2022年山西省大同市中考学科素养自主测评（八）（三模）数学试题（含答案）

姓名_________     准考证号_________

2021-2022中考学科素养自主测评卷（八）

数学

注意事项：

1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷  选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题。每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．计算：的结果是（    ）

A．B．C．1D．4

2．据考证，它是1983年出土的我国已知最早的西汉初期的数学专著，它用竹简写成，是一部数学问题集，全书有近70个题名（标题），用算数命名，这部竹简算书的书名是（    ）

A．《九章算术》     B．《算术书》     C．《许商算术》     D．《周脾算经》

3．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C．     D．

4．疫情原因，太原市的学生居家上网课．其中，不少学生的父母参与防疫工作没有时间做家务，班主任为此鼓励学生参与到做家务的工作中，减轻父母的压力，将该班50名学生在第一周做家务的时间统计如下，根据表格可知，该班学生做家务的众数及中位数分别是

A．2小时，2.5小时     B．2小时，3小时     C．3小时，2小时     D．18小时，17小时

5．太原天龙山地形复杂，天龙山公路从起点到终点的垂直高低落差可达350米．因此，该公路采用很多大拐弯设计．“网红三层高架桥”的诞生就是为了降低落差，提高行车安全度．高架桥采用钢箱梁拼装焊接而成，用钢7000多吨．把数据“7000吨”换算成用“千克”做单位，并用科学记数法表示为（    ）

A．千克     B．千克     C．千克     D．千克

6．在研究几何体的左视图时，某数学小组用相同的小正方体拼成如图所示的4种不相同的几何体，其中只有一个几何体的左视图与其他左视图不相同，则这个几何体是（    ）

A．     B．     C．     D．

7．已知，，求的度数．小明经过思考后，画出如图所示的网格并把和画在网格中，连接得到，且．由此可知，．小明这种求解体现的数学思想是（    ）

A．数形结合思想     B．分类思想     C．统计思想     D．方程思想

8．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ）

A．当时，

B．I与R的函数关系式是

C．当时，

D．当时，I的取值范围是

9．《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多。问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，3天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的2倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（    ）

A．B．

C．D．

10．如图，边长为6的正六边形内接于，沿折叠，点F与点O重合，过点E作的切线与的延长线交于点G，则图中阴影部分的面积是（    ）

A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．若是二次根式，则x的取值范围是____________．

12．口袋内装有红球、白球和黑球共100个，这些球除颜色外，其余都完全相同．将袋中的球摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色，放回，摇匀，再摸球，…，经过大量的摸球，发现摸出红球的颗率稳定在0.2，摸出白球的频率稳定在0.5，由此可知，袋中黑球的个数约是____________个．

13．已知直线经过点和，则和的数量关系用“<”连接为____________．

14．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为，然后沿方向前行12米，到达B点，在B处测得树顶C的仰角为（点A，B，D在同一直线上）．根据测量的数据可知，这棵树的高度是____________米（结果保留根号）．

15．如图，中，，点D在斜边上运动，点E在边上运动。把沿折叠得到交边于点F，，则的长为____________．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

（1）计算：；

（2）求不等式组：的解集．

17．（本题7分）

如图，中，，点D和E分别在边和上，，连接和．求证：．

18．（本题7分）

如图，反比例函数的图象与经过原点O的直线相交于A和B两点，点B的横坐标是1，把直线绕点A逆时针旋转得到直线，点B的对应点C恰好落在反比例函数的图象上．

（1）直接写出点A和B的坐标；

（2）求反比例函数的函数表达式．

19．（本题10分）

在“双减”政策下，某校体育组在八年级开展的球类活动有：A．乒乓球，B．篮球，C．排球，D．羽毛球，要求八年级的每位学生必须参加且仅参加一项．学校体育组根据实际情况，要安排活动场地，随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生人数是____________人；在扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数是___________；

（2）请把这两幅统计图补充完整；

（3）若该校八年级学生有600名，请估计该校参加篮球和排球活动的八年级学生共有多少人？

（4）小明与小亮是好朋友，且同在该校八年级上学，请用画树状图或列表的方法说明小明与小亮参加同一球类活动的概率．

20．（本题9分）

某超市购进甲、乙两种保健醋，已知甲种保健醋每瓶的价格比乙种保健醋每瓶的价格贵0.5元，分别用1800元购进甲，乙两种保健醋，购进的甲种保健醋的瓶数是乙种保健醋瓶数的．这两种保键的售价如下表：

（1）求这两种保健醋每瓶的进价分别是多少元；

（2）该超市计划购进这两种保健醋共100瓶，进货总价不超过480元，设购进甲种保健醋m瓶，总利润为w元．

①求w与m之间的函数解析式（不必写出自变量m的取值范围）；

②求全部售完这批保健醋后获得最大利润的进货方案，并求出最大利润．

21．（本题8分）阅读与思考

通过上面的阅读，完成下列任务：

任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；

任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出的度数，再根据等腰三角形的性质或判定完成该题的证明过程）

22．（本题12分）综合与探究

问题情境：

在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含角的三角板拼图间存在的关系．

如图，．

操作探究：

（1）如图1，当点B，C，D在同一条直线上，发现，请你证明；

（2）如图2，把图1中的绕点C顺时针旋转，边与边相交于点F，当是等腰三角形时，求的长；

（3）如图3，把图1中的沿的方向平移，得到，边与边交于点N，边与边交于点M，连接，当四边形是矩形，直接写出平移的距离．

23．（本题12分）综合与实践

如图，二次函数的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．

（1）求直线的函数解析式；

（2）如图2，点D在直线下方的抛物线上运动，过点D作轴交于点M，作于点N，当的周长最大时，求点D的坐标及周长的最大值；

（3）以为边作交y轴于点E，借助图1探究，并直接写出点E的坐标．

2021-2022中考学科素养自主测评卷（八）

数学

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共30分）

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．12．3013．  14．  15．

三、解答题（共75分）

16．（本题10分）

解：（1）原式

．

（2）

解不等式①，得．

解不等式②，得．

所以，原不等式组的解集是．

17．（本题7分）

证明：，

∴．

在和中，

，

∴．

∴．

18．（本题7分）

解：（1）点A的坐标是，点B的坐标是．

（2）连接，过点B作轴于点D，过点C作轴于点E．

∴，

∵直线绕点A逆时针旋转得到直线，点B的对应点是点C，

∴．

∴是等边三角形．

∵反比例函数的图象与过原点的直线交于A和B两点，，

∴点A和点B关于原点对称，．

∴．

∴．

∴．

在中，．

∴．

∵，

∴

∴．

∴．

∴．

∴．

∴点C的坐标是，

∴反比例函数的函数表达式为．

19．（本题10分）

解：（1）50 

（2）补全的统计图如下：

（3）（人）．

答：该校参加篮球和排球活动的八年级学生共有约276人．

（4）解法一：根据题意，画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果。其中，小明与小亮参加同一球类活动的有4种．

∴P（小明与小亮参加同一球类活动）．

即：小明与小亮参加同一球类活动的概率是．

解法二：根据题意，列表如下：

由表格可知，共有16种等可能的结果。其中，小明与小亮参加同一球类活动的有4种．

∴P（小明与小完参加时一球类话动）．

即：小明与小亮参加同一球类活动的概率是．

20．（本题9分）

解：（1）设乙种保健醋每瓶的进价是x元．

根据题意，得．

解，得．

经检验是原方程的解．

．

答：甲种保健醋每瓶的进价是5元，乙种保健醋每瓶的进价是4.5元．

（2）①

．

所以，w与m之间的函数解析式是．

②由题可知．

解，得．

∵，

∴w随m的增大而增大．

∴时，w最大．

∴．

答：购进甲种保健醋60瓶，乙种保健醋40瓶，才能使全部售完这批保健醋后获得最大利润，最大利润是260元．

21．（本题8分）

解：任务一：

依据1：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．（或圆周角定理）

依据2：同弧或等弧所对的圆周角相等．

依据3：直径所对的圆周角是直角．

依据4：圆内接四边形的对角互补．

任务二：

∵，

∴．

∵于点H，

∴．

∴．

∵是的外角，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

∴是半圆的半径．

22．（本题12分）

解：（1）证明：如答图1，延长交于点F．

∴．

∵，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

（2）∵是等腰三角形．

∴分以下三种情况：

①当时，

∵在中，，

∴在中，．

∴．

∴．

②如答图2，当时，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

③当时，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴不成立．

综上所述，的长是或6．

（3）平移的距离是．

23．（本题12分）

解：（1）把代入中，得．

∴点C的坐标是．

把代入，得．

解，得．

∴点A的坐标是，点B的坐标是．

设直线的解析式是．

∵，

∴．

解，得．

∴直线的函数解析式是．

（2）设点D的坐标是．

∵，

∴．

在中，，由勾股定理，得．

∴的周长是．

∵轴，

∴，点M的坐标是．

∴．

∵于点N，

∴．

∴．

∴．

∴的周长．

∴时，的周长最大，最大值是．

∴．

∴点D的坐标是，周长的最大值是．

（3）点E的坐标是．