2022年北京中考数学终极押题密卷2

这是一份2022年北京中考数学终极押题密卷2，共33页。


A．4B．3C．6D．5
2．（2分）（2022春•沭阳县校级月考）新冠肺炎疫情暴发以来，全国人民众志成城，共渡难关．据国家卫计委统计，截止2022年3月10日，我国累计报告接种新冠病毒疫苗共计约318000万剂次．数据318000万用科学记数法可表示为（ ）
A．31.8×104B．3.18×105C．3.18×108D．3.18×109
3．（2分）（2021秋•晋州市期末）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段AC的中点，点A，B对应的实数分别为﹣1和，则点C对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）（2021秋•江油市期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90°B．130°C．180°D．360°
5．（2分）（2022•中山市一模）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）（2021秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，点D是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD＝CD＝CF，则∠A＝（ ）
A．25°B．30°C．36°D．40°
7．（2分）（2021秋•泰和县期末）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）（2021秋•江油市期末）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．6mC．8mD．10m
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
10．（2分）（2021秋•香洲区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ．
11．（2分）（2022•门头沟区一模）如果关于x的方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
12．（2分）（2022•房山区一模）写出一个比大且比4小的无理数 ．
13．（2分）（2022•西城区校级一模）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
14．（2分）（2021秋•邵东市期末）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a﹣1，2），则a＝ ．
15．（2分）（2022•江北区开学）甲、乙两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：S甲2＝18，S乙2＝80，＝24，则成绩较为稳定的班级是 ．
16．（2分）（2021秋•汉寿县期末）小明买了6本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小明共花费 元（用含a，b的代数式表示）．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2022春•綦江区期中）计算下列各式：
（1）；
（2）．
18．（5分）（2022•河东区一模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
19．（5分）（2021秋•迁安市期末）先化简再求值：（，其中x＝．
20．（5分）（2021秋•枣阳市期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
21．（6分）（2022春•长沙期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，试求线段AB的长度．
22．（6分）（2021秋•宝山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）求tanB的值；
（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．
23．（5分）（2022春•上蔡县月考）已知点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）当点P在第一象限内时，则S关于x的函数解析式为 ，x的取值范围为 ，并在下面框中的平面直角坐标系中画出S关于x的函数图象．（不要求列表）
24．（6分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
25．（5分）（2022•河南一模）河南省对居民生活用电采用阶梯电价，鼓励居民节约用电，其中年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价0.56元/千瓦时；2160～3120千瓦时的部分按0.61元/千瓦时收费；超过3120千瓦时的部分按0.86元/千瓦时收费．为了解某小区居民生活用电情况．调查小组从该小区随机调查了200户居民的月平均用电量x（千瓦时），并将全部调查数据分组统计如下：
把这200个数据从小到大排列后，其中第96到第105（包含第96和第105这两个数据）个数据依次为：148 148 150 152 152 154 160 161 161 162
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，该小区居民月平均用电量的中位数为 ，表中a＝ ；
（2）估计该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比；
（3）国家在制订收费标准时，为了减轻居民用电负担，制订的收费标准能让85%的用户享受基础电价．请你根据以上信息对该小区居民的用电情况进行评价，并写出一条建议．
26．（6分）（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
27．（7分）（2022•江津区一模）等腰△ABC中，BA＝BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED＝2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．
（1）如图1，当∠EBC＝90°时，若∠BAD＝45°，BE＝2，求线段DC的长；
（2）如图2，当∠EBC＞90°时，过点F作FG⊥AC，分别交AC，AD于点G，H，若AD＝2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB﹣3BP＝DH；
（3）如图3，在（1）问的条件下，BE上取点O，BO＝，点M，N为线段BD上的两个动点（点M在点N的左侧），连接AN，将△AND绕点D逆时针旋转得到△A′N′D，若满足A′D⊥AN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出△OMP的面积．
28．（7分）（2022•海珠区校级模拟）如图，⊙O的内接三角形ABC中，AB＝AC，过点B作⊙O的切线，交CA延长线于D，过D作⊙O的另一条切线DE，切点为E，连接AE、BE、CE．
（1）求证：△DBA∽△DCB；
（2）判断AB•CE与AE•BC之间的数量关系，并给出证明；
（3）探究：在BC长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
2022年北京中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•周村区一模）一个由完全相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为（ ）
A．4B．3C．6D．5
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两层两列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1＝4个，
若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为4，
故选：A．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
2．（2分）（2022春•沭阳县校级月考）新冠肺炎疫情暴发以来，全国人民众志成城，共渡难关．据国家卫计委统计，截止2022年3月10日，我国累计报告接种新冠病毒疫苗共计约318000万剂次．数据318000万用科学记数法可表示为（ ）
A．31.8×104B．3.18×105C．3.18×108D．3.18×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：318000万＝3180000000＝3.18×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2021秋•晋州市期末）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段AC的中点，点A，B对应的实数分别为﹣1和，则点C对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【分析】先求得AB的长度，点B是线段AC的中点，即可得出BC的长，再用BC的长度加上可得出点C所对应的实数．
【解答】解：∵A、B两点对应的实数是﹣1和，
∴AB＝+1，
∵点B是线段AC的中点，
∴BC＝+1，
∴点C所对应的实数是：++1＝2+1，
故选：D．
【点评】本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．
4．（2分）（2021秋•江油市期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90°B．130°C．180°D．360°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，由四边形内角和是360°，即可求∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
【解答】解如图，连接AD，
∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠ADE+∠DAF，
∴∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，
∴∠BAD+∠B+∠C+∠CDA＝360°，
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
5．（2分）（2022•中山市一模）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
6．（2分）（2021秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，点D是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD＝CD＝CF，则∠A＝（ ）
A．25°B．30°C．36°D．40°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】由翻折可知，∠ACD＝∠CDF，由AD＝CD＝CF，推出∠A＝∠ACD，∠CDF＝∠CFD，根据∠CDF＝∠A+∠ACD＝2∠A，∠CFD＝∠B+∠BCF＝∠B+90°﹣2∠A，推出2∠A＝∠B+90°﹣2∠A，所以4∠A＝90°+∠B，再根据∠A+∠B＝90°，得到4∠A＝90°+90°﹣∠A，即可求出∠A＝36°．
【解答】解：由翻折可知，∠ACD＝∠CDF，
∵AD＝CD＝CF，
∴∠A＝∠ACD，∠CDF＝∠CFD，
∵∠CDF＝∠A+∠ACD＝2∠A，∠CFD＝∠B+∠BCF＝∠B+90°﹣2∠A，
∴2∠A＝∠B+90°﹣2∠A，
∴4∠A＝90°+∠B，
∵∠A+∠B＝90°，
∴4∠A＝90°+90°﹣∠A
∴∠A＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折问题，正确运用翻折的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
7．（2分）（2021秋•泰和县期末）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是（ ）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【专题】探究型．
【分析】先求出学生的总数，再求出可能出现的情况，求出其比值即可．
【解答】解：∵共有甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生，
∴随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2分）（2021秋•江油市期末）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．6mC．8mD．10m
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则﹣x2+x＝0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解．
【解答】解：由题意得x﹣2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】此题考查了分式概念问题的解决能力，关键是能根据分式有意义的条件得到x﹣2≠0，并进行求解．
10．（2分）（2021秋•香洲区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 20°或70° ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是40°，因而底角是70°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝40°，
所以∠B＝∠C＝20°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为20°或70°．
故答案为：20°或70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
11．（2分）（2022•门头沟区一模）如果关于x的方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＜1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4k＞0，
解得k＜1，
即k的取值范围是k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．（2分）（2022•房山区一模）写出一个比大且比4小的无理数 （答案不唯一） ．
【考点】实数大小比较；算术平方根；无理数．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据算术平方根的意义，可知4＝，再根据无理数的意义，即可解答．
【解答】解：∵＝4，
∴＜＜4，
∴一个比大且比4小的无理数是：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了无理数，实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根，以及无理数的意义是解题的关键．
13．（2分）（2022•西城区校级一模）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴DB＝OD＝2，
则半径OB＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．
14．（2分）（2021秋•邵东市期末）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a﹣1，2），则a＝ ﹣3 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到（a﹣1）•2＝﹣8，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得（a﹣1）•2＝﹣8，
解得a＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
15．（2分）（2022•江北区开学）甲、乙两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：S甲2＝18，S乙2＝80，＝24，则成绩较为稳定的班级是 甲 ．
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵S甲2＝18，S乙2＝80，
∴S甲2＜S乙2，
∴成绩较为稳定的班级是甲；
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的定义与意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．（2分）（2021秋•汉寿县期末）小明买了6本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小明共花费 （6a+10b） 元（用含a，b的代数式表示）．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据单价×数量＝总费用进行解答．
【解答】解：依题意得：小明共花费（6a+10b）元，
故答案是：（6a+10b）．
【点评】本题考查列代数式．解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2022春•綦江区期中）计算下列各式：
（1）；
（2）．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）先算乘方，求出算术平方根，立方根，去绝对值，再算加减即可；
（2）先去绝对值和括号，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣8+3﹣3+1
＝﹣7；
（2）原式＝
＝3﹣4．
【点评】本题考查实数运算，解题的关键是掌握求算术平方根，立方根及去绝对值等相关知识．
18．（5分）（2022•河东区一模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤5 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x≤5 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（Ⅰ）求出不等式①的解集即可；
（Ⅱ）求出不等式②的解集即可；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示即可；
（Ⅳ）找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
故答案为：x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤5；
故答案为：x≤5；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤5．
故答案为：﹣1≤x≤5．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19．（5分）（2021秋•迁安市期末）先化简再求值：（，其中x＝．
【考点】分式的化简求值；实数的运算．
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用算术平方根、立方根性质，以及二次根式乘法法则确定出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝﹣，
当x＝﹣3+﹣＝﹣3+3﹣＝﹣时，
原式＝﹣＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握各自的运算法则是解本题的关键．
20．（5分）（2021秋•枣阳市期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；几何直观．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC＝∠COD＝63°，再由得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
所以∠AGB的度数为108°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
21．（6分）（2022春•长沙期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，试求线段AB的长度．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：由题意可知，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，
则AB＝＝．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
22．（6分）（2021秋•宝山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）求tanB的值；
（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．先利用等腰三角形的性质求出BE，再利用勾股定理求出AE，最后在Rt△ABE中求出tanB的值；
（2）先利用直角三角形的边角间关系求出DE，再利用线段的和差关系求出CD..
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BE＝CE＝BC＝3．
在Rt△ABE中，
∵AE＝
＝
＝4，
∴tanB＝＝；
（2）在Rt△ADE中，
∵∠ADB＝30°，AE＝4，tan∠ADB＝，
∴DE＝＝＝＝4．
∴CD＝DE﹣CE
＝4﹣3．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
23．（5分）（2022春•上蔡县月考）已知点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）当点P在第一象限内时，则S关于x的函数解析式为 S＝﹣2x+10 ，x的取值范围为 0＜x＜5 ，并在下面框中的平面直角坐标系中画出S关于x的函数图象．（不要求列表）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入y＝﹣x+5得，y＝﹣2+5＝3，
∴点P（2，3），
∴S△AOP＝×4×3＝6；
（2）当S＝4时，即×4×|y|＝4，
∴y＝2或y＝﹣2，
当y＝2时，即2＝﹣x+5，
解得x＝3，
∴点P（3，2），
当y＝﹣2时，即﹣2＝﹣x+5，
解得x＝7，
∴点P（7，﹣2），
综上，点P的坐标为（3，2）或（7，﹣2）；
（3）由题意得，
S＝OA•|y|＝2y（y＞0），
∵直线y＝﹣x+5，点P在第一象限内，
当y＝0时，x＝5，当x＝0时，y＝5，
∴x的取值范围为0＜x＜5，
∴S＝2（﹣x+5）＝﹣2x+10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x+10（0＜x＜5），
画出的图象如图所示．
故答案为：S＝﹣2x+10，0＜x＜5．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
24．（6分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；应用意识．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，
OE2+CE2＝OC2，
即（5﹣r）2+32＝r2，
解得r＝3.4，
∴AE＝AB﹣BE＝3.4×2﹣5＝1.8，
答：AE的长为1.8．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提．
25．（5分）（2022•河南一模）河南省对居民生活用电采用阶梯电价，鼓励居民节约用电，其中年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价0.56元/千瓦时；2160～3120千瓦时的部分按0.61元/千瓦时收费；超过3120千瓦时的部分按0.86元/千瓦时收费．为了解某小区居民生活用电情况．调查小组从该小区随机调查了200户居民的月平均用电量x（千瓦时），并将全部调查数据分组统计如下：
把这200个数据从小到大排列后，其中第96到第105（包含第96和第105这两个数据）个数据依次为：148 148 150 152 152 154 160 161 161 162
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，该小区居民月平均用电量的中位数为 153 ，表中a＝ 70 ；
（2）估计该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比；
（3）国家在制订收费标准时，为了减轻居民用电负担，制订的收费标准能让85%的用户享受基础电价．请你根据以上信息对该小区居民的用电情况进行评价，并写出一条建议．
【考点】中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用．
【分析】（1）根据中位数的定义直接求中位数即可，根据总户数为200计算即可；
（2）根据年用电量为2160千瓦时，求出月平均电量为180千瓦时，再求能享受基础电价的户数为140，计算比例即可；
（3）根据（2）中的享受基础电价的居民占全小区的百分比与85%比较可知，该小区的用电量大．
【解答】解：（1）根据中位数的定义，中位数为按照从小到大排好顺序的数据的第100个和第101个数的平均值，
∴中位数为：＝153，
∵28+42+a+30+20+10＝200，
∴a＝70，
故答案为：153，70；
（2）年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价，
∴每月平均电量为2160÷12＝180（千瓦时），
从表中可知，200户中，能享受基础电价的户数为：28+42+70＝140，
∴该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比为：×100%＝70%；
（3）∵70%＜85%，
∴不能达到让85%的用户享受基础电价的目标，
故该小区用电量较多，应该节约用电，例如离开天气不是太热或太冷时少开空调．
【点评】本题考查数据的收集与整理、统计的应用，中位数的意义，理解各个数量之间的关系是正确解答的前提．
26．（6分）（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）把点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得出关于a的方程，解方程求出a的值，进而求出二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）先求出一次函数的解析式，把点（m，y1）代入一次函数解析式得出y1＝2m+5，把点（m+4，y2）代入二次函数解析式得出y2＝m2+6m+8，再由y1＞y2得出2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，利用二次函数的性质求出不等式的解集，即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，
解得：a＝1，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，
∴﹣2+b＝3，
∴b＝5，
∴y＝2x+5，
∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，
∴y1＝2m+5，
∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，
∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，
∵y1＞y2，
∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，
令y＝m2+4m+3，
当y＝0时，m2+4m+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），
∵抛物线开口项上，
∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，
∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解决问题的关键．
27．（7分）（2022•江津区一模）等腰△ABC中，BA＝BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED＝2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．
（1）如图1，当∠EBC＝90°时，若∠BAD＝45°，BE＝2，求线段DC的长；
（2）如图2，当∠EBC＞90°时，过点F作FG⊥AC，分别交AC，AD于点G，H，若AD＝2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB﹣3BP＝DH；
（3）如图3，在（1）问的条件下，BE上取点O，BO＝，点M，N为线段BD上的两个动点（点M在点N的左侧），连接AN，将△AND绕点D逆时针旋转得到△A′N′D，若满足A′D⊥AN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出△OMP的面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）解Rt△BED，求出BD，解Rt△ABD，求出AB，进而求得CD；
（2）根据角平分线性质，求得DF＝2BF，设BF＝a，表示出BD，AD，发现AD＝DF＝2a，进而证明△ADC≌△FDH，从而推出AB﹣DH＝3a，从而需证明BP＝BF，通过证明△BEP∽△DEF，从而证得∠EBP＝∠EDF，进而证得∠BPF＝∠BFP，进一步命题得证；
（3）由∠APD＝90°得出点P在以AD为直径的圆上，作点O关于BD的对称点F，连接圆心I与F的线段，交BD于M，交圆于P，根据△MBF∽△MDI，求得BM，作PH∥BD交BE于H，交AD于G，求出PG，从而求得PH，进而求出△POF和△MOF的面积，从而求得△OMP的面积．
【解答】（1）解：∵BE＝2，DE＝2BE，
∴DE＝4，
∴∠EBC＝90°，
∴BD＝＝＝6，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，
∴AB＝＝6，
∴BC＝AB＝6，
∴DC＝BC﹣BD＝6﹣6；
（2）证明：设BF＝a，则AD＝2a，
∵EF平分∠BED，
∴，
∵DE＝2BE，
∴DF＝2BF＝2a，
∴BD＝BF+DF＝3a，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝＝a，
∴BC＝AB＝a，
∴CD＝BC﹣BD＝a﹣3a，
∵∠HDF＝∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠CFG+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠CFH，
∵AD＝DF＝2a，
∴△ADC≌△FDH（ASA），
∴DH＝CD＝a﹣3a，
∴AB﹣DH＝a﹣（a﹣3a）＝3a，
∵P是EF的中点，
∴，
∵，
∴，
∵∠BEP＝∠DEF，
∴△EBP∽△EFD，
∴∠EBP＝∠EDF，
∵∠BFP＝∠DEF+∠EDF，
∠BPF＝∠BEP+∠EBP，
∴∠BFP＝∠BPF，
∴BP＝BF＝a，
∴AB﹣DH＝3BP，
∴AB﹣3BP＝DH；
（3）如图，
∵BE＝2，OB＝BE，
∴OB＝2，
∵A′D⊥AN，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，圆心记作I，
延长OB至F，使BF＝BO＝2，连接FI，交BD于M，交⊙I于P，
则OM+MP的值最小，
作PH⊥BE于H交AD于G，
∵EB∥AD，
∴＝＝，∠PIG＝∠F，
∵BD＝6，
∴BM＝，
∴sinF＝＝＝＝，
∴PG＝IP•sin∠PIG＝3×＝，
∴PH＝GH﹣PG＝6﹣，
∴S△POF＝＝（6﹣）＝12﹣，
∵S△MOF＝＝＝，
∴S△POM＝（12﹣）﹣＝﹣＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
28．（7分）（2022•海珠区校级模拟）如图，⊙O的内接三角形ABC中，AB＝AC，过点B作⊙O的切线，交CA延长线于D，过D作⊙O的另一条切线DE，切点为E，连接AE、BE、CE．
（1）求证：△DBA∽△DCB；
（2）判断AB•CE与AE•BC之间的数量关系，并给出证明；
（3）探究：在BC长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）作直径BF，连接AF，可得∠ABD+∠ABF＝∠F+∠ABF＝90°，∠F＝∠BCD，从而∠ABD＝∠BCD，进而证得△DBA∽△DCB；
（2）△DBA∽△DCB，＝，同理可得，＝，结合BD＝DE，进一步得出结果；
（3）作直径EF，连接BF，OD，作OG⊥CA于G，证明△ABE∽△GCE，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：如图1，
作直径BF，连接AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∵＝，
∴∠BCA＝∠F，
∴∠BCA+∠ABF＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBF＝90°，
∴∠ABD+∠ABF＝90°，
∴∠ABD＝∠BCA，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴△DBA∽△DCB；
（2）解：AB•CE＝AE•BC，理由如下：
由（1）得，
△DBA∽△DCB，
∴＝，
同理可得，
＝，
∵BD和DE是⊙O的切线，
∴BD＝DE，
∴＝，
∴＝，
∴AB•CE＝BC•AE；
（3）解：如图2，
作直径EF，连接BF，OD，作OG⊥CA于G，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠OE⊥DE，
∴∠DEO＝∠AGO＝90°，
∴点E、D、O、G共圆，
∴∠DOE＝∠DGE，
∵DB和DE是⊙O的切线，
∴BD＝DE，
∵OB＝OE，
∴OD⊥BE，
∵EF是⊙O的直径，
∴EB⊥BF，
∴OD∥BF，
∴∠DOE＝∠F，
∴∠DGE＝∠F，
∵四边形ABFE是⊙O的内接四边形，
∴∠F+∠BAE＝180°，
∴∠DGE+∠BAE＝180°，
∵∠CGE+∠DGE＝180°，
∴∠BAE＝∠CGE，
∵＝，
∴∠ABE＝∠ACE，
∴△ABE∽△GCE，
∴＝，
∵OG⊥AC，
∴AC＝2CG，
∵AB＝AC，
∴AB＝2CG，
∴＝＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，切线性质，圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形组别
60＜x≤100
100＜x≤140
140＜x≤180
180＜x≤220
220＜x≤260
260＜x≤300
频数（户数）
28
42
a
30
20
10
组别
60＜x≤100
100＜x≤140
140＜x≤180
180＜x≤220
220＜x≤260
260＜x≤300
频数（户数）
28
42
a
30
20
10