06，2024年山西省大同市部分学校中考三模数学试题

这是一份06，2024年山西省大同市部分学校中考三模数学试题，共30页。

1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较．根据实数的大小比较即可．
【详解】解：∵，
∴最小的是．
故选：B．
2. 中国文化源远流长，不论是玉器、漆器、服饰还是装饰都铭刻着特色纹样瑰美．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；试卷源自 试卷上新，欢迎访问。C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 2024年5月5日在四川成都举行的“尤伯杯”羽毛球团体决赛中，中国队第16次夺得冠军．如图1是比赛场馆图，图2是场馆某正方形座位示意图．小李、小亮、小东的座位如图所示（网格中，每个小正方形的边长都是1）．若小亮的座位用表示，小李的座位用表示，则小东的座位可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查点的坐标．根据点的位置先确定平面直角坐标系的位置，然后写出点的坐标．
【详解】解：根据小亮、小李的位置确定坐标系位置如图所示，
∴小东的座位可以表示为，
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，多项式除以单项式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图，已知，点，点分别在上，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．延长交于点，利用邻补角求得的度数，利用平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质计算即可求解．
【详解】解：延长交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
故选：B．
6. 在数轴上表示不等式组的解集，下面选项中正确的是（ ）
A. B.

C.
D.

【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示，如图所示：

故选：D．
7. 如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行光线，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8. 如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“”代表的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算．用结果除以，再加上1即为“”代表的式子．
【详解】解：由题意，得：“”代表的是；
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，点是轴负半轴上一点，连接上轴正半轴交于点．若，的面积为3，则的值为（ ）

A. 12B. 8C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数k列式可得结论．设，则，由的面积为3即可求解．
【详解】解：作轴于点D，

∵轴，
，
，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，将等腰直角三角形的直角顶点放在上，直角边经过圆心，斜边交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积计算，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形．作出如图所示的辅助线，利用特殊角的三角函数值求得，解直角三角形求得的长，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：作，，垂足分别为，连接，
∵等腰直角三角形，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为
，
故选：A．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法．利用完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 观察下列等式：
，
，
，
，
照此规律，第个等式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了数字规律，较强的类比归纳能力是解题的关键．根据已有等式类比归纳出第n个等式即可．
【详解】解：①；
②；
③；
④；
⑤，
……
第n个等式为：．
故答案为：．
13. 二十四节气，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，它反映了中国气候变化和自然规律的周期性，是指导农耕生产的重要工具．某校举办了二十四节气知识竞赛，屏幕上显示六张分别印有节气“寒露”“小暑”“清明”“霜降”“大暑”“谷雨”的电子卡片（除正面图案外，完全相同），主持人操作电脑使这些卡片背面朝观众，然后打乱顺序，参赛同学从中随机选取两张并回答与卡片上节气有关的问题，则抽到的两张恰好是“清明”和“谷雨”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，正确列出表格或画出树状图．根据题意，可以画出相应的表格表示出所有等可能的结果，再找到抽到的两张电子卡片恰好是“清明”和“谷雨”的结果，最后根据概率公式计算即可．
【详解】解：设印有节气“寒露”“小暑”“清明”“霜降”“大暑”“谷雨”的电子卡片分别用A、B、C、D、E、F表示，
列表格如下，
由图可得，一共有30种等可能性的结果，其中抽到的两张电子卡片恰好是“清明”和“谷雨”的可能性有2种，
∴抽到的两张电子卡片恰好是“清明”和“谷雨”的概率是．
故答案为：．
14. 某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示：
若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为______元．
【答案】675
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组应用．设糯米粉每千克的单价为元，黄油每千克的单价为元，根据题意列得二元一次方程组，求得和的值，再代入，计算即可求解．
【详解】解：设糯米粉每千克的单价为元，黄油每千克的单价为元，
依题意得，
解得，
∴（元），
故答案为：675．
15. 如图，在中，，点，点分别是和上的点，，，连接，过点作交于点，若，则的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．在上截取，连接，证明，推出是等边三角形，作于点，求得，，再利用勾股定理求得，据此求解即可．
【详解】解：在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，立方根，算术平方根，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可解答；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）解：，
，，，，
∴，
所以，．
17. 如图，以的一边为直径作，点恰好落在上，射线与相切于点．
（1）尺规作图：过点作于点，延长交于点，连接；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法）
（2）在（1）的条件下证明：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用切线的性质结合求得，得到，以及等腰三角形的性质可证，利用圆周角定理得到，据此即可求解．
【小问1详解】
解：所作图形如图所示．
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图—作垂线，切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，等边对等角等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
18. 为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球的兴趣，增强学生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加米折返跑、传准、运射、比赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩．
全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）参赛同学小祺四项考核指标米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80分，请你计算出他的总成绩；
（4）该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺能否入选．
【答案】（1）150；36
（2）见解析 （3）小祺同学的总成绩是86分；
（4）小祺同学不能入选．
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体：
（1）根据B等级的人数和占比，可求得样本容量，再根据C等级的人数即可求得的值；
（2）求得A等级的人数，可补全频数分布直方图；
（3）利用加权平均数的计算方法即可求解；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：（人），
，
∴，
故答案为：150；36；
【小问2详解】
解：A等级的人数有（人），
补全频数分布直方图如图所示；
【小问3详解】
解：小祺同学的总成绩是（分）；
【小问4详解】
解：在分的人数有：（人），
答：小祺同学86分的总成绩不能入选．
19. 交通运输和施工过程中产生的扬尘是城市大气污染的主要来源，绿化树种因其特别的叶面特性和冠层布局而具备滞纳和过滤等颗粒污染物的能力，从而降低对人类的危害．白蜡树和榆树是太原市较常见的两种树木，每平方厘米的榆树树叶滞尘量比每平方厘米的白蜡树树叶滞尘量多40微克，滞尘450微克需要的榆树树叶面积与滞尘250微克需要的白蜡树树叶面积相同．求每平方厘米的白蜡树树叶滞尘量和每平方厘米的榆树树叶滞尘量各是多少？
【答案】每平方厘米的白蜡树树叶滞尘量为50微克，则每平方厘米的榆树树叶滞尘量为90微克
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．解方程即可得到答案．设每平方厘米的白蜡树树叶滞尘量为x微克，则每平方厘米的榆树树叶滞尘量为微克，根据题意列出分式方程并解方程，注意最后一定要检验．
【详解】解：设每平方厘米白蜡树树叶滞尘量为x微克，则每平方厘米的榆树树叶滞尘量为微克，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
（微克），
答：每平方厘米的白蜡树树叶滞尘量为50微克，则每平方厘米的榆树树叶滞尘量为90微克．
20. 项目化学习
项目主题：测量紫丁香树的高度
项目背量：山西省沁水县中村镇下川村的紫丁香树为二级古树，树龄300年，为华北最大紫丁香树．某校数学活动小组计划测量这株紫丁香树的高度．
研究步骤：
（1）小组成员讨论后，设计了如下的两种测量方案，并画出相应的测量草图．
备注：两位同学的观测点到地面的距离相等，线段长表示紫丁香树的高度，点均在同一竖直平面内．
（2）准备测量工具：测角仪，皮尺．
（3）实地测量并记录数据：
问题解决：请你选择一种方案计算这棵紫丁香树的高度．（结果精确到）（参考数据：，）
【答案】这棵紫丁香树的高度．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．设，在中，求得，在中，求得，方案一中，，方案二中，根据，分别列式计算即可求解．
【详解】解：方案一，设交于，
由题意得，，，且，
∴四边形都是矩形，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：这棵紫丁香树的高度．
解：方案二，延长交于，
由题意得，，，且，
∴四边形都是矩形，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：这棵紫丁香树的高度．
21. 阅读与思考
下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）小悦周记中得到，的依据是______；
（2）小悦所用方法主要运用的数学思想是______；
A．公理化思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想
（3）请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称．
【答案】（1）轴对称的性质
（2）B （3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称的性质等等：
（1）根据轴对称性质求解即可；
（2）根据题意可知用了数形结合思想；
（3）方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D，则点的横坐标为c，设点的纵坐标为，则，据此求出，在中，当时，，据此可证明结论；方法二：在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于，则点的横坐标为，求出，再证明，即可得到直线和直线关于直线对称．
【小问1详解】
解：由题意得，小悦周记中得到，的依据是轴对称的性质，
故答案为：轴对称的性质；
【小问2详解】
解：由题意得，小悦所用方法主要运用的数学思想是数形结合思想，
故选：B．
【小问3详解】
解：方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D，
∴由轴对称的性质可得，点的横坐标为c，
设点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴在直线上，
∴直线和直线关于直线对称；
方法二：如图所示，在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于，
∴点的横坐标为，
把代入中得，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴直线和直线关于直线对称．
22. 综合与探究
如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式．
（2）当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值．
（3）若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
（2）最大值为；
（3）点的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将点和点代入得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴四边形周长为，
∵，
∴当时，四边形周长有最大值，
最大值；
【小问3详解】
解：当为正方形时，如图，
∵点和点，
∴，
∴点与点关于对称轴对称，
∴点，
∴点，
∴点的坐标为；
当为正方形时，如图，设正方形的中心为点，
∵，，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，即，解得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为；
当为正方形时，如图，设正方形的中心为点，
显然点与点关于对称轴对称，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度．
23. 综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，是等边三角形，点是边上一点，点是直线上一点，当点与点A重合时，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，试判断和的数量关系并说明理由．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）“自强”小组通过合作交流提出以下问题：如图2，当点在线段上且时，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，试判断，与的数量关系并说明理由．
（3）“开拓”小组通过借鉴“自强”小组的研究，提出问题：如图3，当点在的延长线上时，连接，将绕点顺时针旋转得到，交于点，连接，若等边的边长为6，，，求的长．请你思考问题，直接写出结果．
【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3）
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、相似三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质，牢记相关判定与性质是解题关键，
（1）根据等边三角形的判定与性质证明即可证出结论；
（2）作，交于点M，根据等边三角形的判定与性质证明即可证明结论；
（3）作交延长线于点P，延长，交延长线于点Q，证明是等边三角形，进而证明，求出长，根据求出，再根据求出，即可求出结论．
【详解】解：（1），理由如下：如图，
由题意得：，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如下图，作，交于点M，
由题意得：，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（3）作交延长线于点P，延长，交延长线于点Q，
由题意得：，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，,
，
，
，即，
，，
，
，
，即，
，
．A
B
C
D
E
F
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
（A，F）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
（B，F）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
（C，E）
（C，F）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，E）
（D，F）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
（E，F）
F
（F，A）
（F，B）
（F，C）
（F，D）
（F，E）
第一次
第二次
糯米粉/千克
10
12
黄油/千克
2
3
总金额/元
310
405
类别
专项素质
专项技术
实战能力
考核指标
米折返跑
传准
运射
比赛
比例
方案一
方案二
应用所学知识证明直线对称问题
如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法：
设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为．
方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）．
点的纵坐标为．
设点的横坐标为，
．．．
将代入，得．
点在直线上．
直线和直线关于直线对称．
图1
方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点．
点的纵坐标为．
将代入，得．
．．
．
点和点关于直线对称．
直线和直线关于直线对称．
图2