2024年中考数学押题密卷 北京专用01

这是一份2024年中考数学押题密卷 北京专用01，共36页。


第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2024•朝阳区校级一模）2023年2月10日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们首次出舱任务，飞船的时速每小时2800000000千米，2800000000千米用科学记数法表示应为
A．千米B．千米C．千米D．千米
2．（2024•道里区一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
3．（2023秋•蚌埠期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；
②；
③；
④．其中正确结论的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2024•宁波模拟）若，则
A．B．C．D．
5．（2024•普陀区二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是
A．B．C．D．
6．（2024•凉州区二模）若一个凸多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和是
A．B．C．D．
7．（2024•息县二模）某校春季研学活动安排在美丽的某湖风景名胜区，学校安排同学们从“水上大冲关”、“水枪大战”、“画肪游湖”、“龙舟竞渡”中随机选择一种活动参加．小红和她的好朋友小丽选择相同活动的概率为
A．B．C．D．
8．（2024•石景山区一模）如图，，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2024•道外区一模）把多项式分解因式的结果是 ．
10．（2024春•雁塔区校级期中）当分式有意义时，应满足的条件是 ．
11．（2024春•东城区校级月考）方程的解是 ．
12．（2024•西安校级一模）已知点在一个反比例函数的图象上，点点关于轴对称．若点在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ．
13．（2024•门头沟区一模）下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表：
已知月用电量第二档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第二档的家庭有 户．
14．（2024•南关区校级一模）如图，，与相交于点，且，，，那么的值为 ．
15．（2024•蜀山区模拟）如图所示，是的直径，弦，垂足为，过点作的切线交的延长线于点，若，，则 ．
16．（2024•朝阳区校级一模）为了传承中华文化，激发爱国情怀，提高文学素养，某中学七（3）班举办了“古诗词”大赛，现有小轩、小雯、小婷三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为，，且，，均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选于在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，则小婷同学在这六轮中，共有 轮获得了第三．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（2024•姑苏区校级一模）计算：．
18．（2024•雁塔区三模）解不等式组：．
19．（2024•海淀区一模）已知，求代数式的值．
20．（2024•雨花区一模）如图，已知，是的中点，于点，交于点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的面积．
21．（2024•盐田区一模）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
（1）求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
（2）3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
22．（2024•海淀区校级开学）在平面直角坐标系中，函数图象经过点和．
（1）求该函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于的，结合函数图象，直接写出的取值范围．
23．（2024•大兴区一模）种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：，并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
块试验田每公顷产量的频数分布表如下：
．试验田每公顷产量在这一组的是：7.55 7.55 7.57 7.58 7.59 7.59
．20块试验田每公顷产量的统计图如下：
（1）写出表中的值；
（2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为 ．
（3）下列推断合理的是 （填序号）；
①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占试验田总数的；
②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名．
（4）号试验田使用的是甲种种子，号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为及，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是 （填“甲”或“乙” ．
24．（2024•齐齐哈尔一模）如图，内接于，是的直径，点在上，且平分，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．（2024•绥化模拟）根据以下素材，探索完成任务一：
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由场馆匀速步行到场馆后原路原速返回，第二组由场馆匀速步行到场馆继续前行到场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为（单位：，两组离场馆的距离为（单位：，图中折线分别表示两组学生与之间的函数关系．
（1），两场馆之间的距离为 ；
（2）第二组步行的速度为 ；
（3）求第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间．
26．（2024•大兴区一模）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线．
（1）若，，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
27．（2024•邯郸模拟）如图1，已知点是等边内一点，且，，．
（1）求的度数；
以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：
甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点顺时针旋转或绕逆时针旋转；
乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转；
丙：我是将进行旋转．
请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数；
（2）若改成，，，的度数 ，点到的距离为 ；
类比迁移：
（3）如图2，已知，，，，，，求的度数．
28．（2024•长沙模拟）阅读材料，回答下列小题．
阅读材料
调和是射影几何重要不变量交比的一种特殊形式，早在古希腊，数学家们便发现了一组具有特殊比例关系的点列：调和点列．
我们定义：若一直线上依次存在四点，，，，满足，则称，，，为调和点列．从直线外一点引射线，，，，则称，，，为调和线束．
（1）如图1，过圆外一点作圆的切线，，并引圆的割线，设与交于点．
①求证：，，，是调和点列．
②求证：．
阅读材料2：阿波罗尼斯圆：对于平面上的两定点，和平面上一动点，若到和的距离之比为定值，则点的轨迹是一个圆，我们称该圆是点关于的“阿氏圆”．
（2）根据阅读材料1，2，回答①②小题．（本题图未给出）
①证明阿波罗尼斯圆，并确定该圆圆心的位置．
②若点关于的“阿氏圆”交于，，求证：，，，为调和点列．
（3）如图2，是平行四边形，是三角形的重心，点，在直线上，满足与垂直，与垂直．求证：平分．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】
【解答】解：．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：，
，
而，
，
即，所以①正确；
，
所以②正确；
，
而，所以③不正确；
、、三点共线，
，
，
，所以④正确．
所以，正确的结论有3个．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：根据不等式的基本性质1，将的两边同时加1，得，
、、不正确，不符合题意，
又，
，
正确，符合题意．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：．，解得，所以选项不符合题意；
．，解得，，所以选项符合题意；
．△，方程没有实数解，所以选项不符合题意；
．△，方程有两个相等的实数解，所以选项不符合题意．
故选：．
6．【解答】解：，
．
所以多边形的内角和为．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：将“水上大冲关”、“水枪大战”、“画肪游湖”、“龙舟竞渡”分别记为，，，，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小红和她的好朋友小丽选择相同活动的结果有4种，
小红和她的好朋友小丽选择相同活动的概率为．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，故①正确，
连接，则，
，，
，
，
，故②错误，
是内部的射线且，
，
，
，
，故③正确．
故选：．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】．
【解答】解：原式，
故答案为：．
10．【答案】．
【解答】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
11．【答案】．
【解答】解：
，
，
经检验：是原方程的解，
原方程的解为．
故答案为：．
12．【答案】．
【解答】解：点点关于轴对称，，
，
在正比例函数的图象上，
，
，
设反比例函数解析式为，
，
，
反比例函数解析式为，
故答案为：．
13．【答案】400．
【解答】解：（户，
估计用电量在第二档的家庭有400户，
故答案为：400．
14．【答案】．
【解答】解：，，
．
，
．
故答案为：．
15．【答案】．
【解答】解：连接，
是的直径，，，
，
，
，
与相切于点，
，
于点，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【解答】解：由题意可得：，
，
，，均为正整数，
若每轮比赛第一名得分为4，则最后得分最高的为，
必大于4，
又，
最小取3，
，
，，，
小轩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；
小雯同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；
小婷同学最后得分10分，4轮第二，2轮第三；
故答案为：2．
三、解答题（共12小题）
17．【答案】．
【解答】解：
．
18．【答案】．
【解答】解：，
解①，得；
解②，得．
原不等式组的解集为．
19．【答案】1．
【解答】解：，
，
．
20．【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：是的中点，，
，，
，
，，
在与中，
，
，
，
为线段的垂直平分线，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：过作于，
四边形为菱形，
，
，
，
，
的面积．
21．【答案】（1）文具店购进甲种笔记本80本，乙种笔记本90本；
（2）第二次购买乙种笔记本60本．
【解答】解：（1）设文具店购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，
根据题意得：，
解得，
，
文具店购进甲种笔记本80本，乙种笔记本90本；
（2）设第二次购买乙种笔记本本，根据题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
第二次购买乙种笔记本60本．
22．
【解答】解：（1）函数图象经过点和．
，
解得，
该函数的解析式为．
（2）把代入，得，
解得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于的，
．
23．【答案】（1）4；（2）7.55；（3）①；（4）乙．
【解答】解：（1）（块，
故答案为：4；
（2）将20块试验田每公顷产量数据从小到大排列，可知第10个和第11个数据数据均为7.55，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：7.55；
（3）①，所以①说法正确，
②从统计图可以看出，共有5块试验田，分别是1、3、5、6、17，其中1、5、6的试验田数据略高于3号，17号略小于3号，
所以3号田的数据从高到低排第4名，②说法错误，
故答案为：①；
（4）首先，从统计图可以看出，甲的数据主要分布于，乙的数据主要分布于，
所以与甲的数据相比，乙的数据波动较低，离散程度较低，数据更加稳定
其次，乙的平均数大于甲的平均数，
所以这个地区比较适合种植的种子是乙，
故答案为：乙．
24．【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【解答】（1）证明：连接，
切圆于，
，
平分，
，
，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
令，则，
，
，
，
．
25．【答案】任务一．
任务场馆门票的单价为50元，场馆门票的单价为40元；
任务2：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元；
任务3：购买10张场馆门票，6张场馆门票，24张场馆门票．
任务二．
（1）2；
（2）10；．
（3）第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间为0.8小时．
【解答】解：任务一．
任务1：设场馆门票为元张，场馆门票为元张．
由题意，得：．
解得：．
答：场馆门票的单价为50元，场馆门票的单价为40元．
任务2：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张．
依题意，得．解得．
设此次购买门票所需总金额为元，则
．
，
随的增大而减小．
，且为整数，
当时，取得最小值，最小值（元，
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
任务3：设购买场馆门票张，购买场馆门票张，则购买场馆门票张．根据题意，得：
．
．
．
．
．
、均为正整数，足够多，，
，，．
购买10张场馆门票，6张场馆门票，24张场馆门票．
任务二．
（1）由题意得：“”形状的函数图象表示第二组同学离场馆的距离与步行的时间的函数关系式，第二组由场馆匀速步行到场馆继续前行到场馆后原路原速返回．到达点处时对应轴上的数是2，
，两场馆之间的距离为2 ．
故答案为：2．
（2）由题意得：第二组同学步行的路程为：，步行用的时间为2小时，
步行的速度为
故答案为：10．
（3）第二组从场馆出发首次到达场馆所走的路程为，第二组的速度是，
第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间为．
答：第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间为0.8小时．
26．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线；（2）或．
【解答】解：（1），，
．
．
．
（2），、，是抛物线上任意两点，都有，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离．
．
，
．
．
①当时，
．
．
又，，
．
．
②当时，
又，
．
综上，或．
27．【答案】（1）；
（2）150，4；
（3）．
【解答】解：（1）如图1，将绕点逆时针旋转，得到△，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
（2）如图1，将绕点逆时针旋转，得到△，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
过作交的延长线于，
，
，
，
，
故点到的距离为4；
故答案为：150，4；
（3）如图2，把绕着点顺时针旋转，得到，连接，
是直角，，，，
，，
，，，
，
△是直角三角形，
，
．
28．【答案】（1）①见解答；
②见解答；
（2）①见解答；
②见解答；
（3）见解答．
【解答】解：（1）为解答过程简洁，记，，，，如图，
①证明：，是圆的切线，
由切线长定理，得，
由弦切角定理，得，，
在中，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
，
由正弦定理，，
，即，
，
，
，即，
，，，是调和点列；
②证明：由①知：，
；
（2）①以为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
设，，，，，
则由题意，得，
化简，得，
即，
显然，
故点的轨迹是以，为圆心，为半径的圆，其中且，
②证明：如图，
（反证法）不妨设，
由三角形内、外角平分线定理的逆定理，
得，分别为，的角平分线，
，即点轨迹是以为直径的圆，
故在“阿氏圆”中，
，，，为调和点列；
（3）连接交于点，
是平行四边形，
是，的中点，
是三角形的重心，
点在上，
与垂直，与垂直，
，
，，，四点共圆，且外接圆以为直径，
由相交弦定理，得，①
取的中点，
由，
，
，关于点对称，
，②
由①②得：，
，，，四点共圆，
又，
，
即平分考
生
须
知
1．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
3．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
月用电量（千瓦时户月）
户数（户
6
15
11
14
4
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小轩
27
小雯
11
小婷
10
每公顷产量
频数
3
2
6
5
如何设计购买方案？
素材1
某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买1张场馆门票和1张场馆门票共需90元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需230元．场馆门票为每张15元
素材2
由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票．
问题解决
任务1
确定场馆门票价格
求场馆和场馆的门票价格．
任务2
探究经费的使用
若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3
拟定购买方案
若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你直接写出购买方案．
购买方案
门票类型
购买数量张