2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−3的绝对值是( )
A. −3B. 3C. 13D. ±3
2.下列各式计算结果正确的是( )
A. 3x+2x=5x2B. 9=±3C. (2x)2=2x2D. 2−1=12
3.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.若点A(1,3)是反比例函数y=kx(k≠0)图象上一点，则常数k的值为( )
A. 3B. −3C. 32D. −32
5.不等式组x−1<0−2x≤4的解集在数轴上可表示为( )
A. B.
C. D.
6.某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
下列说法错误的是( )
A. 众数是1B. 平均数是4.8C. 样本容量是10D. 中位数是5
7.“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题.意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头;从下面数，有94条腿.问鸡兔各有多少只?若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是( )
A. x+y=354x+2y=94B. x+y=352x+4y=94C. x+y=944x+2y=35D. x+y=942x+4y=35
8.关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<32B. m>3C. m≤3D. m<3
9.如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC/​/DG/​/EF，点H为AF与DG的交点.若AC=12，则DH的长为( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 3
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=−1.若点A的坐标为(−4,0)，则下列结论正确的是( )
A. 2a+b=0
B. −4a−2b+c>0
C. x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
D. 点(x1,y1)，(x2,y2)在抛物线上，当x1>x2>−1时，y1二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位.目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次.3600亿用科学记数法表示为______．
12.函数y=13x−2的自变量x的取值范围是______．
13.计算 32−12 8的结果是______．
14.把多项式m3−9m分解因式的结果是______．
15.一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球.随机摸出一个小球，摸出红球的概率是______．
16.观察下列式子：
1×3+1=22；
2×4+1=32；
3×5+1=42；
…
按照上述规律， =n2．
17.一个扇形的弧长是10πm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是______．
18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=150°，弦AC=2，则⊙O的半径等于______．
19.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕着点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α(0°<α<180°)，连接AA′，BB′，当△AA′C的面积等于4 3时，线段BB′的长为______．
20.如图，在▱ABCD中，AB=13，BC=15，tan∠B=125，点E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E当点B′恰好落在线段DE上时，则线段BE的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
先化简，再求代数式(1x−2−1x+2)÷xx2−4的值，其中x=2sin45°．
22.(本小题8分)
如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形(注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上)．
23.(本小题8分)
为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图(从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值)和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：

(1)求随机抽取的学生共有多少人；
(2)求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；
(3)若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1800人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数．
24.(本小题8分)
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29)
25.(本小题10分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
26.(本小题10分)
已知：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC．

(1)如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
(2)如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接OF，如果G是EF的中点，且CD=18 55，求线段OF的长．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=12x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．

(1)求点C的坐标；
(2)点D为线段BC的中点，点E为线段AB的延长线上一点，连接DE，设点E的横坐标为t，△BDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，点G为线段EF的中点，连接CG，且CG=BE.过点E作EH⊥AE交x轴于点H，点M在线段EH上，连接AM，过点N(0,8)作NP⊥AM交x轴于点P，连接PM，若∠MPN=2∠MAH，求点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−3|=3，
故选：B．
根据绝对值的定义即可求得答案．
本题考查绝对值的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：∵3x+2x=5x≠5x2，
∴选项A不符合题意；
∵ 9=3≠±3，
∴选项B不符合题意；
∵(2x)2=4x2≠2x2，
∴选项C不符合题意；
∵2−1=12，
∴选项D符合题意；
故选：D．
分别利用合并同类项法则，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义，掌握这些法则和意义是解决问题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1．
故选：A．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
本题考查简单组合体的三视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A(1,3)在反比例函数y=kx(k≠0)图象上，
∴k=1×3=3，
故选：A．
将点A的坐标代入反比例函数的关系式即可求出k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入反比例函数的关系式是正确解答的关键．
5.【答案】A
【解析】解：x−1<0①−2x≤4②，
由①得，x<1，
由②得，x≥−2，
在数轴上表示为：
．
故选：A．
分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A.这组数据的众数为6，所以A选项符合题意；
B.这组数据的平均数为110(2×2+4×3+6×4+8×1)=4.8，所以B选项不符合题意；
C.样本容量为10，所以C选项不符合题意；
D.这组数据的中位数为5，所以D选项不符合题意．
故选：A．
根据众数的定义对A选项进行判断；根据平均数的计算方法对B选项进行判断；根据样本容量的定义对C选项进行判断；根据中位数的定义对D选项进行判断．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了总体、样本容量、加权平均数、中位数．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：x+y=352x+4y=94，
故选：B．
根据鸡有两条腿，兔子有四条腿，共有35个头，94条腿，列出二元一次方程组即可．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×(m−2)=12−4m>0，
解得：m<3．
故选：D．
根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，
∴AB=3BE，AE=2AD，
∵EF/​/AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BE：AB，
∵AC=12，AB=3BE，
∴EF：12=BE：3BE，
∴EF=4，
∵DG/​/EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF=AD：AE，
∵EF=4，AE=2AD，
∴DH：4=AD：2AD，
∴DH=2．
故选C．
首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB=3BE，AE=2AD，再根据EF/​/AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出EF=4，然后根据DG/​/EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
10.【答案】C
【解析】解：∵对称轴为直线x=−1，
∴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴2a−b=0，故①错误，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴−4a−(2b−c)<0，
即−4a−2b+c<0，故②错误，
∵抛物线与x轴交于(−4,0)，对称轴为直线x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)，
∴x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，故③正确，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，
∴当x1>x2>−1时，y1>y2，故④错误，
故选：C．
根据对称轴判断①，根据图象特征判断②，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断③，根据抛物线的性质判断④．
本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的交点情况，熟练掌握上述知识点是解决本题的关键．
11.【答案】3.6×1011
【解析】解：将3600亿用科学记数法表示为3.6×1011．
故答案为：3.6×1011．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】x≠23
【解析】解：根据题意得：3x−2≠0
解得：x≠23．
故答案为：x≠23．
该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母3x−2≠0，解得x的范围．
本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．
13.【答案】3 2
【解析】解：原式= 16×2−12 4×2
=4 2−12×2 2
=4 2− 2
=3 2，
故答案为：3 2．
先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握把二次根式化成最简二次根式．
14.【答案】m(m+3)(m−3)
【解析】解：原式=m(m2−9)
=m(m+3)(m−3)，
故答案为：m(m+3)(m−3)．
提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15.【答案】25
【解析】解：∵一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球，
∴摸到红球的概率是25．
故答案为：25．
利用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】(n−1)(n+1)+1
【解析】解：观察下列式子：
1×3+1=22；
2×4+1=32；
3×5+1=42；
…；
按照上述规律，(n−1)(n+1)+1=n2．
故答案为：(n−1)(n+1)+1．
本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出其规律是解本题的关键．
17.【答案】150°
【解析】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，
∴S=12Rl，即60π=12×R×10π，
解得：R=12，
∴S=60π=nπ×122360，
解得：n=150°，
故答案为：150°．
利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．
此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ADC=150°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA=AC=2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
连接OA，OC，由圆内接四边形可求得∠ABC的度数，由圆周角定理可得∠AOC=60°，即可证得△OAC为等边三角形，进而可求解．
本题主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明△OAB为等边三角形是解题的关键．
19.【答案】3或3 3
【解析】解：当点A′在BC上方时，
过点A′作AC的垂线，垂足为M，
∴S△AA′C=12×4×A′M=4 3，
∴A′M=2 3．
在Rt△A′MC中，
MC= 42−(2 3)2=2，
∴AM=4−2=2．
在Rt△AA′M中，
AA′= (2 3)2+22=4．
∵AC=A′C，BC=B′C，
∴BCAC=B′CA′C，
又∵∠BCB′=∠ACA′，
∴△BCB′∽△ACA′，
∴BB′AA′=BCAC=34，
∴BB′=3．
当点A′在BC下方时，
同理可得，A′N=2 3，CN=2，
∴AN=4+2=6．
在Rt△AA′N中，
AA′= 62+(2 3)2=4 3．
∵△BCB′∽△ACA′
∴BB′AA′=BCAC=34，
∴BB′=3 3．
综上所述，线段BB′的长为3或3 3．
故答案为：3或3 3．
根据题意画出示意图，结合所画图形，利用相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查旋转的性质，能根据点A′的不同位置画出示意图是解题的关键．
20.【答案】11
【解析】解：如图，过D作DF⊥BC的延长线于F，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB/​/CD，AD//BC，AB=CD=13，AD=BC=15，
∴∠B=∠DCF，
而tan∠B=125，
∴tan∠DCF=125，
∴DFCF=125，
而CD=13，
∴CF=5，DF=12，
∵将△ABE沿AE折叠得到△AB′E当点B′恰好落在线段DE上，
∴∠AEB=∠AEB，
而AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=15，
在Rt△DEF中，EF= DE2−EF2= 152−122=9，
∴CE=EF−CF=9−5=4，
∴BE=BC−CE=15−4=11．
故答案为：11．
如图，过D作DF⊥BC的延长线于F，首先利用平行四边形的性质和勾股定理求出CF，然后在Rt△DEF中利用勾股定理求出EF即可求解．
此题主要考查了翻折变换，同时也利用了平行四边的性质和勾股定理，题目有一定的综合性，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
21.【答案】解：原式=(x+2x2−4−x−2x2−4)⋅x2−4x
=4x2−4⋅x2−4x
=4x，
当x=2sin45°=2× 22= 2时，原式=4 2=2 2．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把特殊角的三角函数值代入求出x，代入计算得到答案．
本题考查的是分式的化简求值、特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：如下图：

【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的意义作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)12÷20%=60 (人)，
答：随机抽取的学生共有60人；
(2)60−6−12−18−10−4=10，
∴第四小组的频数为10；
补全频数分布直方图如下：

(3)10+460×1800=420(人)，
答：估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为420人．
【解析】(1)将第二小组人数除以其所占百分比即可求出随机抽取的学生共有多少人；
(2)将抽取的总人数减去其他5组人数即可求出第四小组的频数，并补全频数分布直方图即可；
(3)将“一分钟跳绳”不低于160次的成绩所占比乘以1800即可估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，由样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
24.【答案】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：

在Rt△ABT中，
BT=AB⋅sin∠BAT=5×sin16°≈1.4(米)，AT=AB⋅cs∠BAT=5×cs16°≈4.8(米)，
∵∠ATC=∠C=∠CKA=90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK=AT=4.8米，AK=CT=BC−BT=4−1.4=2.6(米)，
在Rt△AKD中，
∵∠ADK=45°，
∴DK=AK=2.6米，
∴CD=CK−DK=4.8−2.6=2.2(米)，
∴阴影CD的长约为2.2米．
【解析】过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT=AB⋅sin∠BAT=1.4(米)，AT=AB⋅cs∠BAT≈4.8(米)，可得CK=AT=4.8米，AK=CT=BC−BT=4−1.4=2.6(米)，而∠ADK=45°，知DK=AK=2.6米，故CD=CK−DK=4.8−2.6=2.2米．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
25.【答案】解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是(x+2)元，
根据题意得：240x+2=200x，
解得x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)由(1)可知，x+2=12，
设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子(400−m)千克，
根据题意得：12m+10(400−m)≤4600，
解得：m≤300，
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
【解析】(1)设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是(x+2)元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子(400−m)千克，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：如图1，

连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴OC/​/AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC；
(2)证明：如图2，

连接OC，
由(1)知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG；
(3)解：如图3，

取CE的中点，连接QG，作OH⊥AC于H，
∵G是EF的中点，
∴GQ//CF，GQ=12CF，
∴∠CGQ=∠ACB=90°，
由(2)知：CF=CG，
∴GQ=12CG，
由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE，
∴tan∠DAC=tan∠BAC=tan∠BCE=GQCG=12，
∴CDAD=BCAC=12，
∴18 55AD=12，
∴AD=36 55，
∴AC= AD2+CD2=18，
∴BC=12AC=9，
∵∠BCE=∠BAC，∠AEC=∠BED，
∴△CEB∽△AEC，
∴BECE=BCAC=12，
∵CQ=CE=12CE，
∴EQ=BE，
∵EF平分∠AEC，
∴∠CEF=∠AEF，
∵EG=EG，
∴△GQE≌△GBE(SAS)，
∴BG=GQ=12CG，
∵BC=9，
∴CF=CG=6，
∵OH⊥AC，
∴AH=CH=12AC=9，
∴FH=CH−CF=9−6=3，
∵OA=OB，
∴OH=12BC=92，
∴OF= OH2+FH2= (92)2+32=3 132．
【解析】(1)连接OC，可推出OC⊥CD，结合AD⊥CD推出OC//AD，从而∠ACO=∠DAC，可推出∠ACO=∠BAC，进而得出∠BAC=∠DAC；
(2)连接OC，可推出∠ACB=∠OCE=90°，从而得出∠BCE=∠ACO，从而∠CAO=∠BCE，结合∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF得出∠CFG=∠CGF，进而得出CF=CG；
(3)取CE的中点，作OH⊥AC于H，可推出GQ//CF，GQ=12CF，进而得出GQ=12CG，根据∠DAC=∠BAC=∠BCE得出tan∠DAC=tan∠BAC=tan∠BCE=GQCG=12，从而CDAD=BCAC=12，进而得出AD，AC，BC的值，可证明△CEB∽△AEC得出BECE=BCAC=12，进而得出EQ=BE，可证得△GQE≌△GBE，从而BG=GQ=12CG，从而得出CF=CG=6，进而求得FH和OH的值，进一步得出结果．
本题考查了圆的切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
27.【答案】解：(1)直线AB的解析式为：y=12x+4．
当x=0时，y=4，
∴B(0,4)．
∴OB=4．
当y=0时，0=12x+4，
∴x=8，
∴A(−8,0)．
∴OA=8．
在Rt△ABO中，tan∠BAO=OBOA=12．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°．
∴∠BAC+∠ACB=90°．
又∵∠OBC+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠OBC．
∴tan∠BAC=tan∠OBC=12．
∴OC=2，
∴C(2,0)．
(2)过点E作EK⊥y轴于点K．
∴∠BKE=90°．

∵点E的横坐标为t，且点E在直线y=12x+4上，
∴E(t,12t+4)．
∴BK=12t+4−4=12t.
∴BE= KE2+BK2= 52t.
在Rt△BOC中，BC= OB2+OC2=2 5．
∵点D为线段BC的中点，
∴BD=12BC= 5．
∵BC⊥AB，
∴∠CBE=90°．
∴S=12BD⋅BE=12 5⋅ 52t=54t.
答：S与t之间的函数关系式为：S=54t；
(3)过点C作CL⊥ED交ED的延长线于点L，过点E作EQ⊥x轴于点Q．

∵∠BDF=∠CDL，∠BFD=∠CLD=90°，BD=CD，
∴△BDF≌△CDL．
∴DF=DL，BF=CD，
又∵BE=CG，
∴Rt△EBF≌Rt△GCL(HL)．
∴EF=GL，
∴EF−FG=GL−FG．
即EG=FL．
∵点G为线段EF的中点，
∴FG=EG=FL=2DF．
设DF=m，
∴EG=2m，EF=2EG=4m，
∵∠BEF+∠EBF=90°，∠DBF+∠EBF=90°，
∴∠BEF=∠DBF．
∴tan∠BEF=tan∠DBF，
∴BFEF=DFBF．
∴BF4m=mBF，
∴BF=2m．
∴tan∠BEF=12．
∴tan∠DBF=12．
∴BE=2BD．
∴ 52t=2 5，.
解得：t=4．
∴E(4,6)．
∵∠EAH+∠AHE=90°，∠HEQ+∠AHE=90°，
∴∠EAH=∠HEQ，
∴tan∠EAH=tan∠HEQ=64+8=12．
∴QH=3，
∴OH=OQ+QH=4+3=7，
∴H(7,0)．
设直线EH的解析式为y=kx+b，
∴7k+b=04k+b=6．
解得：k=−2b=14．
∴y=−2x+14，
∵点M在线段EH上，
∴设M(n,−2n+14)．
设AM与y轴的交点为W，过点O分别作OR⊥AW于点R，OT⊥MP交MP的延长线于点T，过点M分别作MZ⊥x轴于点Z，连接OM．
设∠MAH=α，
∴∠MPN=2α，∠APN=90°−a，
∴∠OPT=180°−2a−(90°−a)=90°−a=∠OWR，
∵∠OAW+∠APN=90°，∠0NP+∠APN=90°，
∴∠OAW=∠ONP，
又∵OA=8=ON，∠AOB=∠NOP=90°
∴△AOW≌△NOP，
∴OW=OP．
∵∠ORW=∠0TP=90°，
∴△ROW≌△TOP，
∴OR=OT．
∴∠AMO=∠PMO=12∠AMP=12(∠OPT−∠PAM)=12(90°−α−α)=45°−α．
∴∠MOZ=∠AMO+∠OAM=45°−α+α=45°．
∴∠OMZ=90°−∠MOZ=45°=∠MOZ．
∴MZ=OZ．
∴−2n+14=n．
解得：n=143．
∴M(143,143)．
【解析】(1)取x=0代入一次函数解析式y=12x+4，可得点B的坐标；取y=0代入一次函数解析式y=12x+4，可得点A的坐标；易证∠BAC=∠OBC，那么tan∠BAC=tan∠OBC，计算可得OC的长度，即可判断点C的坐标；
(2)用含t的式子表示出点E的坐标，利用勾股定理得到到BE的长，BC的长度，根据点D是BC的中点即可得到BD的长，即可判断出△BDE的面积；
(3)点M在线段EH上，判断出点E和点H的坐标，得到线段EH的解析式，经过推理可得点M的横纵坐标相等，代入EH的解析式可得点M的坐标．
本题综合考查一次函数的应用．利用全等及三角函数值得到点E、H、M的坐标是解决本题第三问的关键．合理构造并使用能解决问题的全等三角形是解决本题的难点．每周课外阅读时间(小时)
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