05，山东省临沂市蒙阴县蒙阴第三中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份05，山东省临沂市蒙阴县蒙阴第三中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数为无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，难度低，熟练掌握无理数的定义是解题关键，利用无理数的定义逐个分析判断即可．
【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，故选项A不合题意；
B、，是分数，属于有理数，故选项B不合题意；
C、，是无理数，故选项C符合题意；
D、，是整数，属于有理数，故选项D不合题意．
故选C．
2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过观察立体图形即可．
【详解】解：该立体图形的主视图是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答．试卷源自 试卷上新，欢迎访问。3. 体重指数（）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重50千克，则小张的体重状况是（ ）
A. 消瘦B. 正常C. 超重D. 肥胖
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据的计算公式求出小张的，即可得到答案．
【详解】解：由题意得，小张的，
∴小张的体重状况是消瘦，
故选：A．
4. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解；
【详解】，
,
又
故选择：C
【点睛】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质得到是解题的关键．
5. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A. 7.358×107B. 7.358×103C. 7.358×104D. 7.358×106
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，利用科学记数法的法则解答即可．
【详解】解：7358万，
故选：A．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，逐一计算判断即可．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与实数的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴关于一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8. 如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长．
【详解】解：连接，

∵的半径为2．，
∴，
∴，
∵D，G分别为的中点，
∴为的中位线，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键．
9. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得，则，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函数的定义计算求解即可．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，
∴大正方形的边长，小正方形的边长，

∵，
∴，
在中，，
∴，
解得（负值舍去）
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理、弦图及正弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键．
10. 如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.
故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，
.
在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，

.
故②正确.
图象与轴交于点，
，.
.
.
故③正确.
，
.
当时，，
.
，
，
.
故④不正确.
综上所述，正确的有①②③.
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点.
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为，
，
去分母，得，
解得，
经检验是所列分式方程的根，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．
12. 若式子有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】且##且
【解析】
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子有意义，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
13. 关于x的分式方程有增根，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．
【详解】，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
14. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为__________.
【答案】7人
【解析】
【分析】设共有x人，价格为y钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设共有x人，价格为y钱，依题意得：
，
解得：，
答：物品价格为53钱，共同购买该物品的人数有7人,
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．
15. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形平移求线段长度的方法是解题的关键．
根据图形移动可求出，的长，根据几何图形面积的计算方法即可求解．
【详解】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
16. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为_______．

【答案】或##或
【解析】
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，，
当在第一象限时，点的坐标为，即；
当在第三象限时，点的坐标为，即；
综上可知，点的坐标为或，
故答案：或．
【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，且为整数．
【答案】（1）
（2），1
【解析】
【分析】本题考查的是实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握实数的运算法则及分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）根据负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，零指数幂的运算及绝对值的性质进行计算即可．
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入计算即可；
【详解】解：（1）原式
．
（2）
，
，，
，
，且为整数，
，
当时，原式；
18. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：
（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【答案】（1），图见解析；
（2）；
（3）人；
【解析】
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图；
（2）根据“敬老服务”的占比乘以即可求解；
（3）用样本估计总体，用乘以再乘以“文明宣传”的 比即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，本次调查的师生共有人，
∴“文明宣传”的人数为（人）
补全统计图，如图所示，

故答案为：．
【小问2详解】
在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为，
【小问3详解】
估计参加“文明宣传”项目的师生人数为（人）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．

（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可．
【小问1详解】
∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
∴，
解得，
故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式．
【小问2详解】
∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴，设，
根据题意，得，
∴，
解得或，
故点C坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．
20. 敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现． 它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，保持最佳的反射角度． 图2是反射示意图，由反射原理，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．已知定口镜的长为12米，点为中点，定日镜绕点旋转，当入射光线与镜面的夹角为度时，反射光线恰好照在吸热塔顶端处． 此时镜面与支撑柱的夹角为60度，点B 到地面的距离是5米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．
（ ）
（1）求支撑柱的高度；
（2）求吸热塔的高度．
【答案】（1）支撑柱的高度为米；
（2）吸热塔的高度为米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是依题意作出辅助线．
（1）如图过过点作，根据特殊角的三角函数，推出四边形 是矩形，根据进而作答即可；
（2）如图过点作于点， ，进而推出角的度数，推出四边形是矩形，在中，根据三角函数作答，再根据计算即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
∵点是中点，米，
米，
在中，，
∵，
米，
，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：支撑柱的高度为8米．
【小问2详解】
解：如图过点作于点，
根据题意， 米，
∵，
，
，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
在中，，
∵，
∴米，
∴米，
答：吸热塔的高度为263米．
21. 某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元
（2）购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，以及根据一次函数增减性求最值．正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键．
（1）设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得解；
（2）设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋箱，购买A种盐皮蛋和B种盐皮蛋共花费w元，根据题意列不等式，求出m的取值范围，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出w的最小值．
【小问1详解】
解：设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，
由题意得：，
解得 ．
答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元．
【小问2详解】
解：设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋箱，购买A种盐皮蛋和B种盐皮蛋共花费w元，
由题意得：，
解得，
，
即：，
，
随m的增大而增大．
当时，w取得最小值780，
．
答：购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．
22. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【解析】
【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可，
（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解．
【小问1详解】
连接

∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，为半径，
∴为的切线，
【小问2详解】
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
23. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】（1）的最高点坐标为，，；
（2）符合条件的n的整数值为4和5．
【解析】
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
【小问2详解】
解：∵到点A水平距离不超过范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
24. 原题呈现：
如图1： 在 和 中， 点 为 内部一点，射线 交直线 于点．试探究： ， ， 之间存在怎样的数量关系

某数学探究小组对以上题目采用了有特殊到一般的数学思想方法进行探究，过程如下，请完成以下探究过程．
问题探究：
（1）先将问题特殊化如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，， 之间的数量关系；

（2）再探究一般情形如图（1），当点 ，不重合时（1）中的结论仍然成立．
拓展延申：
（3）如图3，若将原题中的条件“”改为 （是常数），请写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）结论：，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先证明得到，；
（2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；
（3）利用前面的方法变全等为相似证明即可．
【详解】（1）．理由如下：如图（2），

，
，
，，
，
，
；
（2）证明：过点作交于点，则，
．
，
．
又，，
，
．
．
，，
是等腰直角三角形．
．
∴．

（3）．理由如下：
，
，
，，
，
，

过点作交于点，则，
．
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．体重指数（）范围
体重状况
体重指数
消瘦
体重指数
正常
体重指数
超重
体重指数
肥胖