2023年山西省大同市部分学校中考数学联考试卷（含解析）

2023年山西省大同市部分学校中考数学联考试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  大于且小于的无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某正方体的每个面上都有一个汉字，如图，这是它的展开图，那么在原正方体中，与“和”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 美 B. 丽 C. 中 D. 国

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列一元二次方程中，没有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在矩形中，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代伟大的数学著作海岛算经记载的测望法，在测量学历史上是领先的创造，使中国测量学达到登峰造极的地步，比欧洲早一千三百至一千五百年完成这一著作的数学家是(    )

A. 欧几里得
B. 刘徽
C. 祖冲之
D. 杨辉

8.  将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，某物理兴趣小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观的显示光的反射规律，于是把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点出发，经轴上的点反射，沿射线方向反射出去，则反射光线所在的直线的函数表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算的结果是______ ．

12.  已知和是二次函数图象上的两点，并且当时，，则常数的取值范围是______ ．

13.  绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用天，现在比原来每天节约用水______吨．

14.  近视眼镜是凹透镜，是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离的物体的眼镜，可以使眼球的睫状肌保持一定的调节能力如表是一组关于近视眼镜的度数度与镜片焦距米的对应数据根据表中数据，若要配置度的近视眼镜，则可选镜片的焦距为______ 米

15.  如图，在中，，，为上一点，且，过点作于点，过点作于点，与交于点，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，已知内接于，且是的直径．
实践与操作：
请用尺规作图法作出的内心要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
推理与计算：
连接并延长，与交于另一点若，，求的长．

19.  本小题分
“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而培育的一种草莓品种，因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎今年春季，某水果店以元盒的价格购进一批名叫“天使”的新品种草莓进行销售该商家在销售过程中发现当每盒的售价为元时，平均每天可售出盒若每盒的售价每降价元，则每天可以多售出盒设此种草莓每盒的售价为元，每天销售此种草莓的利润为元．
用含的式子表示每盒此种草莓的利润为______ 元，每天可卖出此种草莓的数量为______ 盒
若该水果店计划每天销售此种草莓盈利元，问此种草莓每盒的售价应定为多少元？

20.  本小题分
为了进一步传承中华优秀传统文化和红色文化，营造宣传二十大精神的浓厚氛围，某校小学部决定组织五、六年级学生开展以“童心辉映二十大，筑梦经典向未来”为主题的阅读综合能力展示活动，活动内容包括“读好中国故事”“写好中国故事”“讲好中国故事”，各项均按百分制计，然后取平均值计算综合成绩百分制现从五、六两个年级学生中各随机抽取名学生的综合成绩整理如下满分分，分及以上为合格：
六年级抽取的学生的综合成绩分布表

五、六年级抽取的学生的综合成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题．
填空： ______ ； ______ ．
学校要求五、六年级各班需推荐两名学生参加总决赛，而六年级三班综合成绩排在前五名的同学恰好是两名女生和三名男生．
若六年级三班在本班综合成绩排在前五名的同学中随机推选两名同学，请用列表或画树状图的方法求恰好推选出“一名男生和一名女生”的概率；
若六年级三班计划按综合成绩的高低各推荐一名男生和一名女生参加总决赛，而六年级三班前两名女生的综合成绩如下表所示若将“读好中国故事”“写好中国故事”与“讲好中国故事”按：：的比例计算最后成绩，则应该推选哪位女生参加总决赛？

21.  本小题分
阅读与思考
下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务：

任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题：
画横线部分的“依据”是______ ．
在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：______ 从下面选项中填出两项．
A.转化思想
B.方程思想
C.由特殊到一般的思想
D.函数思想
请根据小论文提供的思路，补全图剩余的证明过程．

22.  本小题分
“植草沟”是指种有植被的地表浅沟，它可以通过种植的植被、过滤层等对雨水进行收集、输送、排放与净化图是某校“综合实践”小组的同学为某公园设计的植草沟示意图，该图为轴对称图形种植植被的坡面，与的坡度铅直高度与水平宽度的比：，种植土的上下表层和均与水平线平行，并且，与之间的距离为其中，请你根据以上信息，求种植土底层斜坡的长度．

 

23.  本小题分
综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，在中，，，，于点，于点，将以点为旋转中心，逆时针方向旋转得到，若当点的对应点正好落在的延长线上时，与相交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．
______
解决问题：请你解决老师提出的问题．
数学思考：“兴趣小组”的同学们受到老师所提问题的启发，将按图所示的方式，以点为旋转中心，逆时针方向旋转，当点的对应点恰好落在上时，与交于点求此时的长度．
拓展探究：“智慧小组”又提出问题，如图，将以点为旋转中心，逆时针方向旋转，当点的对应点恰好落在上时，的长度为多少？请你思考该问题，并直接写出的长度．

 

24.  本小题分
综合与探究：
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点若为第一象限内抛物线上一点，过点且垂直于轴的直线交于点，连接，．
求抛物线的函数表达式及，两点的坐标．
当时，求点的横坐标．
为平面直角坐标系内一点，是否存在点使四边形是正方形若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，是有理数，故此项不符合题意；
B.是有理数，故此项不符合题意；
C.因为，所以，所以，故此项符合题意；
D.因为，所以，故此项不符合题意．
故选：．
化简，再逐项判断即可．
本题考查了无理数的判断、算术平方根与无理数大小的比较，理解无理数大小比较的方法由得到是解答关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：正方体的表面展开图，可知“和”对“美”，“丽”对“国”，“谐”对“中”．
故选：．
首先确定相对面的字，进而得出答案即可．
本题主要考查正方体的展开图，掌握由展开图还原几何体是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，幂的乘方，同底数幂的除法的法则，单项式乘单项式的法则，完全平方公式法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，，方程有两个不等的实数根，故A选项不符；
选项，，方程没有实数根，故B选项符合题意；
选项，，方程有两个不等的实数根，故C选项不符；
选项，，方程有两个相等的实数根，故D选项不符．
故选：．
根据根的判别式计算出的值，可得到根的情况．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的值的正负性得到根的情况．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，，
即，
，
故选：．
由矩形得，，，再根据即可得的长．
本题主要考查的是矩形的性质以及．等知识内容，正确掌握矩形的性质以及锐角三角函数的性质内容是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：海岛算经是魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作．也是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础．
故选：．
依据题意，由数学史知识可以作答得结果．
本题考查了数学史知识，需要日常积累熟练掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：交于，交于，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
由锐角的正弦定义求出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数．
本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，对顶角的性质，关键是由锐角的正弦求出的度数．
 

9.【答案】 

【解析】解：设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，

设直线的解析式为，
，，
，
解得，
，
当时，，
直线与轴的交点的坐标为
根据光的反射规律知：和关于轴对称，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
故选：．
先求直线的解析式，然后求直线与轴的交点的坐标，根据光的反射规律知：和直线与轴的交点关于轴对称，则可求的坐标，然后根据待定系数法求反射光线所在的直线的函数表达式即可．
本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，理解光的反射规律．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，

根据折叠的性质，，，，
，
为等边三角形，
．
，
，
，
，
与面积相等，

．
故选：．
连接，可得为等边三角形，再求出以及，得到三角形的面积，又因为与面积相等，最后利用求解即可．
本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先把化为最简二次根式，用完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
二次函数图象的对称轴是：直线，
当时，，
当时，随着的增大而减小，
即对称轴的左边，图象下降，
开口向上，即，
解得：，
故答案为：．
根据当时，可知，当时，随着的增大而减小，继而得出开口向上，由此得解．
本题考查二次函数的图象与性质，根据题意推导开口方向是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原来每天用水量：吨，
改用喷灌方式后的每天用水量：吨，
则现在比原来每天节约用水吨．
故答案是：．
首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可．
本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，设度数度与镜片焦距米为，
把，代入，即，
所以，
当时，，
故答案为：．
根据一组关于近视眼镜的度数度与镜片焦距米的对应数据，设度数度与镜片焦距米为，把，代入即可得值，再把代入即可．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，，，
，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，进而可得，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，最后证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等知识点的运算．
 

17.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为． 

【解析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：如图，点为所求；

如图，连接，，．
是的直径，
，
，，
．
平分，
，
，
，
．
，，
，，
，
． 

【解析】分别作，的角平分线，交点即为所求；
先根据勾股定理求出，再求出，最后根据圆周角定理及三角形的外角定理求解．
本题考查了复杂作图，掌握内心的意义及勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由题意可知，每盒此种草莓的利润为元，
每天可卖出此种草莓的数量为盒，
故答案为：，；
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：此种草莓每盒的售价应定为元．
由题意即可得出结论；
根据该水果店计划每天销售此种草莓盈利元，列出一元二次方程，解方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：抽取人数为人，由五年级抽取的学生的综合成绩条形统计图可知：成绩按从小到大顺序排列后，第个分数是，第个分数是，
中位数，
由六年级抽取的学生的综合成绩分布表可知，分的人数最多，
众数，
故答案为：，；
根据题意可列表如下：

由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好出现“一名男生和一名女生”的结果有种，
故所求概率为．
张颖的成绩：分，
李敏的成绩：分，
，
张颖将会被推选参加总决赛．
根据中位数与众数的定义求解即可；
用列表法列举所有情况，然后根据概率公式计算概率即可；
利用加权平均数公式分别计算平均数，再比较大小即可求解．
本题考查中位数、众数、加权平均数、用列举法求概率等知识，掌握相关知识、能从统计图表中分析有用数据是解题的关键．
 

21.【答案】在等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子，等式仍成立   

【解析】解：在等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子，等式仍成立；
由正方形中的顶点和顶点转变成为点和点，所以是由特殊到一般的转化思想，
所以AC正确．
故选为：．
证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为．
则容易证明四边形和均为矩形，
，，
，

在四边形中，
，，
，
，
，
，，
，
，，，
≌，
．
根据等式性质回答即可；
根据题意对四个选项进行分析；
先证明四边形和均为矩形，再证≌，从而得到．
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，有一定的难度，需认真作答即可．
 

22.【答案】解：如图，分别延长和反向延长，，与，交于点，，，，连接．

该图为轴对称图形，且与都与水平线平行，
，，，，
四边形是矩形，
．
又，
，
四边形是矩形，
又与之间的距离为，
，
在中，
，的坡度铅直高度与水平宽度的比：．
可设，，
根据勾股定理可得，
由可得，
解得，
，，
 ，，
在中，
，
根据勾股定理可得 ．
答：种植土底层斜坡的长度为． 

【解析】分别延长和反向延长，，与，交于点，，，，连接求出的长，再分别在中求出，，最后在中利用勾股定理，即可求出的长度．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，构造出直角三角形，理解题意是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：与的数量关系：；
理由：于点，
，
，
，
，
，
将逆时针方向旋转得到，
，
，
，
于点，
，
即，
，，
，
，
；
故答案为：；
在中，，，，
，
，
，
，
即，
解得，
，
即，
解得，
将按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
即，
；
如图，过点作于点，

在和中，，
即，
，
，
即，
，
在中，，，
根据勾股定理可得，
．
根据垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据三角函数的定义得到，，根据旋转的性质得到，，根据平行线等分线段定理即可得到结论；
如图，过点作于点，根据三角函数的定义得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，旋转的性质，三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
 

24.【答案】把，代入中，得，
，
解得，
抛物线的函数表达式为．
把代入中，得，
，
把代入中，得，
；
设点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为．
如图，过点作轴于点，过点作轴于点．

轴，
轴，
，
又，
≌，
，．
如图，当点在点的上方时，

，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得舍去，．
如图，当点在点的下方时，，

，
解得舍去，．
综上所述，点的横坐标为或．
存在，点的坐标为，
如图，设与轴交于点，

当≌时，四边形是正方形，
当，时，四边形是正方形，
，，
，
把代入中，得，
点的坐标为，
根据平移性质可得点的坐标为． 

【解析】把点，代入函数，得到二元一次方程组，求解，的值，即可得到抛物线的函数表达式；把，分别代入，即可得到点，点的坐标．
设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为过点作轴于点，过点作轴于点，可证≌，得到，当点在点的上方时，四边形为平行四边形，，得到，解方程可得的值；当点在点的下方时，，得到，解方程可得的值．综上可求得点的横坐标．
设与轴交于点，则当≌时，四边形是正方形，此时，，则，进而得到点的坐标为，根据平移性质可得点的坐标为．
本题考查待定系数法，坐标平面内两点间的距离，三角形全等的判定与性质，平行四边形及正方形的判定与性质，正确作出辅助线，综合运用各个知识是解题的关键．