2024年河北省唐山市曹妃甸区中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年河北省唐山市曹妃甸区中考数学模拟试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.|−2|等于( )
A. 2B. −2C. ±2D. ±12
2.下列运算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. x−22=x3−4C. (x3)4=x7D. 2x2⋅x3=2x5
3.如图，从N地观测M地，发现M地在N地的北偏东30°29′方向上，则从M地观测N地，可知N地在M地的( )
A. 北偏东30°29′方向上
B. 南偏西30°29′方向上
C. 北偏东59°31′方向上
D. 南偏西59°31′方向上
4.如图，在三角形纸片ABC中，∠ADB=90°，把△ABC沿AD翻折180°，若点B落在点C的位置，则线段AD( )
A. 是边BC上的中线
B. 是边BC上的高
C. 是∠BAC的平分线
D. 以上三种都成立
5.某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为( )
A. baB. a+bC. 10a+bD. 10b+a
6.设a=39，则( )
A. 1.57.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面AB=48cm，则水的最大深度为( )
A. 8cm
B. 10cm
C. 16cm
D. 20cm
8.下列说法错误的是( )
A. 倒数和它本身相等的数，只有1和−1B. 相反数与本身相等的数只有0
C. 立方等于它本身的数只有0、1和−1D. 绝对值等于本身的数是正数
9.如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=31°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数等于( )
A. 28°
B. 29°
C. 30°
D. 31°
10.根据分式的基本性质可知，ab=b2( )
A. a2B. b2C. abD. ab2
11.已知四边形ABCD中AC=BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是( )
A. AC⊥BDB. ∠ABC=90°
C. AC与BD互相平分D. AB=BC
12.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．( )
A. 50B. 90C. 80D. 70
13.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a的值有4个；其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
14.如图，已知点A(−8,0)，B(2,0)，点C在直线y=−34x+4上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
15.如图，等腰梯形MNPQ的腰长为3，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合.现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN进行翻滚，翻滚到有一个顶点与N重合即停止滚动，求正方形在翻滚过程中点A所经过的路线长( )
A. 12π+ 22πB. π+ 2πC. 2π+2 2πD. π+ 22π
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
16.若1 x−2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
17.如图.在平面直角坐标系中▱ABCD的顶点分别为A(1,2)，B(4,2)，C(7,5)．
(1)点D的坐标为______．
(2)当正比例函数y=kx的图象平分▱ABCD面积时，k的值为______．
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M(−5,2)，N(−1,2)，已知点M在反比例函数y=kx的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′(n>1)．
(1)k的值为______；
(2)若在线段M′N′上总有在反比例函数y=kx图象上的点，则n的最大值为______．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示− 2，设点B所表示的数为m，
(1)求m的值．
(2)求|m−3|+m+2的值．
20.(本小题9分)
已知：AC与BD交于点O，AB=CD，AD=CB．
求证：OD=OB (规范证明过程)
证明：在△ABD和△CDB中，

∴△ABD≌△CDB ______
∴∠ ______=∠ ______
在△AOD和△COB中，

∴△AOD≌△COB ______
∴OD=OB．
21.(本小题9分)
中学生上网现象越来越受到社会的关注，小记者小慧随机调查了某校若干学生和家长对上网现象的看法制作了如下的统计图①和②.请根据相关信息，解答或补全下列问题．
(1)补全图①；
(2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
(3)该校共有1600名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对上网持“反对”态度的有多少名？
22.(本小题9分)
如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A，B(3,0)两点，交y轴于点C(0,3)．
(1)求抛物线解析式及A点坐标；
(2)将抛物线y=x2+bx+c向上平移3个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度，若新抛物线的顶点在△ABC内，求m的取值范围；
(3)点P为抛物线上一个动点，若∠ACB=∠BAP，直接写出点P的坐标．
23.(本小题9分)
如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF/​/ED交AB于点F，DC=DE．
(1)求证：四边形CDEF是菱形；
(2)若BC=3，CD=5，求AE的长；
(3)在(2)的条件下，求AG的长．
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
(1)求证：AC=AE；
(2)若AC=3，AB=5，求BD的长．
25.(本小题12分)
如图1，等边三角形纸片ABC中，AB=12，点D在边BC上(不与点B、C重合)，CD=4，点E在边AC上，将△CDE沿DE折叠得到△C′DE(其中点C′是点C的对应点)．
(1)当点C′落在AC上时，依题意补全图2，并指出C′D与AB的位置关系；
(1)如图3，当点C′落到∠ACB的平分线上时，判断四边形CDC′E的形状并说明理由；
(3)当点C′到AB的距离最小时，求CE的长；
(4)当A，C′，D三点共线时，直接写出∠AEC′的余弦值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−2|=2，
故选A．
根据绝对值的定义计算即可．
此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.【答案】D
【解析】解：x2与x3不是同类项，不能合并，
故A不符合题意；
x−22=x−4，
故B不符合题意；
(x3)4=x12，
故C不符合题意；
2x2⋅x3=2x5，
故D符合题意，
故选：D．
根据合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式运算法则分别判断即可．
本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得，M、N两点的正北向是两条平行线，
两个内错角都是30°29′，
∴N地在M地的南偏西30°29′方向上，
故选：B．
根据方位角定义找到基点结合上北下南左西右东及平行线性质即可得到答案．
本题主要考查方位角计算及平行线性质，解题的关键是掌握方位角在基点位置画出东南西北．
4.【答案】D
【解析】解：∵把△ABC沿AD翻折180°，若点B落在点C的位置，
∴AB=AC，BD=CD，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=12×180°=90°，
∴AD⊥BC，
∴线段AD是边BC上的中线，也是边BC上的高，还是∠BAC的平分线，
故选：D．
根据折叠的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，
∴新的两位数的十位数字为b，个位数字为a，这个新的两位数用代数式表示为10b+a，
故选：D．
列代数式的定义是把题目中与数量有关的词语，用含有数字字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式，根据意思代入即可．
本题考查列代数式的定义，解题的关键是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转换．
6.【答案】B
【解析】解：∵23=8，2.53=15.625，且8<9<15.625，
∴38<39<315.625，
∴2<39<2.5，
∴323<39<32.53，
∵a=39．
∴2故选：B．
根据3a3=a，323<39<32.53即可得出结论．
本题主要考查了无理数的估算，估算出39的取值范围是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=48cm，
∴BD=12AB=12×48=24cm，
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中，OD= 262−242=10cm，
∴CD=OC−OD=26−10=16(cm)，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了有理数的乘方，倒数的定义，绝对值的性质，相反数的定义，是基础题，熟记概念以及一些特殊数是解题的关键．
根据有理数的乘方，倒数的定义，相反数的定义，立方根的定义以及绝对值的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】
解：A、倒数和它本身相等的数，只有1和−1，正确；
B、相反数与本身相等的数只有0，正确；
C、立方等于它本身的数只有0、1和−1，正确；
D、绝对值等于本身的数是正数和0，原说法错误．
故选D．
9.【答案】A
【解析】解：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠COB=2∠A=2×31°=62°，
∴∠D=90°−62°=28°．
故选：A．
连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD=90°，再根据圆周角定理得∠COB=2∠A=62°，然后利用互余计算∠D的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了分式的性质．分式的分子分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．分子分母同乘b即可．
【解答】
解：根据分式的基本性质可知：ab=abb2，
故选：C．
11.【答案】C
【解析】解：四边形ABCD中AC=BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是AC与BD互相平分，理由如下：
∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：C．
四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，又由AC=BD，即可求得答案．
此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质．掌握对角线相等的平行四边形为矩形定理是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：设利润为w元，每顶头盔的售价为x元，
由题意可得：w=(x−50)[200+(80−x)×20]=−20(x−70)2+8000，
∴当x=70时，w取得最大值，
故选：D．
根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
13.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，
∴对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，
故①正确，
当x=−1时，0=a−b+c，
∴a+2a+c=0，
∴c=−3a，
∴2c=3b，
故②错误；
∵二次函数y=ax2−2ax−3a(a<0)，
∴点C(0,−3a)，
当BC=AB时，4= 9+9a2，
∴a=− 73，
当AC=BA时，4= 1+9a2，
∴a=− 153，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，
故③正确；
∵二次函数y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，
∴顶点D(1,−4a)，
∴BD2=4+16a2，BC2=9+9a2，CD2=a2+1，
若∠BDC=90°，可得BC2=BD2+CD2，
∴9+9a2=4+16a2+a2+1，
∴a=− 22，
若∠DCB=90°，可得BD2=CD2+BC2，
∴4+16a2=9+9a2+a2+1，
∴a=−1，
∴当△BCD是直角三角形时，a=−1或− 22，
∴a的值有2个，
故④错误，
故选：B．
由图象可得对称轴为直线x=−b2a=1，可得b=−2a，可判断①；将点A坐标代入解析式可得c=−3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求a=−1或− 22，可判断④，即可求解．
本题考查了二次函数图象与系数关系，掌握抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
14.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．
根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．
【解答】
解：如图，
①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W(−8,10)，
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S(2,2.5)，
③若∠C为直角
则点C在以线段AB为直径、AB中点E(−3,0)为圆心、5为半径的圆与直线y=−34x+4的交点上．
在直线y=−34x+4中，当x=0时y=4，即Q(0,4)，
当y=0时x=163，即点P(163,0)，
则PQ= 42+(163)2=203，
过AB中点E(−3,0)，作EF⊥直线l于点F，
则∠EFP=∠QOP=90°，
∵∠EPF=∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴EFQO=PEPQ，即EF4=3+163203，
解得：EF=5，
∴以线段AB为直径、E(−3,0)为圆心的圆与直线y=−34x+4恰好有一个交点．
所以直线y=−34x+4上有一点C满足∠C=90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，
故选：C．
15.【答案】A
【解析】解：作图如图；
∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，半径分别为1、 2，翻转角分别为90°、90°，
l=90°360∘2π×1+90°360∘2π× 2=12π+ 22π，
故选：A．
先根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，半径分别为1、 2，翻转角分别为90°、90°，据此画出图形．再结合总结的翻转角度和翻转半径，求出两端圆弧之和即可．
本题考查了弧长的计算、旋转的性质，作出图形并掌握弧长公式解题的关键．
16.【答案】x>2
【解析】解：由题意得：x−2>0，
解得：x>2，
故答案为：x>2．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
17.【答案】(4,5) 0.875
【解析】解：(1)∵A(1,2)，B(4,2)，
∴AB=3，
∵▱ABCD，
∴AB=CD=3，
∵C(7,5)
∴D(4,5)，
故答案为：(4,5)；
(2)设▱ABCD对角线交点为Q，则Q为对角线AC中点，
∵A(1,2)，C(7,5)，
∴Q(4,72)，
∵正比例函数y=kx的图象平分▱ABCD面积，
∴正比例函数y=kx的图象过Q(4,72)，
∴4k=72，
解得k=78，
故答案为：78．
(1)根据平行线的性质求解即可；
(2)根据平分▱ABCD面积必过对角线交点求解即可．
本题考查平行四边形的性质，求正比例函数解析式，解题的关键是根据平分平分▱ABCD面积必过对角线交点，再利用中点坐标公式求出O(4,72)．
18.【答案】−10 5
【解析】解：(1)把M(−5,2)代入y=kx得k=−5×2=−10；
故答案为：−10；
(2)∵以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M′N′(n>1)，
∴N′(−n,2n)，
当点N′落在反比例函数y=−10x上时，n的值最大，
∴−n⋅2n=−10，
解得n1= 5，n2=− 5(舍去)，
∴n的最大值为 5．
故答案为： 5．
(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值；
(2)利用关于原点为位似中心的点的坐标变换规律得到N′(−n,2n)，由于点N′落在反比例函数y=−10x上时，n的值最大，所以把N′点的坐标代入反比例函数解析式可得到n的最大值．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了反比例函数的性质．
19.【答案】解：(1)∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示− 2，点B所表示的数为m，
∴m=− 2+2；
(2)|m−3|+m+2
=|− 2+2−3|− 2+2+2
=1− 2− 2+4
=5．
【解析】(1)根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
(2)主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
20.【答案】(SSS)；1；2；(AAS)
【解析】证明：∵在△ABD和△CDB中
BD=BDAB=CDAD=BC
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
∴∠1=∠2，
在△AOD和△COB中
∠AOD=∠COB∠1=∠2AD=BC
∴△AOD≌△COB(AAS)，
∴OD=OB，
故答案为：(SSS)，1，2，(AAS)．
根据SSS推出△ABD≌△CDB，推出∠1=∠2，根据AAS推出△AOD≌△COB即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
21.【答案】解：(1)根据题意得：80÷20%=400(人)，
400+140+80+30=650(人)，
故这次调查的总人数为650人；
家长“反对”的人数为400−(40+80)=280(人)，
补全图1，如图所示：
(2)根据题意得：40400×360°=36°，
则图2中家长“赞成”的圆心角的度数为36°；
(3)1600×30140+30+30=240(人)，
答：估计全校持“反对意见”的学生约有240人．
【解析】(1)由家长“无所谓”的人数除以占的百分比求出调查的总家长数，再加上调查的学生数即是调查的总人数；进而求出家长“反对”的人数，补全图1即可；
(2)求出家长“赞成”的百分比，乘以360即可得到结果；
(3)用1600乘以调查的持“反对意见”的学生的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过B(3,0)，C(0,3)两点，
∴9+3b+c=0c=3，
解得：b=−4c=3，
∴该抛物线的解析式为y=x2−4x+3，
令y=0，得x2−4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴A(1,0)；
(2)∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴抛物线y=x2−4x+3向上平移3个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度，所得新抛物线为y=(x+m−2)2+2，
∴新抛物线的顶点坐标为D(2−m,2)，
设直线AC的解析式为y=k1x+d1，
则k1+d1=0d1=3，
解得：k1=−3d1=3，
∴直线AC的解析式为y=−3x+3，
同理可得：直线BC的解析式为y=−x+3，
当点D(2−m,2)在直线AC上时，2=−3(2−m)+3，
解得：m=53；
当点D(2−m,2)在直线BC上时，2=−(2−m)+3，
解得：m=1；
∵新抛物线的顶点D(2−m,2)在△ABC内，
∴m的取值范围为1(3)如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，
则∠AEC=∠PFA=90°
∵∠ACB=∠BAP，
∴△ACE∽△PAF，
∴PFAF=AECE，
∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=BCO=45°，BC= 2OB=3 2，
∵AB=OB−OA=3−1=2，∠AEB=90°，∠ABE=45°，
∴AE=BE= 2，
∴CE=BC−BE=2 2，
设点P(t,t2−4t+3)，
当点P在x轴上方时，
∵PFAF=AECE，
∴t2−4t+3t−1= 22 2，
解得：t1=1，t2=72，
∴P(72,54)；
当点P在x轴下方时，
∵PFAF=AECE，
∴−(t2−4t+3)t−1= 22 2，
解得：t1=1，t2=52，
∴P(52,−34)；
综上所述，点P的坐标为(72,54)或(52,−34).
【解析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线解析式，令y=0，解方程即可求得点A的坐标；
(2)根据题意可得：新抛物线的顶点坐标为D(2−m,2)，利用待定系数法求出直线AC和BC的解析式，分别求出当点D在AC或BC上时对应的m值，即可得出答案；
(3)如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，可证得△ACE∽△PAF，得出PFAF=AECE，设点P(t,t2−4t+3)，分两种情况：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求出对应的点P的坐标即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的顶点式，二次函数的图象及性质，抛物线的平移变换，相似三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论思想是解题关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵CF/​/ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC=DE．
∴四边形CDEF是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠DAE=90°，DA=BC=3，
∵四边形CDEF是菱形；
∴DE=DC=5，
∴AE= DE2−DA2= 52−32=4．
(3)解：如图，连接GF，

∵四边形CDEF是菱形，
∴CF=CD=5，
∵BC=3，
∴BF= CF2−BC2= 52−32=4，
∴AF=AB−BF=5−4=1，
在△CDG和△CFG中，
CD=CF∠DCG=∠FCGCG=CG，
∴△CDG≌△CFG(SAS)，
∴FG=GD，
∴FG=GD=AD−AG=3−AG，
在Rt△FGA中，
根据勾股定理，得：FG2=AF2+AG2，
∴(3−AG)2=12+AG2，
解得：AG=43．
【解析】(1)根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；
(2)在Rt△EAD中，利用勾股定理解答即可．
(3)连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG，然后根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
24.【答案】(1)证明：∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
DC=DEAD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，
∴AC=AE；
(2)解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC= AB2−AC2= 52−33=4，
由(1)知，DE=DC，AE=AC=3，
∴BE=AB−AE=2，
在Rt△BDE中，BD=BC−CD=4−DE，
由勾股定理得：BD2=BE2+DE2，
即(4−DE)2=22+DE2，
解得：DE=32，
∴BD=4−32=52．
【解析】(1)由角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定证得Rt△ADC≌Rt△ADE，由全等三角形的性质即可证得结论；
(2)由勾股定理求出BC，由(1)知DE=DC，AE=AC=3，得到BE=2，根据勾股定理求出DE，即可求得BD．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)补图如下：

C′D//AB，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，由折叠知，∠CC′D=∠C=60°，
∴∠CDC′=60°，
∴C′D//AB；
(2)四边形CDC′E的形状是菱形，理由如下：

由折叠知，CD=DC′，CE=EC′，
∴∠DCC′=∠DC′C，∠ECC′=∠EC′C，
∵点C′落到∠ACB的平分线上，
在△CDC′和△CEC′中，
∠DCC′=∠ECC′CC′=CC′∠DC′C=∠EC′C，
∴△CDC′≌△CEC′(ASA)，
∴CD=DC′=CE=EC′，
∴四边形CDC′E的形状是菱形；
(3)由题意知，当点C′到AB的距离最小时，DC′的延长线垂直AB于点F，
过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠B=60°，∠BFD=90°，
∴∠FDC=150°，
由折叠知，∠CDE=12∠FDC=75°，
∵∠C=60°，∠DHC=90°，
∴∠HDC=30°，
∴∠EDH=∠CDE−∠HDC=75°−30°=45°，
∵CD=4，
∴CH=12CD=2，DH=2 3，
∵△EDH为等腰直角三角形，
∴EH=DH=2 3，
∴CE=CH+EH=2+2 3；
(4)过点D作DF⊥AB于点F，

由折叠知，∠DC′E=∠C=60°，
∴∠DAC+∠AEC′=60°，
∵∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠AEC′，
∵∠B=60°，∠BFD=90°，
∴BF=12BD=12(12−4)=4，
∴DF= BD2−BF2=4 3，AF=AB−BF=12−4=8，
∴AD= AF2+DF2=4 7，
∴cs∠AEC′=cs∠BAD=AFAD=84 7=2 77．
【解析】(1)根据题意补图即可；
(2)根据角平分线的性质和折叠的性质证△CDC′≌△CEC′(ASA)，然后得出CD=CE=EC′=DC′即可得出结论；
(3)当点C′到AB的距离最小时，DC′的延长线垂直于AB，求出此时CE的长度即可；
(4)作DF⊥AB于点F，利用勾股定理分别求出DF和AD的值，再根据角相等得出结论即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定，等边三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．