2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−6的倒数是( )
A. 6B. −6C. 16D. −16
2.如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. 2a+3a=5a2
C. (a+b)2=a2+b2D. (−2a2)3=−8a6
4.下列四个几何体中，三视图中不含矩形的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是( )
A. sinA=bc
B. csB=bc
C. tanA=ac
D. tanB=ba
6.从2，3，4这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n.若点A的坐标记作(m,n)，则点A在双曲线y=8x上的概率是( )
A. 13B. 12C. 23D. 56
7.某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )
A. 144(1−x)2=100B. 100(1−x)2=144
C. 144(1+x)2=100D. 100(1+x)2=144
8.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10,8)，则点E的坐标( )
A. (4,10)
B. (10,6)
C. (10,4)
D. (10,3)
9.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图．AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为( )
A. 13cmB. 16cmC. 17cmD. 26cm
10.在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F(N)和所悬挂物体的重力G(N)的几组数据用电脑绘制成如下图象(不计绳重和摩擦)，请你根据图象判断以下结论正确的序号有( )
①物体的拉力随着重力的增加而增大；
②当物体的重力G=7N时，拉力F=2.2N；
③拉力F与重力G成正比例函数关系；
④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．
A. ①②B. ②④C. ①④D. ③④
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.数0.0000046用科学记数法表示为________．
12.函数y= x−1的自变量x的取值范围是______．
13.因式分解：a2−4a= ．
14.计算：6 12+ 8= ______．
15.不等式组x−5<13x−12>0的整数解是______．
16.如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，连接DE，若DE/​/AB，且AE=4，CE=5，则CDCB的值是______．
17.抛物线y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值与对应函数y的值如表中所示，则函数的最值为______．
18.我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果a+b=a×b，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为(a,b).例如：2+2=2×2，12+(−1)=12×(−1)，3+32=3×32，则称数对(2,2),(12,−1),(3,32)是“和积等数对”.根据上述材料，如果(x,4)是“和积等数对”，则x= ______．
19.已知：一个等腰三角形的两条边长的比是5：4，则这个等腰三角形底角的正切值为______．
20.如图，正方形ABCD的边长为8，点E为BC边上一点，且BE=2，点F为AB边上的中点，连接EF，以EF为一条直角边向右侧作等腰Rt△EGF，且使∠EFG=90°，连接CG，则CG的长是______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
先化简，再求值(1−3x+2)÷x2−1x+2的值，其中x=4sin45°−2cs60°．
22.(本小题7分)
如图均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等，不要求写作法．
(1)在图①中以线段AB为边作一个平行四边形ABCD，使得平行四边形的面积为9；
(2)在图②中以线段AB为边作一个平行四边形ABEF，且有一条对角线长为2 2．
23.(本小题8分)
某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t(单位：h)作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.3，0.2，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
各组劳动时间的扇形统计图
请根据以上信息解答下列问题．
(1)A组数据的众数是______；表格中的a= ______；
(2)本次调查的样本容量是______，B组所在扇形的圆心角的大小是______；
(3)若该校有2400名学生，请估计该校学生劳动时间超过1.5h的人数．
24.(本小题8分)
如图，已知四边形ABCD为菱形，AE=CF，
(1)求证：四边形BEDF为菱形；
(2)请直接写出图中所有与△ABF面积相等的三角形(不包含△ABF)．
25.(本小题10分)
哈佳高铁建设工程中，有一段6000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天．
(1)求甲、乙两个工程队每天各完成多少米？
(2)由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，但是工程指挥部仍然要求工期不能超过50天，求甲工程队至少施工多少天？
26.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，AC，AD为⊙O的弦，AB平分∠CAD．

(1)如图1，求证：弧CB=弧BD；
(2)如图2，弦BE交AC于点F，点G在AD上，FG=FE，FA平分∠EFG，连接BC，求证：∠CBE=2∠BAD；
(3)在(2)的条件下，如图3，FG交AB于点H，若FC=2AF，BC=52，求BH的长．
27.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2−ax+4，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于B，交y轴于C，且AC=5．

(1)如图1，求a的值；
(2)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，连接AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，△ACD的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，连接BD，点E为第四象限内一点，BE⊥x轴，PE=BD，点Q为第二象限抛物线上一点，点Q的横坐标为−12t，直线QD交抛物线于点F，交BE的延长线于点G，连接EF，若tan∠FEG=12，求直线EF解析式．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−6的倒数是−16．
故选：D．
根据倒数的定义求解．
本题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】A
【解析】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；
B.2a+3a=5a，故本选项不合题意；
C.(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D.(−2a2)3=−8a6，故本选项符合题意．
故选：D．
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，完全平方公式以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式和运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：圆锥的三视图是圆和三角形，无法得到矩形，
故选：C．
根据几何体的三视图得到的图象进行判断即可得到答案．
本题考查了几何体的三视图，掌握相关性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
∴sinA=ac，csB=ac，tanA=ab，tanB=ba，
故选：D．
根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：从2，3，4这三个数中随机抽取两个不同的数，点的坐标共有6种情况：(2,3)，(2,4)，(3,4)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，并且它们出现的可能性相等．
点坐标在双曲线上有2种情况：(2,4)，(4,2)．
所以，这个事件的概率为26=13．
故选：A．
根据如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件发生的概率P(A)=mn即可得答案．
本题主要考查随机事件的概率以及反比例函数，关键是掌握随机事件概率的计算方法．
7.【答案】D
【解析】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，则2013年的产量为100(1+x)吨，2014年的产量为100(1+x)(1+x)=100(1+x)2吨，
根据题意，得100(1+x)2=144，
故选：D．
2014年的产量=2012年的产量×(1+年平均增长率)2，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程；得到2014年产量的等量关系是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，
∴AD=OC=10，DC=OA=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在OC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中，OF= AF2−AO2=6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，
∴(8−x)2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3．
∴点E的坐标为(10,3)，
故选：D．
根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8−x，CF=10−6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
本题考查矩形的性质，勾股定理以及折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．
9.【答案】A
【解析】解：∵AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，AB=24cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm．
设⊙O的半径OA为R cm，则OC=OD−CD=(R−8)cm．
在Rt△OAC中，∵∠OCA=90°，
∴OA2=AC2+OC2，
∴R2=122+(R−8)2，
∴R=13，
即⊙O的半径OA为13cm．
故选：A．
首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm，再设⊙O的半径OA为Rcm，则OC=(R−8)cm.在Rt△OAC中根据勾股定理列出方程R2=122+(R−8)2，求出R即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设⊙O的半径OA为R cm，列出关于R的方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，
故①正确；
∵拉力F是重力G的一次函数，
∴设拉力F与重力G的函数解析式为F=kG+b(k≠0)，
则b=0.5k+b=0.7，
解得：k=0.2b=0.5，
∴拉力F与重力G的函数解析式为F=0.2G+0.5，
当G=7时，F=0.2×7+0.5=1.9，
故②错误；
由图象知，拉力F是重力G的一次函数，
故③错误；
∵G=0时，F=0.5，
故④正确．
故选：C．
由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把G=7代入函数解析式求值即可判断②．
本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．
11.【答案】4.6×10−6
【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.0000046=4.6×10−6.
故答案为：4.6×10−6．
12.【答案】x≥1
【解析】解：根据题意得，x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查函数自变量的取值范围，关键是二次根式的被开方数是非负数．
13.【答案】a(a−4)
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
直接找出公因式提取公因式分解因式即可．
【解答】
解：原式=a(a−4)．
故答案为：a(a−4)．
14.【答案】5 2
【解析】解：原式=3 2+2 2
=5 2．
故答案为：5 2．
先把各个二次根式化为最简二次根式，再合并即可．
本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的化简，是解决本题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：x−5<1①3x−12>0②
解不等式①得x<6，
解不等式②得x>4，
∴不等式组的解集为：4整数解为5，
故答案为：5．
先根据不等式的性质求出不等式组的解集，再取整数解即可．
本题考查求不等式组的解集以及确定解集内的整数解，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
16.【答案】59
【解析】解：∵AE=4，CE=5，
∴CECA=59，
∵DE//AB，
∴△EDC∽△ABC，
∴CDCB=CECA=59，
故答案为：59．
根据题意求出CECA=59，证明△EDC∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，即可得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：∵表格可知当x=0和x=2时，函数值相等，
∴抛物线的对称轴为x=0+22=1，
当x=1时，函数值最大为4，
故答案为：4．
根据表中数据可求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性可得答案．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18.【答案】43
【解析】解：由题意得：x+4=4x，
解得x=43，
故答案为：43．
根据“和积等数对”的定义可得一个关于x的一元一次方程，再解方程即可得．
本题考查了一元一次方程的应用，由题意列出方程是解决此题的关键．
19.【答案】 212或 395
【解析】解：设等腰三角形的两边分别为5x，4x，
过A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=12BC，∠ADB=90°，
如图，分两种情况讨论：
当5x为腰时，即AB=AC=5x，BC=4x，
∴BD=2x，
∴AD= AB2−BD2= (5x)2−(2x)2= 21x，
∴tanB=ADBD= 21x2x= 212；
当4x为腰时，即AB=AC=4x，BC=5x，
∴BD=52x，
∴AD= AB2−BD2= (4x)2−(52x)2= 392x，
∴tanB=ADBD= 392x52x= 395．
综上所述，这个等腰三角形底角的正切值为 212或 395．
作出图形，作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
本题考查了锐角三角函数值，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，作出图形更形象直观．掌握等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，正切的定义是解题的关键．
20.【答案】2 13
【解析】解：过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，
∴∠GMB=∠GNB=90°，
又∵ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴MBNG是矩形，
∴GM=BN，GN=MB，
又∵△GFE是等腰直角三角形，
∴FG=EF，∠GFE=90°，
∴∠MGF+∠MFG=∠BFE+∠MFG=90°，
∴∠MGF=∠BFE，
又∵∠GMB=∠B=90°，
∴△MGF≌△BFE，
∴MF=BE=2，MG=BF=4，
∴GM=BN=4，GN=MB=MF+BF=2+4=6，
∴CN=BC−BN=8−4=4，
∴CG= GN2+CN2= 62+42=2 13，
故答案为：2 13．
过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，则MBNG是矩形，然后利用AAS证明△MGF≌△BFE，得到MF=BE=2，MG=BF=4，然后利用勾股定理求出CG长即可．
本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21.【答案】解：原式=(x+2x+2−3x+2)⋅x+2x2−1
=x−1x+2⋅x+2(x+1)(x−1)
=1x+1，
x=4sin45°−2cs60°
=4× 22−2×12
=2 2−1，
∴当x=2 2−1时，原式=12 2−1+1=12 2= 22 2⋅ 2= 24．
【解析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再算出x的值，最后代入计算即可．
本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值，解题关键熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序，熟记特殊角的三角函数值．
22.【答案】解：(1)如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图②中，平行四边形ABEF即为所求．
【解析】(1)根据平行四边形的定义画出图形即可；
(2)根据要求画出图形．
本题考查作图−全等图形，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23.【答案】0.4 12 60 72°
【解析】解：(1)∵A组的数据为：0.5，0.4，0.4，0.3，0.2，共有5个数据，出现次数最多的是0.4，共出现了2次，
∴A组数据的众数是0.4；
∵样本容量是15÷25%=60，
∴a=60−5−20−15−8=12，
故答案为：0.4；12；
(2)由(1)知样本容量为60；
∴B组所在扇形的圆心角的大小是360°×1260=72°，
故答案为：60；72°；
(3)2400×15+860=920(人)．
答：估计该校学生劳动时间超过1h的有920人．
(1)根据众数是一组数据中出现次数最多的数据即可求出众数；利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数；
(2)，再用360°乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小；
(3)用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过1.5h的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过1.5h的人数．
此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接BD交AC于O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，AC⊥BD，
∴S△ABF=12AF⋅BO，S△CBE=12CE⋅BO，S△ABD=12AF⋅DO，S△CDE=12CE⋅DO，
∵AO=CO，AE=CF，OE=OF，
∴AF=CE，
∴S△ABF=S△CBE=S△ADF=S△CDE，
综上，和△ABF面积相等的三角形有△CBE、△ADF和△CDE．
【解析】(1)连接BD交AC于O，根据菱形的性质得到OB=OD，OA=OC，由AE=CF，能推出OE=OF，得到平行四边形BEDF，根据菱形ABCD推出AC⊥BD，即可证明；
(2)根据菱形的性质和三角形面积公式即可求解．
本题主要考查菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握菱形的判定和性质．
25.【答案】解：(1)设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．
6000x=60002x+30
解得x=100，
经检验：x=100是原方程的解
2x=2×100=200 (米)
答：甲、乙两工程队每天分别完成200米、100米；
(2)设甲工程队施工a天，根据题意得：
200a+100(50−a)≥6000，
解得：a≥10，
答：甲工程队至少施工10天．
【解析】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，理解题意，找出等量关系和不等关系是解决问题的关键．
(1)设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天，列方程求解；
(2)设甲工程队至少施工a天，根据工期不能超过50天，列出不等式，再进行求解即可得出答案．
26.【答案】(1)证明：如图1所示，连接OC，OD，

∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
∵CB=BD，
∴∠COB=2∠CAB，
∵BD=BD，
∴∠DOB=2∠BAD，
∴∠COB=∠BOD
∴CB=BD；
(2)证明：如图2所示，连接AE，

∵FA平分∠EFG，
∴∠EFA=∠GFA，
∵FG=FE，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴∠EAF=∠FAG，CE=CE，
∴∠EAF=∠CBE，
∴∠CBE=∠CAD=2∠BAD；
(3)解：如图3所示，延长AC，DB交于点Q，

由(1)得∠COB=∠BOD，∠AOC=180°−∠COB，∠AOD=180°−∠BOD，
∴∠AOC=∠AOD，
∴AC=AD，
设∠BAC=∠BAD=α，则∠CBA=∠CAE=2α，
∵∠AEF=90°，
∴∠EFA=90°−2α，
∴∠CBQ=∠CAD=∠BAC+∠BAD=2α，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠QCB=90°，
∴∠Q=90°−2α，
∴∠BFC=∠Q，
∴FB=BQ，
设AF=a，FC=2AF=2a，AC=AD=AF+FC=3a，
∴FC=CQ=2a，
勾股定理得QD=4a，QB=4a−52，
∵∠COD=∠BOD，
∴BC=BD=52，
在Rt△QBC中，BC2+QC2=QB2，
解得a=0(舍)，a=53，
∵AB是直径，
∴∠E=90°，
由(2)问得△AEF≌△AGF，
∴∠E=∠AGH，
∴∠AGH=90°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠AGH=∠ADB，
∴FG//QD，
∴AFFQ=AHHB=a4a，
∴HB=45AB=45×52 5=2 5．
【解析】(1)连接OC，OD，首先得到∠CAB=∠DAB，然后根据圆周角定理得到∠COB=∠BOD，即可证明出弧CB=弧BD；
(2)连接AE，首先证明出△AEF≌△AGF(SAS)，得到∠EAF=∠FAG，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠EAF=∠CBE，进而证明出∠CBE=2∠BAD；
(3)延长AC，DB交于点Q，首先得到AC=AD，然后设∠BAC=∠BAD=α，则∠CBA=∠CAE=2α，通过角度的转化得到∠BFC=∠Q，得到FB=BQ，然后设AF=a，FC=2AF=2a，AC=AD=AF+FC=3a，勾股定理得QD=4a，QB=4a−52，在Rt△QBC中，利用勾股定理求出a=53，然后由△AEF≌△AGF得到∠E=∠AGH，然后得到FG//QD，然后根据平行线分线段成比例求解即可．
此题考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的根据是正确作出辅助线求解．
27.【答案】解：(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2−ax+4，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于B，交y轴于C，且AC=5．
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为(0,4)，OC=4，
在Rt△AOC中，依据勾股定理得：
AO= AC2−OC2= 52−42=3，
∴点A的坐标为(−3,0)，
∵A在抛物线上，把A点坐标代入抛物线y=ax2−ax+4得：
0=a(−3)2−(−3)a+4，
解得：a=−13；
(2)点P是第一象限抛物线上一点，连接AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，△ACD的面积为S，
作PK⊥OB交x轴于点K，如图2，

由(1)知a=−13，
∴抛物线的解析式为：y=−13x2+13x+4，
设P(t,−13t2+13t+4),K(t,0),OK=t，PK=−13t2+13t+4，AK=AO+OK，
∵∠DOA=∠PKA=90°，
∴OD//PK，
∴△AOD∽△AKP，
∴ODPK=AOAB，
∴OD−13t2+13t+4=3t+3，
OD=−t+4，CD=OC−OD=4−(−t+4)=t，
S=12×CD×AO=12×t×3=32t；
(3)点E为第四象限内一点，BE⊥x轴，PE=BD，点Q为第二象限抛物线上一点，点Q的横坐标为−12t，作EH⊥y轴于点H，PI⊥EH于点I，如图3，

∵EI=OD=4−t，∠DOB=∠PGE=90°，
∴Rt△BOD≌Rt△PIE(HL)，
∴PK=OB=4，
∴PI=OB=4，−13t2+13t+4−4=−13t2+13t，
∴E(4,−13t2+13t)，
作QM⊥OC于点M，FN⊥y轴于点N，
当x=−12t时，y=−13⋅(−12t)2+13(−12t)+4，y=−112t2−16t+4，
∴Q(−12t,−112t2−16t+4)，
MD=−112t2+56t，DN=13n2−13n−t，
∵∠MQD=∠GFN=90°，
∴QM//FN，
∴∠1=∠2，
tan∠1=MDQM=−112t2+56t12t=−16t+53，tan∠2=DNFN=13n2−13n−tn，
−16t+53=13n2−13n−tn，(2n+t)(n−6)=0，
2n+t=0或n−6=0；
∵Q与F不重合，
∴2n+t≠0，
∴n−6=0，n=6，
∴F(6,−6)，
延长EG交FN于点R，
∵BE⊥x轴，
∴ER⊥NF，
∴tan∠FEG=12=FRER=6−4ER，
解得：ER=4，
∴−13t2+13t−(−6)=4，
t=3或t=−2(舍)，
∴E(4,−2)，
设直线EF的解析式为y=kx+b，
将E(4,−2)，F(6,−6)代入得：
−2=4k+b−6=6k+b，
解得：k=−2b=6，
∴直线EF：y=−2x+6．
【解析】(1)根据抛物线解析式，得出OC=4，根据勾股定理得出AO=3，进而可得A(−3,0)，待定系数法求解析式，即可求解；
(2)作PK⊥OB于K，设P(t,−13t2+13t+4),K(t,0),OK=t，证明△AOD∽△AKP，根据相似三角形的性质得出OD=−t+4，CD=OC−OD=4−(−t+4)=t，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
(3)作EH⊥y轴于点H，PI⊥EH于点I，证明△BOD≌△PIE得出E(4,−13t2+13t)，作QM⊥OC于点M，FN⊥y轴于点N，根据函数解析式求得Q(−12t,−112t2−16t+4)，MD=−112t2+56t，DN=13n2−13n−t，根据平行线的性质得出∠1=∠2，根据正切值相等，建立方程，得出F(6,−6)，延长EG交FN于点R，证ER⊥NF，根据∠FEG的正切值为12得出ER=4，进而得出E(4,−2)，即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
组别
时间t/h
频数
A
05
B
0.5a
C
120
D
1.515
E
t>2
8