[数学]河北省唐山市曹妃甸区2024年中考模拟试题(解析版)

这是一份[数学]河北省唐山市曹妃甸区2024年中考模拟试题(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 等于（ ）
A. 2B. －2
C. ±2D.
【答案】A
【解析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点－2到原点的距离是2，所以－2的绝对值是2，
故选A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3. 如图，从地观测地，发现地在地的北偏东方向上，则从地观测地，可知地在地的（ ）
A. 北偏东方向上B. 南偏西方向上
C. 北偏东方向上D. 南偏西方向上
【答案】B
【解析】由题意可得，
，
∴地在地的南偏西方向上，故选B．
4. 如图，在三角形纸片中，，把沿翻折，若点B落在点C的位置，则线段（ ）．
A. 是边上的中线B. 是边上的高
C. 是的平分线D. 以上三种都成立
【答案】D
【解析】∵把沿翻折，若点B落在点C的位置，
∴，
∴，
∴线段是边上的中线，也是边上的高，还是的平分线，
故选D．
5. 某两位数，十位数字为，个位数字为，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵十位数字为，个位数字为，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，
∴新的两位数的十位数字为，个位数字为，这个新的两位数用代数式表示为，
故选：D．
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
即
∵，，
∴，
即，
∴，
即，
故选：B．
7. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴水的最大深度为，故选：．
8. 下列说法错误的是（ ）
A. 倒数和它本身相等的数，只有和B. 相反数与本身相等的数只有
C. 立方等于它本身的数只有、和D. 绝对值等于本身的数是正数
【答案】D
【解析】A．倒数和它本身相等的数，只有1和﹣1，正确，故本选项错误；
B．相反数与本身相等的数只有0，正确，故本选项错误；
C．立方等于它本身的数只有0、1和﹣1，正确，故本选项错误；
D．绝对值等于本身的数是正数和0，原说法错误，故本选项正确．
故选D．
9. 如图、是的两条弦，，过点的切线与的延长线交于点，则的度数等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，如图，
为切线，
，
，
，
．
故选：A．

10. 根据分式的基本性质可知，＝ ( )
A. a2B. b2C. abD. ab2
【答案】C
【解析】∵分式的分子和分母同时乘以或除以同一个部位0的整式，分式的值不变，
∴＝，
故选C．
11. 已知四边形中，再补充一个条件使得四边形是矩形，这个条件可以是（ ）
A. B.
C. 与互相平分D.
【答案】C
【解析】四边形ABCD中AC=BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是AC与BD互相平分，理由如下：
∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
若或或都不能证明四边形ABCD是矩形，
故选：C．
12. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A. 50B. 90C. 80D. 70
【答案】D
【解析】设降价元，每月获得最大利润为，则
，
，
抛物线开口向下，即当时，有最大值，
该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元，
故选：D．
13. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】二次函数的图象与轴交于两点，
对称轴为直线，
，
，
故①正确，
当时，，
，
，
，
故②错误；
二次函数，
点，
当时，，
，
当时，，
，
当是等腰三角形时，的值有个，
故③正确；
二次函数，
顶点，
，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
当是直角三角形时，或，
的值有个，
故④错误，
故选：B．
14. 如图，已知点，点在直线上，则使是直角三角形的点的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】如图，
①当为直角时，当时，，
则过点作垂线与直线的交点，
②当为直角时，当时，，
则过点作垂线与直线的交点，
③若为直角，则点在以线段为直径，中点为圆心，5为半径的圆与直线的交点上．
在直线中，当时，即，
当时，即点，
则，
过中点，作直线于点，
则，
，，
，即，
解得：，则为半径，即点在圆上，
以线段为直径，为圆心的圆与直线恰好有一个交点．
所以直线上有一点满足．
综上所述，使是直角三角形的点的个数为3，
故选：C．
15. 如图，等腰梯形的腰长为3，正方形的边长为1，它的一边在上，且顶点A与M重合．现将正方形在梯形的外面沿边进行翻滚，翻滚到有一个顶点与N重合即停止滚动，求正方形在翻滚过程中点A所经过的路线长（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】作图如图；
∵点绕点翻滚，然后绕点翻滚，半径分别为1、，翻转角分别为、，
，
故选：A．
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分．
16. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】x＞2
【解析】∵在实数范围内有意义
∴由题意得＞0，
解得，
故答案为：．
17. 如图．在平面直角坐标系中的项点分别为．
（1）点的坐标为______．
（2）当正比例函数的图像平分面积时，的值为______．
【答案】
【解析】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故答案为：；
（2）设对角线交点为，则为对角线中点
∵，，
∴，
∵正比例函数的图像平分面积，
∴正比例函数的图像过，
∴，解得．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（–5，2），N（–1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段．
（1）k值为________；
（2）若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为________；
【答案】 –10
【解析】（1）∵点M（–5，2）反比例函数的图象上，
∴k=–5×2=-10，
故答案为：-10；
（2）∵k=-10，
∴反比例函数的解析式为y=-，
如图，作射线ON，交y=-于点N′，
设ON的解析式为y=mx，
把N（–1，2）代入得：2=-m，
解得m=-2，
∴ON的解析式为y=-2x，
解方程-2x=-得x=，
由于点N′在第二象限，
∴点N′（–，2），
∴n==，
又∵n>1，
∴1∴n的最大值为，
故答案为：．
三、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值.
（2）求丨m﹣3丨+m+2的值.
解：（1）蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，
点B表示的数比点A表示的数大２，
点A表示的数为，点B表示的数为m，
．
（2）,
=
=
=5．
20. 已知：与交于点，，．求证：（规范证明过程）

证明：在和中，

∴________
∴________________
在和中，

∴________
∴．
解：在和中，
，
∴；
∴，
在和中，
，
∴；
∴．
21. 中学生上网现象越来越受到社会的关注，小记者小慧随机调查了某校若干学生和家长对上网现象的看法制作了如下的统计图1和2．请根据相关信息，解答或补全下列问题．
（1）补全图1；
（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）该校共有1600名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对上网持“反对”态度的有多少名？
解：(1)根据题意得：80÷20%=400(人)，400+140+80+30=650(人)，
故这次调查的总人数为650人；
家长“反对”的人数为400-(40+80)=280(人)，
补全图1，如图所示：
(2)根据题意得：×360°=36°，
则图2中家长“赞成”的圆心角的度数为36°；
(3)1600×=240(人)，
答：估计全校持“反对意见”的学生约有240人．
22. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点
（1）求抛物线解析式及A点坐标；
（2）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线顶点在内，求m的取值范围；
（3）点P为抛物线上一个动点，若，直接写出点P的坐标．
解：（1）将分别代入，
可得，解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴，，
∴；
（2）由（1）知，
∴该抛物线的顶点为（2，-1），
∴将此抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移）个单位长度，
∴新抛物线的顶点坐标为，
∵，
设直线的解析式为，
把点代入得：，解得：
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
当点M在直线上时，，解得：，
当点M在直线上时，，解得：，
∴点M在内时， ；
（3） 如图，过点A作，垂足为E，过点P作轴，垂足为F．
∵， ，A（1，0），
∴OB=OC=3，AB=2，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴∠AEC=∠AFP=90°，
∵，
∴，
∴，
∴，即PF=2AF，
设，则AF=a-1，
①当点P在x轴上方时，，
∴，解得或（舍去），
∴；
②当点P在x轴下方时，
，解得或（舍去），
∴；
综上所述：存在这样的点P有两个，坐标分别为或．
23. 如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接交于点G，作交于点F，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，求的长．
解：（1）∵四边形为矩形，
∴，即．
∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）∵，四边形矩形，四边形为菱形，
∴，，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝3，AB＝5，求BD的长．
（1）证明：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE；
（2）解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝＝4，
由（1）知，DE＝DC，AE＝AC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
在Rt△BDE中，BD＝BC﹣CD＝4﹣DE，
由勾股定理得：BD2＝BE2+DE2，
即（4﹣DE）2＝22+DE2，
解得：DE＝，
∴BD＝4﹣＝．
25. 如图1，等边三角形纸片中，，点D在边上（不与点B、C重合），，点E在边上，将沿折叠得到（其中点是点C的对应点）．

（1）当点落在上时，依题意补全图2，并指出与的位置关系；
（2）如图3，当点落到的平分线上时，判断四边形的形状并说明理由；
（3）当点到的距离最小时，求的长；
（4）当A，，D三点共线时，直接写出的余弦值．
解：（1）补全图形如图所示，与的位置关系：．
理由：∵是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴；

（2）四边形为菱形；
理由：如图，由折叠的性质可知，，且垂直平分，设交于点G，
∴，，
又平分，
即，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．

（3）如图，过点D作，垂足为点F，
∵，
∴点在以点D为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点为圆D与的交点时，点到的距离最小，

∵，
∴，
则由折叠的性质可知，
在中，，
∴，
过点D作于点H，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（4）当A，，D三点共线时，如图，作于M，交的延长线于点N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴，

设，
∵，∴，
∴，∴，
在直角三角形中，有，
则，整理，得，
∵，∴，
∴，
∴，，
∴．