2022-2023学年甘肃省张掖市甘州区育才中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省张掖市甘州区育才中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列手机软件图标中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是

 

A.  B.
C.  D.

3.  如图，在锐角中，，分别是，边上的高，且，相交于一点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是(    )

A.  B.  C. 或 D.

5.  下列能用平方差公式计算的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图所示，货车匀速通过隧道隧道长大于货车长时，货车从进入隧道至离开隧道的时间与货车在隧道内的长度之间的关系用图象描述大致是(    )

 

A.  B.
C.  D.

7.  一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字，，，，，，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，下列条件中，不能判断的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，中，，，，边的垂直平分线交于点，则的周长是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  实数满足，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  人体中，红细胞的平均半径是米，则用科学记数法可表示为______ 米

12.  计算：的结果是______ ．

13.  已知，则的余角的度数是______ ．

14.  如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由______．

 

15.  如图，地上画了两个半径分别为和的同心圆假设用小石子投中圆形区域上的每一点是等可能的若投中圆的边界或没有投中圆形区域，则重投次，任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率为______ ．

16.  若，，则 ______ ．

17.  如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则______．

18.  如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为_________．

 

三、解答题（本大题共10小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
现有三个村庄、、，位置如图所示，线段、、分别是连通两个村庄之间的公路．先要修一个水站，使水站不仅到村庄、的距离相等，并且到公路、的距离也相等，请在图中作出水站的位置．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

20.  本小题分
计算：
；
；
；
．

21.  本小题分
化简求值：，其中．

22.  本小题分
如图，平分，，求证：．

23.  本小题分

如图，在和中，，，求证：．

24.  本小题分
如图，转盘被等分成六个扇形区域，并在上面依次写上数字：、、、、、转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
当停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？
请你用这个转盘设计一个游戏六等分扇形不变，使自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为，并说明你的设计理由．设计方案可用图示表示，也可以用文字表述

25.  本小题分
已知：点、、、在同一条直线上，，，求证：．

26.  本小题分
在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的几组对应值．

上述表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
写出弹簧长度与所挂物体质量的关系式．
当所挂重物为时，弹簧有多长？不挂重物呢？
若弹簧的长度为时，所挂重物的质量是多少？在弹簧的允许范围内．

27.  本小题分
学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
如图，是由边长为，的正方形和长为、宽为的长方形拼成的大正方形，由图可得等式：______ ；
知识迁移：
如图是用个小正方体和个小长方体拼成的一个大正方体，类比，用不同的方法表示这个大正方体的体积，则可得等式：______ ；
已知，，，利用中所得等式，求代数式的值．

 

28.  本小题分
如图，点、分别是等边边、上的动点端点除外，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同连接、交于点．
求证：≌；
当点、分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
如图，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交于点，则和还全等吗？说明理由；

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：不是轴对称图形，故错误；
B.不是轴对称图形，故错误；
C.是轴对称图形，故正确；
D.不是轴对称图形，故错误．
故选C．

2.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，但无法证明三角形全等．先要确定现有已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，找出错误的选项即可．
【解答】

解：加，，，，，是正确选法；
B.加，，，，，是正确选法；
C.加，满足，不能得出，是错误选法；
D.加，，，，，是正确选法．
故选C．

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据垂直的定义和四边形的内角和是求得．
主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是度．注意与互为对顶角．

4.【答案】 

【解析】解：当腰为时，，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为时，，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为．
故选D．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了平方差公式，根据平方差公式的特点逐项分析判断即可．
【解答】
解：两项都是互为相反数，不符合平方差公式；
B.两项都完全相同，不符合平方差公式；
C.两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；
D.有一项与不同，不符合平方差公式．
故选C．

6.【答案】 

【解析】解：根据题意可知货车进入隧道的时间与货车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为：
当货车开始进入隧道时逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时不变且最大，
当货车开始离开隧道时逐渐变小．另外货车是匀速运动，货车进入隧道或离开隧道随的均匀变化而均匀增大或减小，故图象呈直线型，排除选项B、、．
故选：．
根据当货车开始进入隧道时均匀变大，当货车完全进入隧道，值不变且等于车长，当货车开始离开隧道时均匀变小，逐一判断．
本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握函数值随自变量变化的增减性质和均匀性．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案．
【解答】
解：一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字，，，，，，
投掷一次，偶数的有，，，共种情况，
朝上一面的数字是偶数的概率为：．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：，
，
故A不符合题意；
，
，
故B符合题意；
，
，
故C不符合题意；
，
，
故C不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
由是的垂直平分线，可得，又由的周长，即可得的周长．
【解答】
解：如图，

是的垂直平分线，
，
的周长，
的周长．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：设，，
，
，





．
故选：．
设，，则，，根据完全平方公式变形即可求出所求式子的值．
本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：．
答：用科学记数法可表示为米．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，等于原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
关键积的乘方进行运算即可．
本题考查了积的乘方，．

13.【答案】 

【解析】解：，
的余角，
故答案为：．
根据余角的定义进行计算，即可解答．
本题考查了余角和补角，熟练掌握余角的定义是解题的关键．

14.【答案】垂线段最短 

【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
，
最短．
故答案为：垂线段最短．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．

15.【答案】 

【解析】解：大圆的面积是，小圆的面积是，
投中白色小圆的概率为．
故答案为：．
用小圆的面积除以大圆的面积即可得出投中白色小圆的概率．
本题考查了几何概率：某随机事件的概率这个随机事件所占有的面积与总面积之比，也可以计算利用长度比或体积比计算概率．

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
则的值是，
．
故答案为：．
直接利用平方差公式求出即可．
此题主要考查了平方差公式的运用，熟练利用公式法求出答案是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：作于，

设为，
是的角平分线，，，
，
，
即，
解得，
故答案为：．
作于，设为，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，，依据等腰三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为可求得的长．由线段垂直平分线的性质可知，则，故当、、在一条直线上时，有最小值，进而求出答案．
【解答】解：连接，．

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
．
．
当、、在一条直线上时，有最小值，最小值是为．
的周长的最小值为．
故答案为．

19.【答案】解：如图所示：点即为所求．

 

【解析】直接作出线段的垂直平分线以及作的平分线进而得出其交点即可得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．

20.【答案】解：原式；
原式；
原式；
原式


． 

【解析】原式利用完全平方公式计算即可得到结果；
原式利用多项式除单项式法则计算即可得到结果；
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值；
原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
此题考查了整式的除法，实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，平方差公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

21.【答案】解：原式

，
当时，
原式

． 

【解析】先根据完全平方公式与平方差公式，合并同类项法则化简代数式，再代值计算便可．
本题考查了整式的混合运算，求代数式的值，熟记乘法公式是解题的关键．

22.【答案】证明：，
，，
平分，
，
． 

【解析】根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，故可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等，内错角相等是解答此题的关键．

23.【答案】证明：，

，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据证明≌．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，全等三角形的对应边相等．

24.【答案】解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域，，，，，
的机会是均等的，故共有种均等的结果，其中指针可指向奇数区域，，有种结果，
奇数．
所以，转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是．

可在转盘的个小扇形中，将其中的任意个填涂成同一种颜色即可，
因为转盘停止转动后，指针指向任何一个小扇形区域的机会均等，其概率为，而图中有个小扇形涂成了同一种颜色，即指针指向这种颜色区域的概率为． 

【解析】让奇数的个数除以数的总数即为所求的概率；
合理即可．
如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．

25.【答案】证明：，
，
即：，
，
，
在和中，

≌，
，
． 

【解析】首先利用证明≌，根据全等三角形对应角相等，可得，再根据“内错角相等，两直线平行”，即可证出．
此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定，做题的关键是找出证三角形全等的条件．

26.【答案】解：上述表格反映了弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量．
设弹簧长度与所挂物体质量的关系式为，
将，；，代入得：
，，
．
当时，；当时，．
所以，当所挂重物为时，弹簧有长；不挂重物时，弹簧有长．   
把代入，解得，
所以，弹簧的长度为时，所挂重物的质量是． 

【解析】本题主要考查了函数关系式和常量与变量的知识，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式．
根据题干条件即可求解；
设，然后将表中的数据代入求解即可；
从图表中直接得出当所挂重物为时弹簧的长度和不挂重物时弹簧的长度；
把代入中求得的函数关系式，求出的值即可．

27.【答案】   

【解析】解：由图可知，大正方形的边长为，因此这个正方形的面积为；
而这个大正方形由四个部分拼成的，这四个部分的面积和为，
因此有，
故答案为：；
由拼图可知，大立方体的边长为，因此这个大正方体的体积为；
这个大立方体是由个部分拼成的，这个部分的体积和为，
因此有，
故答案为：；
由得，


，
答：代数式的值为．
从整体和部分两个方面分别用代数式表示它们的面积即可；
从整体和部分两个方面用代数式表示大正方体体积即可得出答案；利用中的结论代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，认识立体图形，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提．

28.【答案】证明：如图，是等边三角形，
，，
点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，
，
在和中，
，
≌．
解：如图，不变，
≌，
，
，
不变，的度数是．
解：如图，≌，
理由：是等边三角形，
，，
点、在运动到终点后继续在射线、上运动，且它们的运动速度相同，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】由等边三角形的性质得，，由点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
由≌得，则，所以不变，的度数是．
解：由等边三角形的性质得，，由点、在运动到终点后继续在射线、上运动，且它们的运动速度相同，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌．
此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键．