDN对角线，MD＝ND，
∴，NF＝ND﹣DF＝MD﹣DF，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3），理由如下：
过A点作AH⊥BD于点H，过F点作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，如图，
∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF，
∴∠AHE＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠AEH+∠HAE＝∠AEH+∠FEG＝90°，
∴∠HAE＝∠FEG，
∵AE＝AF，
∴△HAE≌△GEF（AAS），
∴HE＝FG，
∵在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，
∴∠FDG＝∠BDC＝45°，
∴∠DFG＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵∠ADB＝45°，AH⊥HD，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键．
27．（12分）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由中点坐标公式得点C（1，），即可求解；
（3）①当y＝时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，则x＝2+（不合题意的值已舍去），即可求解；
②过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣2）2+2，
将点A的坐标代入上式得：0＝a×（4﹣2）2+2，
解得：a＝﹣，
抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式为y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，y＝﹣（x﹣2）2+2，
由中点坐标公式得点C（1，），
当x＝1时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，
则CE＝﹣＝；
（3）①由（2）知，C（1，），
当y＝时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，
则x＝2+（不合题意的值已舍去），
即点F（2+，）；
②设点D（m，0），则点F（m+1，），
过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，
则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，
由定点F′、D的坐标得，直线DF′的表达式为：y＝3（x﹣m），
将点B的坐标代入上式得：2＝3（2﹣m），
解得：m＝，
则点F′（，3），点D（，0），
则BD+BF最小值为：DF′＝＝2．
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到点的对称性、平行四边形的性质等，确定BD+BF＝DF′为最小是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/20 7:28:29；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433选手
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