2023-2024学年江苏省泰州市泰兴实验初中教育集团九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市泰兴实验初中教育集团九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.27的立方根是( )
A. 9B. 3C. ±9D. ±3
2.下列运算正确的是( )
A. 3a2+2a4=5a6B. a2⋅a3=a6C. (2a2)3=6a6D. (−2a3)2=4a6
3.一组数据5，3，6，6，6，1，4，若去掉一个数据，则下列统计量一定不发生变化的是( )
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
4.2sin60°的值等于( )
A. 3B. 33C. 22D. 12
5.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作AC//PB交⊙O于点C，连接BC，若∠P=α，则∠PBC的度数为( )
A. 90°+12α
B. 90°−12α
C. 180°−α
D. 180°−12α
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则一次函数y=ax−b和反比例函数y=cx的图象为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.2024年我国国内旅游人数将超过6000000000人次.经济呈乐观发展态势，将6000000000用科学记数法表示是______．
8.若a2=b3=c4≠0，则a+bc=______．
9.分解因式：a2−ab=______．
10.已知−1是方程x2+ax−b=0的一个根，则a2−b2+2b的值为______．
11.方程2x+3=1x−1的解是______．
12.已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：
若a”“<”或“=”)
13.式子1 x−1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是______．
14.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是( 3,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积是______．
15.设x1、x2是方程x2−3x+2=0的两个根，则x1+x2−x1⋅x2= ．
16.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为P，连接AP，若AB=12，AP=10，则a的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)|−2024|+π0−(16)−1+ 16；
(2)解方程组x+2y=52x+y=−2．
18.(本小题6分)
计算m2−1m÷(m+2m+1m)．
19.(本小题8分)
解不等式组4(x+1)≤7x+10x−520.(本小题10分)
如图，点D、E、F分别在边长为4的等边△ABC的三边AB、AC、BC上，且DE⊥EF，∠DFE=60°．
(1)求证：△DBF∽△FCE；
(2)若AE=3，求BF的长．
21.(本小题10分)
如图为在地面上水平放置的某圆柱形垃圾桶的侧面示意图，其中矩形ABF′E表示该垃圾桶的桶盖，已知DE=30cm，AB=20cm，AE=1.5cm.在打开垃圾桶盖的过程中，当开口∠FEF′=50°时，求此时垃圾桶的最高点B到地面的距离(精确到0.1cm).(参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19)
22.(本小题10分)
操作题：如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AD平分∠BAC，P是⊙O上一点．
(1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使PB=PC；
(2)在(1)的条件下，当BC=8，圆的半径为5的时候，求S△PBC的面积．
23.(本小题12分)
【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2Ω)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为I=UR+RL，通过实验得出如下数据：

(1)a= ______，b= ______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2(x≥0)，结合表格信息，探究函数y=12x+2(x≥0)的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2(x≥0)的图象；

②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______．
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥−x+6的解集为______．
24.(本小题12分)
已知：二次函数y=x2+bx+c的顶点P在直线y=−4x上，并且图象经过点A(−1,0)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)D是线段BP上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，E点的坐标为(a,0)，△DCE的面积为S．
①求△DCE的面积S的最大值；
②在BP上是否存在点D，使△DCE为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
25.(本小题14分)
某玩具公司对一款长90厘米的玩具火车做性能测试.现有一斜坡轨道AB，如图玩具火车从A点匀速出发，途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经过测速点.火车头到达B点时火车停留了2秒，然后进行倒车测试，火车匀速倒回点A运动停止.设运动时间为t秒，车尾离A的距离为m厘米，车头离B的距离为n厘米，记y=m−n，已知火车从A向B运动过程中，t=7和t=9的时候与之对应的y的值互为相反数.火车从点A出发到倒回到点A，整个过程总用时36秒(含停留时间)．
(1)火车从A向B运动的速度为______厘米/秒；
(2)轨道AB的长为______厘米；
(3)求火车倒回过程中y与t的函数表达式；
(4)在整个过程中，若y=360，求t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
故选：B．
如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
2.【答案】D
【解析】解：A.3a2与2a4不是同类项，不能加减，故选项A计算错误；
B.a2⋅a3=a5≠a6，故选项B计算错误；
C.(2a2)3=8a6≠6a6，故选项C计算错误；
D.(−2a3)2=4a6，故选项D计算正确．
故选：D．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则等知识点是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵数据5，3，6，6，6，1，4中，6出现了3次，
∴这组数据的众数为6，
去了一个6后，这组数据中，6出现了2次，众数仍然是6，
若去掉的是其他数字，这组数据中，6出现了3次，众数仍然是6，
∴众数没有变化，平均数，中位数，方差都发生了变化，
故选：B．
根据众数，中位数，平均数，方差的定义判断即可．
此题主要考查统计的有关知识，熟练掌握众数，中位数，平均数，方差的定义是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：2sin60°=2× 32= 3，
故选：A．
根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握sin60°的值是正确计算的关键．
5.【答案】A
【解析】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°，
∴∠AOB=180°−α，
∴∠C=12∠AOB=90°−12α，
∵AC//PB，
∴∠PBC+∠C=180°，
∴∠PBC=180°−(90°−12α)=90°+12α.
故选：A．
连接OA，OB，由PA，PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，即可求出∠AOB，由圆周角定理求出∠C，由平行线的性质即可求出∠PBC．
本题考查切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，关键是由切线的性质定理，圆周角定理求出∠C．
6.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下，
∴a<0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴−b2a>0，
∴b>0，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c<0，
∴一次函数y=ax−b的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y=cx的图象在二、四象限．
故选：B．
直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案即可．
本题考查反比例函数、一次函数、二次函数的图象，解题的关键是直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围．
7.【答案】6×109
【解析】解：6000000000=6×109，
故答案为：6×109．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此进行求解即可得到答案，
本题主要考查了科学记数法，解题的关键是：熟记科学记数法的规则．
8.【答案】54
【解析】解：设a2=b3=c4=k≠0，
则a=2k，b=3k，c=4k，
所以a+bc=2k+3k4k=54．
故答案是：54．
根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果．
本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
9.【答案】a(a−b)
【解析】解：a2−ab=a(a−b)．
直接把公因式a提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
10.【答案】1
【解析】解：∵−1是方程x2+ax−b=0的一个根，
∴1−a−b=0．
∴a+b=1．
∴a2−b2+2b=(a+b)(a−b)+2b=a−b+2b=a+b=1．
故答案是：1．
先根据一元二次方程的解的定义得到1−a−b=0，即a+b=4，然后利用整体代入的方法计算代数式a2−b2+2b的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根．
11.【答案】x=5
【解析】解：在方程两侧同时乘以最简公分母(x+3)(x−1)去分母得，
2x−2=x+3，
解得x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5．
在方程两侧同时乘以最简公分母(x+3)(x−1)去掉分母转化为整式方程，求出解即可．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12.【答案】<
【解析】解：∵−2<−1，a∴每个象限内，y随x的增大而增大，
∵1<2，
∴m故答案为：<．
根据反比例函数的变化性质判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．
13.【答案】x>1
【解析】解：由题意，得
x−1>0，
解得x>1，
故答案为：x>1．
根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．
14.【答案】2 3
【解析】解：∵A，B两点的坐标分别是( 3,0)，(0,1)，
∴OA= 3,OB=1，
∵四边形ABCD是菱形，且点C，D在坐标轴上，
∴AC=2OA=2 3,BD=2OB=2，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×2 3×2=2 3，
故答案为：2 3．
先根据点A和点B的坐标得到OA= 3,OB=1，再由菱形的性质得到AC=2OA=2 3,BD=2OB=2，据此利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：x1、x2是方程x2−3x+2=0的两个根，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=2，
∴x1+x2−x1⋅x2=3−2=1；
故答案为1；
由一元二次方程根与系数的关系可知x1+x2=3，x1⋅x2=2，代入计算即可；
本题考查一元二次方程根与系数的关系
16.【答案】−29
【解析】解：如图所示，过点P作PH⊥AB于H，则AH=BH=12AB=6，
∵AP=10，
∴PH= AP2−AH2=8，
设P(m,8)，则A(m−6,0)，则抛物线解析式为y=a(x−m)2+8，
∴a(m−6−m)2+8=0，
解得a=−29，
故答案为：−29．
过点P作PH⊥AB于H，则AH=BH=12AB=6，利用勾股定理求出PH= AP2−AH2=8，设P(m,8)，则A(m−6,0)，则抛物线解析式为y=a(x−m)2+8，把点A坐标代入解析式中求解即可．
本题主要考查了二次函数图象的性质，勾股定理，求出点A坐标是解题的关键．
17.【答案】解：(1)|−2024|+π0−(16)−1+ 16
=2024+1−6+4
=2023；
(2)x+2y①2x+y=−2②
②×2−①得：3x=−9，解得x=−3，
把x=−3代入①得：−3+2y=5，解得y=4，
∴方程组的解为x=−3y=4．
【解析】(1)先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方公式，再计算绝对值，最后计算加减法即可；
(2)利用加减消元法解方程组即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂等等．
18.【答案】解：m2−1m÷(m+2m+1m)
=m2−1m÷(m2m+2m+1m)
=m2−1m÷m2+2m+1m
=(m+1)(m−1)m⋅m(m+1)2
=m−1m+1．
【解析】先算括号里面的，再算除法，最后化简．
本题考查了分式的混合运算，掌握因式分解是解题的关键．
19.【答案】解：解不等式4(x+1)≤7x+10，得：x≥−2，
解不等式x−5则不等式组的解集为：−2≤x<72
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BDF+∠BFD=120°，
∵∠DFE=60°，
∴∠BFD+∠CFE=120°，
∴∠BDF=∠CFE，
∴△DBF∽△FCE；
(2)解：∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AC=BC=4，
∵AE=3，
∴CE=1，
∵DE⊥EF，∠DFE=60°，
∴DF=EFcs∠DFE=2EF，
∵△DBF∽△FCE，
∴BFCE=DFEF=2，
∴BF=2CE=2．
【解析】(1)先由等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，再由三角形内角和定理和平角的定义证明∠BDF=∠CFE，即可证明△DBF∽△FCE；
(2)先求出CE=1，再解直角三角形得到DF=2EF，利用相似三角形的性质得到BFCE=DFEF=2，则BF=2CE=2．
本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
21.【答案】解：过B作BH⊥DC，交EF于M，交EF′于N，如图所示：

∵∠F′=∠NME=90°，∠MNE=∠BNF′，
∴∠NBF′=∠FEF′=50°，
在Rt△BF′N中，BF′=AE=1.5cm，∠NBF′=∠FEF′=50°，
∴BN=BF′cs50∘≈(cm)，
NF′=BF′⋅tan50°≈1.5×1.19=1.79(cm)，
在矩形ABF′E中，EF′=AB=20cm，
在Rt△NME中，EN=EF′−NF′=20−1.79=18.21(cm)，
∴NM=EN⋅sin50°≈18.21×0.77=14.02(cm)，
∵MH=ED=30cm，
∴BH=BN+NM+MH=2.34+14.02+30≈46.4(cm)．
即垃圾桶的最高点B到底面的距离约为46.4cm．
【解析】过B作BH⊥DC，交EF于M，交EF′于N，根据三角函数的定义分别求出BN=BF′cs50∘≈，NM=EN⋅sin50°≈18.21×0.77=14.02cm，然后相加即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形函数的定义．
22.【答案】解：(1)如图所示，连接DO并延长交⊙O于点P，点O即为所求，

由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∴弧BP=弧CP，
∴PB=PC；
(2)设DP交BC于H，连接OB，

角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，则弧BD=弧CD，
∴PD⊥BC，
∴BH=12BC=4，
∴OH= OB2−BH2=3，
∴PH=8，
∴S△PBC=12BC⋅PH=12×8×8=32．
【解析】(1)如图所示，连接DO并延长交⊙O于点P，点O即为所求；
(2)先由垂径定理的推论得到PD⊥BC，再利用勾股定理求出OH的长，进而求出PD⊥BC的长，即可根据三角形面积公式求出答案．
本题主要考查了作图，掌握弧与弦，圆周角之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理是解题的关键．
23.【答案】3 4 不断减小 x≥4或x=0
【解析】解：(1)根据题意得：2.4=12a+2，b=121+2，
∴a=3，b=4，
故答案为：3，4，
(2)①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数y=12x+2(x≥0)的图象如图1：
②由图象可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小，
故答案为：不断减小；
(3)作函数y=−x+6的图象，如图2，
由函数图象可知，
当x≥4或x=0时，12x+2≥−x+6，
即当x≥0时，12x+2≥−x+6的解集为：x≥4或x=0，
故答案为：x≥4或x=0．
(1)由已知列出方程，即可求解，
(2)①用描点法，画出图象，②根据烦你里函数的图象性质，即可求解，
(3)作函数y=−x+6的图象，根据图象，即可求解．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．
24.【答案】解：(1)设抛物线顶点坐标为(m,−4m)，则抛物线解析式为y=(x−m)2−4m，
把A(−1,0)代入y=(x−m)2−4m中得：(−1−m)2−4m=0，
解得m=1，
∴抛物线解析式为y=(x−1)2−4=x2−2x−3；
(2)①由(1)得点P坐标为(1,−4)
在y=x2−2x−3中，当y=x2−2x−3=0时，
解得x=−1或x=3，
∴B(3,0)，
设直线BC解析式为y=kx+b′，
∴k+b′=−43k+b′=0，
∴k=2b′=−6，
∴直线BC解析式为y=2x−6，
∵DE⊥x，E点的坐标为(a,0)，
∴D(a,2a−6)，
∴DE=6−2a，
∴S△CDE=12DE⋅OE=12a(6−2a)=−(a−32)2+94，
∵−1<0，
∴当a=32时，S△CDE有最大值，最大值为94；
②在y=x2−2x−3中，当x=0时，y=−3，
∴C(0,−3)；
∵DE⊥x，E点的坐标为(a,0)，
∴D(a,2a−6)，
∴CE2=a2+32=a2+9，DE2=(6−2a)2=4a2−24a+36，CD2=(a−0)2+(2a−6+3)2=5a2−12a+9，
当∠DCE=90°时，则CE2+CD2=DE2，
∴5a2−12a+9+a2+9=4a2−24a+36，
解得a=−3+3 2或a=−3−3 2(舍去)，
∴点D的坐标为(−3+3 2,6 2−12)；
当∠CDE=90°时，则CE2=CD2+DE2，
∴5a2−12a+9+4a2−24a+36=a2+9，2a2−9a+9=0，
解得a=32或a=3(舍去)，
∴点D的坐标为(32,−3)；
综上所述，点D的坐标为(−3+3 2,6 2−12)或(32,−3)．
【解析】(1)设抛物线顶点坐标为(m,−4m)，则抛物线解析式为y=(x−m)2−4m，然后代入点A坐标进行求解即可；
(2)①由(1)得点P坐标为(1,−4)，先求出点B坐标，进而求出直线BP解析式，从而得到点D的坐标，则DE=6−2a，则S△CDE=12DE⋅OE=12a(6−2a)=−(a−32)2+94，由此利用二次函数的性质求解即可；②先求出点C的坐标，再利用勾股定理求出CD2，CE2，DE2，再分∠CDE=90°，∠DCE=90°，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
25.【答案】45 810
【解析】解：(1)设火车从A向B运动的速度为x厘米/秒，
由题意得，2x=90，
解得x=45，
∴火车从A向B运动的速度为45厘米/秒，
故答案为：45；
(2)火车由A→B时m=45t，
∵m+90+n=AB，
∴n=AB−45t−90，
∴y=m−n=45t−AB+45t+90=90t+90−AB，
∵t=7和t=9时y的值互为相反数，
∴90×7+90−AB+90×9+90−AB=0，
∴AB=810，
故答案为：810；
(3)∵tA→B=810−9045=16(秒)，
∴tB→A=36−16−2=18(秒)，
∴VB→A=810−9018=40(厘米)，
∴当18≤t≤36时 n=40(t−18)，m=810−90−40(t−18)=1440−40t，
∴y=m−n=1440−40t−40(t−18)=−80t+2160；
(4)当18≤t≤36时，−80t+2160=360，
解得t=22.5；
当0≤t≤16时，
y=m−n=45t−(810−90−45t)=90t−720，
令y=360，
解得t=12，
综上t的值为12秒或22.5秒．
(1)设火车从A向B运动的速度为x厘米/秒，根据途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经过测速点列出方程求解即可；
(2)根据(1)所求可得火车由A→B时m=45t，进而得到n=AB−45t−90，则y=90t+90−AB，再根据t=7和t=9的时候与之对应的y的值互为相反数列出方程求解即可；
(3)先求出由A到B的时间，进而求出由B到A的时间，从而求出由B到A的速度，进而表示出由B到A过程中m和n即可得到答案；
(4)分由A到B和由B到A两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键是列函数关系式，求自变量的值．x
…
−2
−1
1
2
…
y
…
a
b
m
n
…
R/Ω
…
1
2
a
4
6
…
I/A
…
b
3
2.4
2
1.5
…