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2023-2024学年辽宁省大连七十六中七年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年辽宁省大连七十六中七年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B. C. D.
2.如图，AB//CD，∠A=70°，则∠1的度数是( )
A. 130°B. 110°C. 100°D. 70°
3.如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD//AB”.其依据是( )
A. 同位角相等，两直线平行
B. 两直线平行，内错角相等
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
4.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3.6，3.6，7.2B. 4，4，10C. 5，6，10D. 113，63，53
5.下列说法正确的是( )
A. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a//c
B. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b⊥c，则a//c
D. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a⊥c
6.如图，AD//BC，∠C=30°，∠ADB：∠BDC=1：2，则∠ADB的度数是( )
A. 45°
B. 30°
C. 50°
D. 36°
7.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE=∠DAE，∠BDC=∠DBC，则∠ADB=( )
A. 18°
B. 36°
C. 72°
D. 108°
8.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD=α，则∠AOC的度数是( )
A. α
B. 90°−α
C. 90°+α
D. 180°−α
9.如图，下列说法正确的是( )
A. 若∠3=∠2，则AD//BC
B. 若∠B=∠1，则AB//CD
C. 若∠D=∠1，则AD//BC
D. 若AD//BC，∠D=∠B，则AB//CD
10.如图，已知AB//CD，若按图中规律继续下去，则∠1+∠2+…+∠n=( )
A. n⋅180°B. 2n⋅180°C. (n−1)⋅180°D. (n−1)2⋅180°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理是______．
12.如图，在一块长为6m，宽为4m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线.则这块草地的绿地面积______m2．
13.将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若a//b，∠1=62°，则∠2的度数为______．
14.两个角的两边两两互相平行，且一个角的12等于另一个角的13，则这两个角中较小角的度数为______°.
15.如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED//AC，∠BAC=α，则∠BED的度数为______.(⽤含α的式子表示)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，AE平分∠BAG，GF平分∠AGC，请说明AE//GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD=180°(______)，
∠AGC+∠AGD=180°(______)，
所以∠BAG=∠AGC(______)，
因为AE平分∠BAG，
所以∠1=12 ______(______)，
因为GF平分∠AGC，
所以∠2=12 ______，
得∠1=∠2(______)，
所以AE//GF(______).
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长．
18.(本小题8分)
如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠BOC=2；3．
(1)求∠DOE的度数；
(2)若OF⊥OE，求证OF平分∠AOD．
19.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
(1)求证：BE//DF；
(2)若∠ABC=56°，求∠ADF的大小．
20.(本小题9分)
如图，已知AB//CD，E、H分别是直线AB、CA上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠1=28°．
(1)求∠HAE的度数；
(2)若∠2=62°，请判断CF与AG是否互相平行？并说明理由．
21.(本小题10分)
P是三角形ABC内一点，射线PD//AC，射线PE//AB．
(1)当点D，E分别在AB，BC上时，
①补全图；
②猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明；
(2)若∠A=40°，∠C=65°，求∠PEC的度数．
22.(本小题12分)
【发现问题】
数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”.将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图1方式叠放在一起(其中，∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°).当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，将△ACD固定不动，改变△BCE的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合．
【提出问题】
在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出∠ACE的度数；若不存在，请说明理由．
【分析问题】
“勤奋小组”展开了激烈地讨论，小明同学说：“可以先从一条线段开始思考，比如线段BE”，他画出了图2，当BE//AC时，你能求出∠ACE的度数吗？
【解决问题】
(1)如图2，∠ACE的度数是______度.
(2)当BC//DA时，画图并求出∠ACE的度数．
(3)这两块三角板是否还存在一组边互相平行的情况，若存在，请画图求出∠ACE的度数，并说明理由．
23.(本小题12分)
如图1，直线AD、BC相交于点O，∠DCP=12∠BCP=α，∠B=3α．
(1)求证：AB//CD；
(2)若∠D=2∠DCP，求∠AOC的度数(用含α的式子表示)；
(3)如图2，若点M在线段AB上，连接OM，作∠OMB的平分线MN交CP于点N，若∠BCD=n∠MNC，求∠MOC∠MNC的值(用含n的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由对顶角的定义，得C是对顶角，
故选：C．
根据对顶角的定义，可得答案．
本题考查了对顶角，对顶角中一个角的两边反向延长线是另一个角的两边．
2.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠2=∠A．
∵∠A=70°，
∴∠2=70°．
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=110°．
故选：B．
由AB//CD就可以得出∠2=∠A，根据∠1+∠2=180°可以求出∠1的度数．
本提主要考查了平行线的性质的运用，邻补角的性质的运用，解答时运用平行线的性质求解是关键．
3.【答案】A
【解析】解：根据作图过程可知：
画图的依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据．
本题考查了作图−复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
4.【答案】C
【解析】解：A、3.6+3.6=7.2，不能构成三角形，不符合题意；
B、4+4<10，不能构成三角形，不符合题意；
C、5+6>10，能构成三角形，符合题意；
D、53+63=113，不能构成三角形，不符合题意．
故选：C．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：A正确．
故选A．
根据题意画出图形，从而可做出判断．
本题主要考查的是平行线，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠ADB：∠BDC=1：2，
∴设∠ADB=x，则∠BDC=2x．
∵AD//BC，
∴∠DBC=∠ADB=x，
∵∠C=30°，∠C+∠DBC+∠BDC=180°，即30°+x+2x=180°，解得x=50°，
∴∠DBC=50°．
故选：C．
设∠ADB=x，则∠BDC=2x，再由AD//BC得出∠DBC=∠ADB=x，根据三角形内角和定理得出x的值，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
7.【答案】B
【解析】解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE=∠ABC=∠EDC=∠C=∠E=(5−2)×180°÷5=108°，
∴∠ADE=∠DAE=(180°−108°)÷2=36°，
∴∠DAB=∠BE−∠DAE=72°，
∠BDC=∠DBC=72°，
∴∠ADB=180°−∠DAB−∠DBA=36°．
故选：B．
由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠ADE=∠DAE=∠BDC=∠DBC=36°，从而求出∠ADB=108°−72°=36°．
本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠ADE=∠DAE=∠BDC=∠DBC=36°，和正五边形的每个内角是108度．
8.【答案】B
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=α，
∴∠BOD=90°−∠EOD=90°−α，
∴∠AOC=∠BOD=90°−α，
故选：B．
首先根据垂直的概念得到∠EOB=90°，然后求出∠BOD=90°−α，然后利用对顶角相等求解即可．
本题主要考查了垂线的定义和对顶角相等的知识，掌握垂线的定义是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、若∠3=∠2，则AB//CD，不能判断AD//BC，原说法错误不符合题意；
B、若∠B=∠1，则AD//BC，无法判断AB//CD，原说法错误不符合题意；
C、若∠D=∠1，则AB//CD，不能判断AD//BC，原说法错误不符合题意；
D、若AD//BC，则∠D+∠BCD=180°，而∠D=∠B，则∠B+∠BCD=180°，则AB//CD，原说法正确，符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定定理逐一判断即可．
本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意可得：∠1+∠2+…+∠n=(n−1)⋅180°．
故选：C．
根据第1个图形∠1+∠2=180°，第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，正确得出图中变化规律是解题关键．
11.【答案】对顶角相等
【解析】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等．
由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
本题考查了对顶角的定义、性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．对顶角相等．
12.【答案】20
【解析】解：由题意得：
(6−1)×4
=5×4
=20(m2)，
所以，这块草地的绿地面积为20m2，
故答案为：20．
根据小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式进行计算即可解答．
本题主要考查了生活中的平移现象，理解平移的性质是解决问题的关键．
13.【答案】28°
【解析】解：如图，
∵a//b，
∴∠1=∠3．
∵∠1=62°，
∴∠3=62°．
由题意：∠ACB=90°，
∴∠2=90°−∠3=90°−62°=28°．
故答案为：28°．
利用两直线平行，内错角相等可得∠3的度数，利用∠ACB=90°，则∠2=90°−∠3．
本题主要考查了平行线的性质，互为余角的两角关系．利用∠ACB=90°是解题的关键．
14.【答案】72
【解析】解：∵一个角的12等于另一个角的13，
∴这两个角不相等，
设其中一个角的度数为x°，另一个角的度数为12x°÷13=32x°，
∵两个角的两边两两互相平行，
∴x+32x=180，
解得：x=72，
即较小角的度数是72°，
故选：72．
设其中一个角的度数为x°，则另一个角的度数为32x°，根据平行线得出两个角互补，列出方程，再求出x即可．
本题考查了平行线的性质，注意：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
15.【答案】90°+12a
【解析】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12α，
∵ED//AC，
∴∠CAE+∠DEA=180°，
∴∠DEA=180°−12α，
∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°，
∴∠BED=360°−(180°−12α)−90°=90°+12a．
故答案为：90°+12a．
已知AE平分∠BAC，ED//AC，根据两直线平行，同旁内角互补，可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度数．
本题考查了平行线的性质和三角形外角和定理．关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点．
16.【答案】已知 邻补角的定义 同角的补角相等 ∠BAG 角平分线的定义 AGC 等量代换 内错角相等，两直线平行
【解析】解：因为∠BAG+∠AGD=180°(已知)，
∠AGC+∠AGD=180°(邻补角的定义)，
所以∠BAG=∠AGC(同角的补角相等)，
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12∠BAG(角平分线的定义)，
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12∠AGC，
得∠1=∠2(等量代换)，
所以AE//GF(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据邻补角的定义及题意得出∠BAG=∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1=∠2，即可判定AE//GF．
此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
17.【答案】解：设AB=BC=2x，AC=y，则BD=CD=x，
∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴有两种情况：
1、当3x=15，且x+y=12，解得x=5，y=7，
∴三边长分别为10，10，7；
2、当x+y=15且3x=12时，解得x=4，y=11，
此时腰为8，
∴三边长分别为8，8，11；
故△ABC的三边的长为10，10，7或8，8，11．
【解析】设AB=BC=2x，AC=y，则BD=CD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵∠AOC：∠BOC=2，3，
∴设∠AOC=2x°，则∠BOC=3x°
即2x+3x=180°
∴x=36°，
∴∠AOC=2x=72°，∠BOC=3x=108°，
∴∠BOD=∠AOC=72°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=36；
(2)∵OF⊥OE，∠DOE=36°，
∴∠AOF=90°，
∠DOF=90°−∠DEE=54°，
∠AOD=∠BOC=108°，
∠AOF=∠AOD−∠DOF=54°，
∴∠AOF=∠DOF．
∴OF平分∠AOD．
【解析】(1)依据∠AOC：∠BOC=2：3，∠AOC+∠BOC=180°，设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，列方程求得∠BOD=∠AOC=2x，再根据角平分线的定义即可得出结论；
(2)依据OF⊥OE，可得∠EOF=90°，进而得到∠AOF=90°−∠BOE=54°，再根据∠DOF进行计算即可．
本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1=∠2=12∠ABC，∠3=∠4=12∠ADC，
∴∠1+∠3=12(∠ABC+∠ADC)=12×180°=90°，
又∠1+∠AEB=90°，
∴∠3=∠AEB，
∴BE//DF；
(2)解：∵∠ABC=56°，
∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=124°，
∵DF平分∠CDA，
∴∠ADF=12∠ADC=62°．
【解析】(1)根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行；
(2)根据四边形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，角平分线定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠EBC和∠DFC的度数，难度适中．
20.【答案】解：(1)因为AB//CD，
所以∠1=∠DCE=28°，
因为CE平分∠ACD，
所以∠ACD=2∠DCE=56°；
因为AB//CD，
所以∠HAE=∠ACD=56°；
(2)CF//AG，理由如下：
因为CE平分∠ACD，
所以∠ACE=∠DCE=28°
因为CF⊥CE，
所以∠FCE=90°，
所以∠FCH=∠FCE−∠ACE=90°−28°=62°，
因为∠2=62°，
所以∠FCH=∠2，
所以CF//AG．
【解析】(1)根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；
(2)根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)①补全图形，如图1所示：
②∠DPE+∠A=180°．
证明：∵PD//AC，
∴∠A=∠BDP．
∵PE//AB，
∴∠DPE+∠BDP=180°，
∴∠DPE+∠A=180°．
(2)∵∠A=40°，∠C=65°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−40°−65°=75°，
∵PE//AB，
∴∠PEC=∠B=75°．
【解析】(1)根据平行线的性质，即可得到∠A=∠BDP，∠DPE+∠BDP=180°，即可得到∠DPE与∠A的数量关系．
(2)先根据已知条件求出∠B的度数，再由PE//AB可以得出∠PEC=∠B．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
22.【答案】45
【解析】解：(1)∵BE//AC，
∴∠ACE=∠E=45°；
故答案为：45°；
(2)当BC//DA时，如图，则∠BCD=∠D=30°，
∴∠ECD=∠ECB−∠DCB=60°，
∴∠ACE=∠ACD−∠ECD=30°；
(3)存在；
①当BE//AD时，如图，
过点C作CF//AD，
∵BE//AD，CF//AD，
∴BE//AD//CF，
∴∠ECF=∠E=45°，∠DCF=∠D=30°，
∴∠DCE=30°+45°=75°，
∴∠ACE=90°+75°=165°．
②当AD//CE时，如图所示：
∵AD//CE，
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°；
③当BE//CD时，如图所示：
∵BE//CD，
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°；
综上分析可知，∠ACE的度数可能是165°、120°、135°．
(1)根据两直线平行，内错角相等，即可得解；
(2)根据要求画图，根据平行线的性质求角的度数即可；
(3)分BE//AD，AD//CE，BE//CD分别画出图形，利用平行线的性质求出∠ACE的度数即可．
本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，关键是平行线判定定理的应用．
23.【答案】(1)证明：∵∠DCP=12∠BCP=α，
∴∠BCP=2∠DCP=2α，
∴∠BCD=∠BCP+∠DCP=3α，
∵∠B=3α，
∴∠B=∠BCD，
∴AB//CD．
(2)解：∵∠D=2∠DCP，
∴∠D=2α，
∵AB//CD，
∴∠A=∠D=2α，
∴∠AOC=∠A+∠B=5α．
(3)解：过点N作NK//AB，
∵AB//CD，
∴NK//CD，∠BMN=∠KNM，
∴∠KNC=∠DCN，
∵∠MNC=∠MNK+∠CNK，
∴∠MNK=∠BMN+∠DCN，
∴∠BMN=∠MNC−∠DCN，
∵MN是∠OMB的平分线，
∴∠BMO=2∠BMN=2∠MNC−2∠DCN，
∵∠BCD=n∠MNC=3α，
∴∠MNC=3αn，
∴∠BMO=2(∠MNC−∠DCN)=2(3αn−α)，
∵∠A+∠AOM=∠BMO，
∴∠AOM=∠BMO−∠A，
∴∠MOC=∠AOC+∠AOM=∠A+∠B+∠BMO−∠A=∠B+∠BMO=3α+3αn−2α=α+6αn=(6+n)αn，
∴∠MOC∠MNC=(6+n)αn3αm=(6+n)αn⋅n3α=2+n3，
∴∠MOC∠MNC=2+n3．
【解析】(1)根据角的数量关系可得∴∠B=∠BCD，再根据平行线的判定方法可得结论；
(2)根据∠D=2∠DCP，得∠D=2α，再根据平行线的性质及角的和差关系可得答案；
(3)过点N作NK//AB，由平行线的性质可得∠KNC=∠DCN，由角的和差得∠BMN=∠MNC−∠DCN，最后根据角平分线定义及角的和差关系可得答案．
此题考查的是平行线的判定与性质、角平分线定义、三角形外角性质，正确作出辅助线是解决此题关键．
1.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B. C. D.
2.如图，AB//CD，∠A=70°，则∠1的度数是( )
A. 130°B. 110°C. 100°D. 70°
3.如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD//AB”.其依据是( )
A. 同位角相等，两直线平行
B. 两直线平行，内错角相等
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
4.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3.6，3.6，7.2B. 4，4，10C. 5，6，10D. 113，63，53
5.下列说法正确的是( )
A. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a//c
B. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b⊥c，则a//c
D. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a⊥c
6.如图，AD//BC，∠C=30°，∠ADB：∠BDC=1：2，则∠ADB的度数是( )
A. 45°
B. 30°
C. 50°
D. 36°
7.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE=∠DAE，∠BDC=∠DBC，则∠ADB=( )
A. 18°
B. 36°
C. 72°
D. 108°
8.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD=α，则∠AOC的度数是( )
A. α
B. 90°−α
C. 90°+α
D. 180°−α
9.如图，下列说法正确的是( )
A. 若∠3=∠2，则AD//BC
B. 若∠B=∠1，则AB//CD
C. 若∠D=∠1，则AD//BC
D. 若AD//BC，∠D=∠B，则AB//CD
10.如图，已知AB//CD，若按图中规律继续下去，则∠1+∠2+…+∠n=( )
A. n⋅180°B. 2n⋅180°C. (n−1)⋅180°D. (n−1)2⋅180°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理是______．
12.如图，在一块长为6m，宽为4m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线.则这块草地的绿地面积______m2．
13.将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若a//b，∠1=62°，则∠2的度数为______．
14.两个角的两边两两互相平行，且一个角的12等于另一个角的13，则这两个角中较小角的度数为______°.
15.如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED//AC，∠BAC=α，则∠BED的度数为______.(⽤含α的式子表示)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，AE平分∠BAG，GF平分∠AGC，请说明AE//GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD=180°(______)，
∠AGC+∠AGD=180°(______)，
所以∠BAG=∠AGC(______)，
因为AE平分∠BAG，
所以∠1=12 ______(______)，
因为GF平分∠AGC，
所以∠2=12 ______，
得∠1=∠2(______)，
所以AE//GF(______).
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长．
18.(本小题8分)
如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠BOC=2；3．
(1)求∠DOE的度数；
(2)若OF⊥OE，求证OF平分∠AOD．
19.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
(1)求证：BE//DF；
(2)若∠ABC=56°，求∠ADF的大小．
20.(本小题9分)
如图，已知AB//CD，E、H分别是直线AB、CA上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠1=28°．
(1)求∠HAE的度数；
(2)若∠2=62°，请判断CF与AG是否互相平行？并说明理由．
21.(本小题10分)
P是三角形ABC内一点，射线PD//AC，射线PE//AB．
(1)当点D，E分别在AB，BC上时，
①补全图；
②猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明；
(2)若∠A=40°，∠C=65°，求∠PEC的度数．
22.(本小题12分)
【发现问题】
数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”.将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图1方式叠放在一起(其中，∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°).当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，将△ACD固定不动，改变△BCE的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合．
【提出问题】
在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出∠ACE的度数；若不存在，请说明理由．
【分析问题】
“勤奋小组”展开了激烈地讨论，小明同学说：“可以先从一条线段开始思考，比如线段BE”，他画出了图2，当BE//AC时，你能求出∠ACE的度数吗？
【解决问题】
(1)如图2，∠ACE的度数是______度.
(2)当BC//DA时，画图并求出∠ACE的度数．
(3)这两块三角板是否还存在一组边互相平行的情况，若存在，请画图求出∠ACE的度数，并说明理由．
23.(本小题12分)
如图1，直线AD、BC相交于点O，∠DCP=12∠BCP=α，∠B=3α．
(1)求证：AB//CD；
(2)若∠D=2∠DCP，求∠AOC的度数(用含α的式子表示)；
(3)如图2，若点M在线段AB上，连接OM，作∠OMB的平分线MN交CP于点N，若∠BCD=n∠MNC，求∠MOC∠MNC的值(用含n的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由对顶角的定义，得C是对顶角，
故选：C．
根据对顶角的定义，可得答案．
本题考查了对顶角，对顶角中一个角的两边反向延长线是另一个角的两边．
2.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠2=∠A．
∵∠A=70°，
∴∠2=70°．
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=110°．
故选：B．
由AB//CD就可以得出∠2=∠A，根据∠1+∠2=180°可以求出∠1的度数．
本提主要考查了平行线的性质的运用，邻补角的性质的运用，解答时运用平行线的性质求解是关键．
3.【答案】A
【解析】解：根据作图过程可知：
画图的依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据．
本题考查了作图−复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
4.【答案】C
【解析】解：A、3.6+3.6=7.2，不能构成三角形，不符合题意；
B、4+4<10，不能构成三角形，不符合题意；
C、5+6>10，能构成三角形，符合题意；
D、53+63=113，不能构成三角形，不符合题意．
故选：C．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：A正确．
故选A．
根据题意画出图形，从而可做出判断．
本题主要考查的是平行线，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠ADB：∠BDC=1：2，
∴设∠ADB=x，则∠BDC=2x．
∵AD//BC，
∴∠DBC=∠ADB=x，
∵∠C=30°，∠C+∠DBC+∠BDC=180°，即30°+x+2x=180°，解得x=50°，
∴∠DBC=50°．
故选：C．
设∠ADB=x，则∠BDC=2x，再由AD//BC得出∠DBC=∠ADB=x，根据三角形内角和定理得出x的值，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
7.【答案】B
【解析】解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE=∠ABC=∠EDC=∠C=∠E=(5−2)×180°÷5=108°，
∴∠ADE=∠DAE=(180°−108°)÷2=36°，
∴∠DAB=∠BE−∠DAE=72°，
∠BDC=∠DBC=72°，
∴∠ADB=180°−∠DAB−∠DBA=36°．
故选：B．
由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠ADE=∠DAE=∠BDC=∠DBC=36°，从而求出∠ADB=108°−72°=36°．
本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠ADE=∠DAE=∠BDC=∠DBC=36°，和正五边形的每个内角是108度．
8.【答案】B
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=α，
∴∠BOD=90°−∠EOD=90°−α，
∴∠AOC=∠BOD=90°−α，
故选：B．
首先根据垂直的概念得到∠EOB=90°，然后求出∠BOD=90°−α，然后利用对顶角相等求解即可．
本题主要考查了垂线的定义和对顶角相等的知识，掌握垂线的定义是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、若∠3=∠2，则AB//CD，不能判断AD//BC，原说法错误不符合题意；
B、若∠B=∠1，则AD//BC，无法判断AB//CD，原说法错误不符合题意；
C、若∠D=∠1，则AB//CD，不能判断AD//BC，原说法错误不符合题意；
D、若AD//BC，则∠D+∠BCD=180°，而∠D=∠B，则∠B+∠BCD=180°，则AB//CD，原说法正确，符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定定理逐一判断即可．
本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意可得：∠1+∠2+…+∠n=(n−1)⋅180°．
故选：C．
根据第1个图形∠1+∠2=180°，第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，正确得出图中变化规律是解题关键．
11.【答案】对顶角相等
【解析】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等．
由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
本题考查了对顶角的定义、性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．对顶角相等．
12.【答案】20
【解析】解：由题意得：
(6−1)×4
=5×4
=20(m2)，
所以，这块草地的绿地面积为20m2，
故答案为：20．
根据小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式进行计算即可解答．
本题主要考查了生活中的平移现象，理解平移的性质是解决问题的关键．
13.【答案】28°
【解析】解：如图，
∵a//b，
∴∠1=∠3．
∵∠1=62°，
∴∠3=62°．
由题意：∠ACB=90°，
∴∠2=90°−∠3=90°−62°=28°．
故答案为：28°．
利用两直线平行，内错角相等可得∠3的度数，利用∠ACB=90°，则∠2=90°−∠3．
本题主要考查了平行线的性质，互为余角的两角关系．利用∠ACB=90°是解题的关键．
14.【答案】72
【解析】解：∵一个角的12等于另一个角的13，
∴这两个角不相等，
设其中一个角的度数为x°，另一个角的度数为12x°÷13=32x°，
∵两个角的两边两两互相平行，
∴x+32x=180，
解得：x=72，
即较小角的度数是72°，
故选：72．
设其中一个角的度数为x°，则另一个角的度数为32x°，根据平行线得出两个角互补，列出方程，再求出x即可．
本题考查了平行线的性质，注意：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
15.【答案】90°+12a
【解析】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12α，
∵ED//AC，
∴∠CAE+∠DEA=180°，
∴∠DEA=180°−12α，
∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°，
∴∠BED=360°−(180°−12α)−90°=90°+12a．
故答案为：90°+12a．
已知AE平分∠BAC，ED//AC，根据两直线平行，同旁内角互补，可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度数．
本题考查了平行线的性质和三角形外角和定理．关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点．
16.【答案】已知 邻补角的定义 同角的补角相等 ∠BAG 角平分线的定义 AGC 等量代换 内错角相等，两直线平行
【解析】解：因为∠BAG+∠AGD=180°(已知)，
∠AGC+∠AGD=180°(邻补角的定义)，
所以∠BAG=∠AGC(同角的补角相等)，
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12∠BAG(角平分线的定义)，
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12∠AGC，
得∠1=∠2(等量代换)，
所以AE//GF(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据邻补角的定义及题意得出∠BAG=∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1=∠2，即可判定AE//GF．
此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
17.【答案】解：设AB=BC=2x，AC=y，则BD=CD=x，
∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴有两种情况：
1、当3x=15，且x+y=12，解得x=5，y=7，
∴三边长分别为10，10，7；
2、当x+y=15且3x=12时，解得x=4，y=11，
此时腰为8，
∴三边长分别为8，8，11；
故△ABC的三边的长为10，10，7或8，8，11．
【解析】设AB=BC=2x，AC=y，则BD=CD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵∠AOC：∠BOC=2，3，
∴设∠AOC=2x°，则∠BOC=3x°
即2x+3x=180°
∴x=36°，
∴∠AOC=2x=72°，∠BOC=3x=108°，
∴∠BOD=∠AOC=72°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=36；
(2)∵OF⊥OE，∠DOE=36°，
∴∠AOF=90°，
∠DOF=90°−∠DEE=54°，
∠AOD=∠BOC=108°，
∠AOF=∠AOD−∠DOF=54°，
∴∠AOF=∠DOF．
∴OF平分∠AOD．
【解析】(1)依据∠AOC：∠BOC=2：3，∠AOC+∠BOC=180°，设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，列方程求得∠BOD=∠AOC=2x，再根据角平分线的定义即可得出结论；
(2)依据OF⊥OE，可得∠EOF=90°，进而得到∠AOF=90°−∠BOE=54°，再根据∠DOF进行计算即可．
本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1=∠2=12∠ABC，∠3=∠4=12∠ADC，
∴∠1+∠3=12(∠ABC+∠ADC)=12×180°=90°，
又∠1+∠AEB=90°，
∴∠3=∠AEB，
∴BE//DF；
(2)解：∵∠ABC=56°，
∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=124°，
∵DF平分∠CDA，
∴∠ADF=12∠ADC=62°．
【解析】(1)根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行；
(2)根据四边形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，角平分线定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠EBC和∠DFC的度数，难度适中．
20.【答案】解：(1)因为AB//CD，
所以∠1=∠DCE=28°，
因为CE平分∠ACD，
所以∠ACD=2∠DCE=56°；
因为AB//CD，
所以∠HAE=∠ACD=56°；
(2)CF//AG，理由如下：
因为CE平分∠ACD，
所以∠ACE=∠DCE=28°
因为CF⊥CE，
所以∠FCE=90°，
所以∠FCH=∠FCE−∠ACE=90°−28°=62°，
因为∠2=62°，
所以∠FCH=∠2，
所以CF//AG．
【解析】(1)根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；
(2)根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)①补全图形，如图1所示：
②∠DPE+∠A=180°．
证明：∵PD//AC，
∴∠A=∠BDP．
∵PE//AB，
∴∠DPE+∠BDP=180°，
∴∠DPE+∠A=180°．
(2)∵∠A=40°，∠C=65°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−40°−65°=75°，
∵PE//AB，
∴∠PEC=∠B=75°．
【解析】(1)根据平行线的性质，即可得到∠A=∠BDP，∠DPE+∠BDP=180°，即可得到∠DPE与∠A的数量关系．
(2)先根据已知条件求出∠B的度数，再由PE//AB可以得出∠PEC=∠B．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
22.【答案】45
【解析】解：(1)∵BE//AC，
∴∠ACE=∠E=45°；
故答案为：45°；
(2)当BC//DA时，如图，则∠BCD=∠D=30°，
∴∠ECD=∠ECB−∠DCB=60°，
∴∠ACE=∠ACD−∠ECD=30°；
(3)存在；
①当BE//AD时，如图，
过点C作CF//AD，
∵BE//AD，CF//AD，
∴BE//AD//CF，
∴∠ECF=∠E=45°，∠DCF=∠D=30°，
∴∠DCE=30°+45°=75°，
∴∠ACE=90°+75°=165°．
②当AD//CE时，如图所示：
∵AD//CE，
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°；
③当BE//CD时，如图所示：
∵BE//CD，
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°；
综上分析可知，∠ACE的度数可能是165°、120°、135°．
(1)根据两直线平行，内错角相等，即可得解；
(2)根据要求画图，根据平行线的性质求角的度数即可；
(3)分BE//AD，AD//CE，BE//CD分别画出图形，利用平行线的性质求出∠ACE的度数即可．
本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，关键是平行线判定定理的应用．
23.【答案】(1)证明：∵∠DCP=12∠BCP=α，
∴∠BCP=2∠DCP=2α，
∴∠BCD=∠BCP+∠DCP=3α，
∵∠B=3α，
∴∠B=∠BCD，
∴AB//CD．
(2)解：∵∠D=2∠DCP，
∴∠D=2α，
∵AB//CD，
∴∠A=∠D=2α，
∴∠AOC=∠A+∠B=5α．
(3)解：过点N作NK//AB，
∵AB//CD，
∴NK//CD，∠BMN=∠KNM，
∴∠KNC=∠DCN，
∵∠MNC=∠MNK+∠CNK，
∴∠MNK=∠BMN+∠DCN，
∴∠BMN=∠MNC−∠DCN，
∵MN是∠OMB的平分线，
∴∠BMO=2∠BMN=2∠MNC−2∠DCN，
∵∠BCD=n∠MNC=3α，
∴∠MNC=3αn，
∴∠BMO=2(∠MNC−∠DCN)=2(3αn−α)，
∵∠A+∠AOM=∠BMO，
∴∠AOM=∠BMO−∠A，
∴∠MOC=∠AOC+∠AOM=∠A+∠B+∠BMO−∠A=∠B+∠BMO=3α+3αn−2α=α+6αn=(6+n)αn，
∴∠MOC∠MNC=(6+n)αn3αm=(6+n)αn⋅n3α=2+n3，
∴∠MOC∠MNC=2+n3．
【解析】(1)根据角的数量关系可得∴∠B=∠BCD，再根据平行线的判定方法可得结论；
(2)根据∠D=2∠DCP，得∠D=2α，再根据平行线的性质及角的和差关系可得答案；
(3)过点N作NK//AB，由平行线的性质可得∠KNC=∠DCN，由角的和差得∠BMN=∠MNC−∠DCN，最后根据角平分线定义及角的和差关系可得答案．
此题考查的是平行线的判定与性质、角平分线定义、三角形外角性质，正确作出辅助线是解决此题关键．
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