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2023-2024学年江苏省盐城市大丰区七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省盐城市大丰区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a⋅a−1=1(a≠0)B. a2+a2=a4
C. (−3ab2)2=−6a2b4D. (a−b)2=a2−b2
3.若x2−mx+25是完全平方式，则m=( )
A. −10B. 10C. ±10D. 7或−1
4.小明有两根3cm、4cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，选第三根木棒的长可能是( )
A. 1cmB. 4cmC. 7cmD. 8cm
5.如图，下列条件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠A+∠ABC=180°，④∠A=∠5，其中能判定AB//DC的条件有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如图，将∠A为30°的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，则∠1+∠2的度数为( )
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 不确定
7.若(x2+ax)(x−b)中不含x2项，则a，b满足的数量关系是( )
A. a+b=0B. a−2b=0C. a=bD. a=12b
8.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”，如：因为16=52−32，所以称16为“奇妙数”，下面4个数中为“奇妙数”的是( )
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.计算−x5÷(−x)2= ______．
10.计算：(−13)2022×32023= ______．
11.如果(x+2)x−5=1，则x的值为______．
12.某种细胞的直径约为0.000182mm，该数据用科学记数法表示为______mm．
13.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．
14.若3x=4，3y=5，则3x−y= ______．
15.已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足|b−2|+(c−3)2=0，且a为方程|a−5|=1的解，则△ABC的周长为______．
16.下列四种说法中正确的是______(请填写正确的说法序号)．
①同位角相等
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段
③三角形的外角大于它的任何一个内角
④一个三角形中至少有两个角为锐角
17.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB上的一点，且AE=3BE，BD与CE相交于点F，若△CDF的面积为3，则△ABC的面积为______．
18.已知正整数a，b，c(其中a≠1)满足abc=ab+8，则a+b+c的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
(1)△ABC的面积为______；
(2)将△ABC经过平移后得到△A′B′C′图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′；
(3)若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是______；
(4)能使S△ABC=S△QBC的格点Q(A点除外)，共有______个.
20.(本小题6分)
因式分解：
(1)2x2−8；
(2)x3−2x2y+xy2；
(3)9a2(2x−y)+(y−2x)．
21.(本小题6分)
计算：
(1)(2a2)3+(2a)2；
(2)(2x−1)(x+2)；
(3)(−7.6×1010)×(−2×102)2．
22.(本小题9分)
先化简，再求值：(x−1)2+(x−2)(x+2)，其中x2−x−1=0．
23.(本小题9分)
如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE//AB，∠1+∠2=180°．
(1)试说明：DF//AC；
(2)若∠1=100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．
24.(本小题9分)
如图，点F为四边形ABCD的边BC上一点，连接DF并延长交AB延长线于点E，已知AB//DC，AD//BC，DE平分∠ADC；∠BFE与∠E相等吗？为什么？
25.(本小题9分)
如图，将一个边长为(a+b)的正方形ABCD分割成四部分(边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形)，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)请用两种方法分别表示该正方形的面积(用含a、b的代数式表示)① ______，② ______；由此可以验证一个重要的公式是______．
(2)若图中a，b满足a2+b2=39，ab=5，求(a+b)的值．
(3)若(7+5k)2+(3−5k)2=60，求(7+5k)(3−5k)的值．
(4)请利用图形分割的方法将x2+3xy+2y2因式分解并画出相应的图形(标注x，y)．
26.(本小题9分)
(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由；
(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为40°，现放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底，则MN与水平线的夹角∠MOC的度数= ______°.
(3)如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD.∠BAF=110°，∠DCF=80°，射线AB绕A点以2度/秒顺时针转动，同时射线CD绕C点以3度/秒的速度逆时针转动，设时间为t，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
B.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
C.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
D.是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意．
故选：D．
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形．
本题考查利用平移设计图案，解答本题的关键是正确理解平移的概念．
2.【答案】A
【解析】解：A.a⋅a−1=a1−1=a0=1(a≠0)，故正确，符合题意；
B.a2+a2=2a2，故错误，不合题意；
C.(−3ab2)2=9a2b4，故错误，不合题意；
D.(a−b)2=a2+b2−2ab，故错误，不合题意；
故选：A．
利用同底数幂的乘法，零指数幂，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式计算并判断．
本题考查了同底数幂的乘法，零指数幂，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握相应的计算法则．
3.【答案】C
【解析】解：∵x2−mx+25是完全平方式，
∴m=±10，
故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A项，1+3=4，故不符合题意；
B项，3+4>4，故符合题意；
C项，3+4=7，故不符合题意；
D项，3+4<8，故不符合题意；
故选：B．
分别计算每种情况中两条较短的线段之和，若大于最长的线段则可组成三角形，否则就不能，从而可得答案．
本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握三角形三边的关系．
5.【答案】B
【解析】解：①∠1=∠2，内错角相等，两直线平行，则AD//BC．
②∠3=∠4，内错角相等，两直线平行，则AB//DC．
③∠A+∠ABC=180°，同旁内角互补，两直线平行，则AD//BC．
④∠A=∠5，同位角相等，两直线平行，则AB//DC．
故选：B．
根据平行线的判定定理，能够判定AB//DC是②④，而条件①③是判定AD//BC．
在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过点B作BD//EF交AC于点D，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ABC=90°−∠A=60°，
∵BD//EF，
∴∠1=∠ABD，
∵BD//EF，MN//EF，
∴MN//BD，
∴∠2=∠CBD，
∴∠1+∠2=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°．
故选：A．
过点B作BD//EF交AC于点D，可证MN//BD，利用平行线的性质可得∠1=∠ABD，∠2=∠CBD，进而可得∠1+∠2=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°．
本题主要考查平行线性质，解题的关键是正确作出辅助线．
7.【答案】C
【解析】解：(x2+ax)(x−b)
=x3−bx2+ax2−abx
=x3+(a−b)x2−abx
∵不含x2项，
∴a−b=0
∴a=b，
故选：C．
原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含x2项，即可求出a与b的值．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设这两个连续偶数为n，n+2，
则(n+2)2−n2=(n+2+n)(n+2−n)=4n+4，
A.4n+4=2021，解得n=20174，n不是奇数，故不符合题意；
B.4n+4=2022，解得n=10092，n不是奇数，故不符合题意；
C.4n+4=2023，解得n=20194，n不是奇数，故不符合题意；
D.4n+4=2024，解得n=505，n是奇数，故符合题意；
故选：D．
设这两个连续奇数为n，n+2，应用平方差公式进行计算可得(n+2)2−n2=4n+4，代入计算n的值，即可得出答案．
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进行求解是解决本题的关键．
9.【答案】−x3
【解析】解：−x5÷(−x)2=−x5÷x2=−x3；
故答案为：−x3．
先计算积的乘方运算，再按照同底数幂的除法运算可得答案．
本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的除法，熟记运算法则是解本题的关键．
10.【答案】3
【解析】解：(−13)2022×32023
=(−13)2022×32022×3
=(−13×3)2022×3
=3．
先将(−13)2022×32023转化为(−13)2022×32022×3，然后根据同底数幂乘法的运算法则得(−13×3)2022×3，由此即可得出答案．
此题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解决问题的关键．
11.【答案】−1，−3，5
【解析】解：当x+2=1时：x=−1，此时(−1+2)1−5=1，符合题意；
当x+2=−1时，x=−3，此时(−1+2)−3−5=(−1)−8=1，符合题意；
当x+2≠0时，(x+2)x−5=(x+2)0=1，
∴x−5=0，
∴x=5；
故答案为：−1，−3，5．
根据分底数为±1，底数不等于0，三种情况进行讨论求解即可．
本题考查零指数幂、有理数的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12.【答案】1.82×10−4
【解析】解：0.000182=1.82×10−4，
故答案为：1.82×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】八
【解析】【分析】
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°.n边形的内角和是(n−2)⋅180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】
解：设多边形的边数为n，根据题意，得
(n−2)⋅180=3×360，
解得n=8．
则这个多边形的边数是八．
14.【答案】45
【解析】解：3x−y=3x÷3y=4÷5=45，
故答案为：45．
根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
15.【答案】9
【解析】解：∵|b−2|+(c−3)2=0，
∴b−2=0且c−3=0，
∴b=2、c=3，
∵a为方程|a−5|=1的解，
∴a=6或a=4，
又2+3<6，不能构成三角形，
∴a=4，
则△ABC的周长为2+3+4=9，
故答案为：9．
利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b=2、c=3的值，再解绝对值方程可得a=6或a=4，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长．
此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
16.【答案】②④
【解析】解：①两直线平行，同位角相等，故①不符合题意；
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段，故②符合题意；
③三角形的外角大于和它不相邻的内角，故③不符合题意；
④一个三角形中至少有两个角为锐角，故④符合题意；
故答案为：②④．
利用平行线的性质，三角形的中线、高线、角平分线的定义，三角形的内角、外角间的关系分析即可．
本题主要考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的中线、高线、角平分线的定义，平行线的性质，掌握相关定义以及性质是解题的关键．
17.【答案】10
【解析】解：连接AF，如图所示：
∵D是AC的中点，S△CDF=3，
∴S△ADF=S△CDF=3，
又∵AE=3BE，
∴S△AEF=3S△BEF，
设S△BEF=x，则S△AEF=3x，
∵S△ABD=S△BCD，
∴S△BCF+3=3+x+3x，
∴S△BCF=4x，
∴CF：EF=4：1，
∴S△ACF：S△AEF=4：1，
∴S△AEF=32=3x，
解得：x=12，
∴S△ABC=2S△BCD=2×(3+4×12)=10，
故答案为：10．
连接AF，根据中点可得S△ADF=S△CDF=3，根据AE=3BE可得S△AEF=3S△BEF，设S△BEF=x，可得S△BCF=4x，进而可得S△ACF：S△AEF=4：1，求出x的值，进而可求解．
本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到S△ACF：S△AEF=4：1是解题的关键．
18.【答案】7
【解析】解：∵abc=ab+8，
∴abc−ab=8，
即ab(c−1)=8，
因为a、b、c都是正整数，a≠1
所以当a=2，b=1，c=5时，a+b+c=8，
当a=2，b=2，c=3时，a+b+c=7，
当a=2，b=3，c=2时，a+b+c=7，
当a=4，b=1，c=3时，a+b+c=8，
当a=8，b=1，c=2时，a+b+c=11，
所以a+b+c的最小值是 7．
故答案为：7．
由已知abc=ab+8可化为ab(c−1)=8，因为a、b、c都是正整数，a只能取2的倍数，根据a的取值即可得出b、c的值，计算即可得出答案．
本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握整式的运算法则进行计算是解决本题的关键．
19.【答案】(1)8 ;
(2)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(3)AA′=BB′，AA′//BB′ ;
(4) 4．
【解析】解：(1)△ABC的面积=12×4×4=8，
故答案为：8；
(2)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(3)若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是AA′=BB′，AA′//BB′，
故答案为：AA′=BB′，AA′//BB′；
(4)如图所示，符合条件的点Q共有4个，
故答案为：4．
(1)根据三角形的面积公式结合网格即可求解；
(2)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(3)由图形可知，若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是AA′=BB′，AA′//BB′；
(4)作出图形，由图形可知符合条件的点Q共有4个．
本题考查了作图−平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=2(x2−4)
=2(x+2)(x−2)；
(2)原式=x(x2−2xy+y2)
=x(x−y)2；
(3)原式=9a2(2x−y)−(2x−y)
=(2x−y)(9a2−1)
=(2x−y)(3a+1)(3a−1)．
【解析】(1)先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先提取公因式，再利用完全平方平方公式进行因式分解即可；
(3)先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
本题主要考查提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=8a6+4a2；
(2)原式=2x2+4x−x−2
=2x2+3x−2；
(3)原式=−7.6×1010×4×104
=−30.4×1014
=−3.04×1015．
【解析】(1)根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可；
(2)根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
(3)先根据积的乘方进行计算，最后用科学记数法表示即可．
本题主要考查幂的乘方和积的乘方、多项式乘多项式、用科学记数法表示较大的数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22.【答案】解：(x−1)2+(x−2)(x+2)
=x2−2x+1+x2−4
=2x2−2x−3
=2(x2−x)−3，
∵x2−x−1=0，
∴x2−x=1，
将x2−x=1代入，
原式=−1．
【解析】先将(x−1)2+(x−2)(x+2)进行化简，再对x2−x−1=0进行变形代入，可得．
本题考查了整式的化简求值，关键是掌握完全平方公式、平方差公式．
23.【答案】证明：(1)∵DE//AB，
∴∠A=∠2，
∵∠1+∠2=180°．
∴∠1+∠A=180°，
∴DF//AC；
(2)∵DE//AB，∠1=100°，
∴∠FDE=80°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠FDB=80°，
∵DF//AC，
∴∠C=∠FDB=80°．
【解析】(1)根据平行线的判定与性质即可证明结论；
(2)根据角平分线定义和平行线的判定与性质即可求出结果．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
24.【答案】解：∠BFE=∠E．
理由：∵AB//DC，
∴∠CDE=∠E，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠E=∠ADE，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠BFE，
∴∠BFE=∠E．
【解析】根据AB//DC，得出∠CDE=∠E，根据角平分线的定义得出∠CDE=∠ADE，进而得出∠E=∠ADE，根据AD//BC，得出∠ADE=∠BFE，进而得出答案．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
25.【答案】(a+b)2 a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2
【解析】解：(1)该正方形的面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为a2+2ab+b2，
由此可以验证一个重要的公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2，a2+2ab+b2，(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)∵a2+b2=39，ab=5，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=39+10=49，
∴a+b=7，(a+b=−7舍去)；
(3)∵2(7+5k)(3−5k)=[(7+5k)+(3−5k)]2−60，
∴(7+5k)(3−5k)=20；
(4)x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y)．
画图：
(1)该正方形的面积等于边长的平方，或两个长方形及两个小正方形的面积之和，进而可得出答案；
(2)根据(a+b)2=a2+b2+2ab，先求出(a+b)2，即可求出(a+b)的值；
(3)根据2(7+5k)(3−5k)=[(7+5k)+(3−5k)]2−60，即可求解；
(4)利用图形分割的方法画出图形，即可求解．
本题考查多项式乘多项式和因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，并且能够通过图形分割的方法进行因式分解是解题的关键．
26.【答案】65
【解析】解：(1)如图，延长入射光线a，与直线相交得到∠5和∠6，
证明：∵∠1=∠2，
∴m//n，
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠4=∠6，
∴a//b；
(2)∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠MOA=∠NOB，
∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，
∴∠MOA+∠AOC+∠BOC+∠NOB=180°，
∴∠MOA=25°，
∴∠MOC=25°+40°=65°，
故答案为：65°；
(3)如图：
110°−2°t=180°−(80°−3°t)，
解得t=2；
∠FCD1=∠DCD1−∠DCF=3t−80°，
∠FAB1=∠FAB−∠BAB1=110°−2t，
∵当AB1//CD1时，
∴∠FCD1=∠FAB1，
∴3t−80°=110°−2t，
∴t=38，
∠ECD2=∠DCF+180°−3t=260°−3t，
∠FAB2=2t−∠BAF=2t−110°，
∵AB2//CD2，
∴∠ECD2=∠FAB2，
∴260°−3t=2t−110°，
∴t=74，
∠EAB3=110°+180°−2t=290°−2t，
∠ECD3=3t−80°−180°=3t−260°，
∵AB3//CD3，
∴∠ECD3=∠EAB3，
∴290°−2t=3t−260°，
∴t=110，
∠FAB4=360°−2t+110°=470°−2t，
∠ECD4=3t−360°+180°−80°=3t−260°，
∵AB4//CD4，
∴∠ECD4=∠FAB4，
∴470°−2t=3t−260°，
∴t=146．
(1)根据∠1=∠2，可以得到两条直线平行，通过平行，可以得到对应的角相等，通过角相等，可以得到新的平行；
(2)根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，可以得到入射光线与镜面的夹角+反射光线与镜面的夹角+40°+90°=180°，从而求出夹角，然后求出对应的角；
(3)通过两条直线平行，得到对应的内错角或同位角相等，通过旋转角，得到对应的角的度数用t来表示，然后求出t值．
本题考查平行线的性质和判定，考查了一元一次方程的应用等，通过讨论得到不同的平行关系，对应的角度．
1.如图所示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a⋅a−1=1(a≠0)B. a2+a2=a4
C. (−3ab2)2=−6a2b4D. (a−b)2=a2−b2
3.若x2−mx+25是完全平方式，则m=( )
A. −10B. 10C. ±10D. 7或−1
4.小明有两根3cm、4cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，选第三根木棒的长可能是( )
A. 1cmB. 4cmC. 7cmD. 8cm
5.如图，下列条件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠A+∠ABC=180°，④∠A=∠5，其中能判定AB//DC的条件有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如图，将∠A为30°的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，则∠1+∠2的度数为( )
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 不确定
7.若(x2+ax)(x−b)中不含x2项，则a，b满足的数量关系是( )
A. a+b=0B. a−2b=0C. a=bD. a=12b
8.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”，如：因为16=52−32，所以称16为“奇妙数”，下面4个数中为“奇妙数”的是( )
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.计算−x5÷(−x)2= ______．
10.计算：(−13)2022×32023= ______．
11.如果(x+2)x−5=1，则x的值为______．
12.某种细胞的直径约为0.000182mm，该数据用科学记数法表示为______mm．
13.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．
14.若3x=4，3y=5，则3x−y= ______．
15.已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足|b−2|+(c−3)2=0，且a为方程|a−5|=1的解，则△ABC的周长为______．
16.下列四种说法中正确的是______(请填写正确的说法序号)．
①同位角相等
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段
③三角形的外角大于它的任何一个内角
④一个三角形中至少有两个角为锐角
17.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB上的一点，且AE=3BE，BD与CE相交于点F，若△CDF的面积为3，则△ABC的面积为______．
18.已知正整数a，b，c(其中a≠1)满足abc=ab+8，则a+b+c的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
(1)△ABC的面积为______；
(2)将△ABC经过平移后得到△A′B′C′图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′；
(3)若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是______；
(4)能使S△ABC=S△QBC的格点Q(A点除外)，共有______个.
20.(本小题6分)
因式分解：
(1)2x2−8；
(2)x3−2x2y+xy2；
(3)9a2(2x−y)+(y−2x)．
21.(本小题6分)
计算：
(1)(2a2)3+(2a)2；
(2)(2x−1)(x+2)；
(3)(−7.6×1010)×(−2×102)2．
22.(本小题9分)
先化简，再求值：(x−1)2+(x−2)(x+2)，其中x2−x−1=0．
23.(本小题9分)
如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE//AB，∠1+∠2=180°．
(1)试说明：DF//AC；
(2)若∠1=100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．
24.(本小题9分)
如图，点F为四边形ABCD的边BC上一点，连接DF并延长交AB延长线于点E，已知AB//DC，AD//BC，DE平分∠ADC；∠BFE与∠E相等吗？为什么？
25.(本小题9分)
如图，将一个边长为(a+b)的正方形ABCD分割成四部分(边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形)，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)请用两种方法分别表示该正方形的面积(用含a、b的代数式表示)① ______，② ______；由此可以验证一个重要的公式是______．
(2)若图中a，b满足a2+b2=39，ab=5，求(a+b)的值．
(3)若(7+5k)2+(3−5k)2=60，求(7+5k)(3−5k)的值．
(4)请利用图形分割的方法将x2+3xy+2y2因式分解并画出相应的图形(标注x，y)．
26.(本小题9分)
(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由；
(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为40°，现放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底，则MN与水平线的夹角∠MOC的度数= ______°.
(3)如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD.∠BAF=110°，∠DCF=80°，射线AB绕A点以2度/秒顺时针转动，同时射线CD绕C点以3度/秒的速度逆时针转动，设时间为t，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
B.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
C.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
D.是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意．
故选：D．
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形．
本题考查利用平移设计图案，解答本题的关键是正确理解平移的概念．
2.【答案】A
【解析】解：A.a⋅a−1=a1−1=a0=1(a≠0)，故正确，符合题意；
B.a2+a2=2a2，故错误，不合题意；
C.(−3ab2)2=9a2b4，故错误，不合题意；
D.(a−b)2=a2+b2−2ab，故错误，不合题意；
故选：A．
利用同底数幂的乘法，零指数幂，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式计算并判断．
本题考查了同底数幂的乘法，零指数幂，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握相应的计算法则．
3.【答案】C
【解析】解：∵x2−mx+25是完全平方式，
∴m=±10，
故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A项，1+3=4，故不符合题意；
B项，3+4>4，故符合题意；
C项，3+4=7，故不符合题意；
D项，3+4<8，故不符合题意；
故选：B．
分别计算每种情况中两条较短的线段之和，若大于最长的线段则可组成三角形，否则就不能，从而可得答案．
本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握三角形三边的关系．
5.【答案】B
【解析】解：①∠1=∠2，内错角相等，两直线平行，则AD//BC．
②∠3=∠4，内错角相等，两直线平行，则AB//DC．
③∠A+∠ABC=180°，同旁内角互补，两直线平行，则AD//BC．
④∠A=∠5，同位角相等，两直线平行，则AB//DC．
故选：B．
根据平行线的判定定理，能够判定AB//DC是②④，而条件①③是判定AD//BC．
在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过点B作BD//EF交AC于点D，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ABC=90°−∠A=60°，
∵BD//EF，
∴∠1=∠ABD，
∵BD//EF，MN//EF，
∴MN//BD，
∴∠2=∠CBD，
∴∠1+∠2=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°．
故选：A．
过点B作BD//EF交AC于点D，可证MN//BD，利用平行线的性质可得∠1=∠ABD，∠2=∠CBD，进而可得∠1+∠2=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°．
本题主要考查平行线性质，解题的关键是正确作出辅助线．
7.【答案】C
【解析】解：(x2+ax)(x−b)
=x3−bx2+ax2−abx
=x3+(a−b)x2−abx
∵不含x2项，
∴a−b=0
∴a=b，
故选：C．
原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含x2项，即可求出a与b的值．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设这两个连续偶数为n，n+2，
则(n+2)2−n2=(n+2+n)(n+2−n)=4n+4，
A.4n+4=2021，解得n=20174，n不是奇数，故不符合题意；
B.4n+4=2022，解得n=10092，n不是奇数，故不符合题意；
C.4n+4=2023，解得n=20194，n不是奇数，故不符合题意；
D.4n+4=2024，解得n=505，n是奇数，故符合题意；
故选：D．
设这两个连续奇数为n，n+2，应用平方差公式进行计算可得(n+2)2−n2=4n+4，代入计算n的值，即可得出答案．
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进行求解是解决本题的关键．
9.【答案】−x3
【解析】解：−x5÷(−x)2=−x5÷x2=−x3；
故答案为：−x3．
先计算积的乘方运算，再按照同底数幂的除法运算可得答案．
本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的除法，熟记运算法则是解本题的关键．
10.【答案】3
【解析】解：(−13)2022×32023
=(−13)2022×32022×3
=(−13×3)2022×3
=3．
先将(−13)2022×32023转化为(−13)2022×32022×3，然后根据同底数幂乘法的运算法则得(−13×3)2022×3，由此即可得出答案．
此题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解决问题的关键．
11.【答案】−1，−3，5
【解析】解：当x+2=1时：x=−1，此时(−1+2)1−5=1，符合题意；
当x+2=−1时，x=−3，此时(−1+2)−3−5=(−1)−8=1，符合题意；
当x+2≠0时，(x+2)x−5=(x+2)0=1，
∴x−5=0，
∴x=5；
故答案为：−1，−3，5．
根据分底数为±1，底数不等于0，三种情况进行讨论求解即可．
本题考查零指数幂、有理数的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12.【答案】1.82×10−4
【解析】解：0.000182=1.82×10−4，
故答案为：1.82×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】八
【解析】【分析】
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°.n边形的内角和是(n−2)⋅180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】
解：设多边形的边数为n，根据题意，得
(n−2)⋅180=3×360，
解得n=8．
则这个多边形的边数是八．
14.【答案】45
【解析】解：3x−y=3x÷3y=4÷5=45，
故答案为：45．
根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
15.【答案】9
【解析】解：∵|b−2|+(c−3)2=0，
∴b−2=0且c−3=0，
∴b=2、c=3，
∵a为方程|a−5|=1的解，
∴a=6或a=4，
又2+3<6，不能构成三角形，
∴a=4，
则△ABC的周长为2+3+4=9，
故答案为：9．
利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b=2、c=3的值，再解绝对值方程可得a=6或a=4，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长．
此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
16.【答案】②④
【解析】解：①两直线平行，同位角相等，故①不符合题意；
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段，故②符合题意；
③三角形的外角大于和它不相邻的内角，故③不符合题意；
④一个三角形中至少有两个角为锐角，故④符合题意；
故答案为：②④．
利用平行线的性质，三角形的中线、高线、角平分线的定义，三角形的内角、外角间的关系分析即可．
本题主要考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的中线、高线、角平分线的定义，平行线的性质，掌握相关定义以及性质是解题的关键．
17.【答案】10
【解析】解：连接AF，如图所示：
∵D是AC的中点，S△CDF=3，
∴S△ADF=S△CDF=3，
又∵AE=3BE，
∴S△AEF=3S△BEF，
设S△BEF=x，则S△AEF=3x，
∵S△ABD=S△BCD，
∴S△BCF+3=3+x+3x，
∴S△BCF=4x，
∴CF：EF=4：1，
∴S△ACF：S△AEF=4：1，
∴S△AEF=32=3x，
解得：x=12，
∴S△ABC=2S△BCD=2×(3+4×12)=10，
故答案为：10．
连接AF，根据中点可得S△ADF=S△CDF=3，根据AE=3BE可得S△AEF=3S△BEF，设S△BEF=x，可得S△BCF=4x，进而可得S△ACF：S△AEF=4：1，求出x的值，进而可求解．
本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到S△ACF：S△AEF=4：1是解题的关键．
18.【答案】7
【解析】解：∵abc=ab+8，
∴abc−ab=8，
即ab(c−1)=8，
因为a、b、c都是正整数，a≠1
所以当a=2，b=1，c=5时，a+b+c=8，
当a=2，b=2，c=3时，a+b+c=7，
当a=2，b=3，c=2时，a+b+c=7，
当a=4，b=1，c=3时，a+b+c=8，
当a=8，b=1，c=2时，a+b+c=11，
所以a+b+c的最小值是 7．
故答案为：7．
由已知abc=ab+8可化为ab(c−1)=8，因为a、b、c都是正整数，a只能取2的倍数，根据a的取值即可得出b、c的值，计算即可得出答案．
本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握整式的运算法则进行计算是解决本题的关键．
19.【答案】(1)8 ;
(2)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(3)AA′=BB′，AA′//BB′ ;
(4) 4．
【解析】解：(1)△ABC的面积=12×4×4=8，
故答案为：8；
(2)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(3)若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是AA′=BB′，AA′//BB′，
故答案为：AA′=BB′，AA′//BB′；
(4)如图所示，符合条件的点Q共有4个，
故答案为：4．
(1)根据三角形的面积公式结合网格即可求解；
(2)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(3)由图形可知，若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是AA′=BB′，AA′//BB′；
(4)作出图形，由图形可知符合条件的点Q共有4个．
本题考查了作图−平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=2(x2−4)
=2(x+2)(x−2)；
(2)原式=x(x2−2xy+y2)
=x(x−y)2；
(3)原式=9a2(2x−y)−(2x−y)
=(2x−y)(9a2−1)
=(2x−y)(3a+1)(3a−1)．
【解析】(1)先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先提取公因式，再利用完全平方平方公式进行因式分解即可；
(3)先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
本题主要考查提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=8a6+4a2；
(2)原式=2x2+4x−x−2
=2x2+3x−2；
(3)原式=−7.6×1010×4×104
=−30.4×1014
=−3.04×1015．
【解析】(1)根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可；
(2)根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
(3)先根据积的乘方进行计算，最后用科学记数法表示即可．
本题主要考查幂的乘方和积的乘方、多项式乘多项式、用科学记数法表示较大的数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22.【答案】解：(x−1)2+(x−2)(x+2)
=x2−2x+1+x2−4
=2x2−2x−3
=2(x2−x)−3，
∵x2−x−1=0，
∴x2−x=1，
将x2−x=1代入，
原式=−1．
【解析】先将(x−1)2+(x−2)(x+2)进行化简，再对x2−x−1=0进行变形代入，可得．
本题考查了整式的化简求值，关键是掌握完全平方公式、平方差公式．
23.【答案】证明：(1)∵DE//AB，
∴∠A=∠2，
∵∠1+∠2=180°．
∴∠1+∠A=180°，
∴DF//AC；
(2)∵DE//AB，∠1=100°，
∴∠FDE=80°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠FDB=80°，
∵DF//AC，
∴∠C=∠FDB=80°．
【解析】(1)根据平行线的判定与性质即可证明结论；
(2)根据角平分线定义和平行线的判定与性质即可求出结果．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
24.【答案】解：∠BFE=∠E．
理由：∵AB//DC，
∴∠CDE=∠E，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠E=∠ADE，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠BFE，
∴∠BFE=∠E．
【解析】根据AB//DC，得出∠CDE=∠E，根据角平分线的定义得出∠CDE=∠ADE，进而得出∠E=∠ADE，根据AD//BC，得出∠ADE=∠BFE，进而得出答案．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
25.【答案】(a+b)2 a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2
【解析】解：(1)该正方形的面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为a2+2ab+b2，
由此可以验证一个重要的公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2，a2+2ab+b2，(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)∵a2+b2=39，ab=5，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=39+10=49，
∴a+b=7，(a+b=−7舍去)；
(3)∵2(7+5k)(3−5k)=[(7+5k)+(3−5k)]2−60，
∴(7+5k)(3−5k)=20；
(4)x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y)．
画图：
(1)该正方形的面积等于边长的平方，或两个长方形及两个小正方形的面积之和，进而可得出答案；
(2)根据(a+b)2=a2+b2+2ab，先求出(a+b)2，即可求出(a+b)的值；
(3)根据2(7+5k)(3−5k)=[(7+5k)+(3−5k)]2−60，即可求解；
(4)利用图形分割的方法画出图形，即可求解．
本题考查多项式乘多项式和因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，并且能够通过图形分割的方法进行因式分解是解题的关键．
26.【答案】65
【解析】解：(1)如图，延长入射光线a，与直线相交得到∠5和∠6，
证明：∵∠1=∠2，
∴m//n，
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠4=∠6，
∴a//b；
(2)∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠MOA=∠NOB，
∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，
∴∠MOA+∠AOC+∠BOC+∠NOB=180°，
∴∠MOA=25°，
∴∠MOC=25°+40°=65°，
故答案为：65°；
(3)如图：
110°−2°t=180°−(80°−3°t)，
解得t=2；
∠FCD1=∠DCD1−∠DCF=3t−80°，
∠FAB1=∠FAB−∠BAB1=110°−2t，
∵当AB1//CD1时，
∴∠FCD1=∠FAB1，
∴3t−80°=110°−2t，
∴t=38，
∠ECD2=∠DCF+180°−3t=260°−3t，
∠FAB2=2t−∠BAF=2t−110°，
∵AB2//CD2，
∴∠ECD2=∠FAB2，
∴260°−3t=2t−110°，
∴t=74，
∠EAB3=110°+180°−2t=290°−2t，
∠ECD3=3t−80°−180°=3t−260°，
∵AB3//CD3，
∴∠ECD3=∠EAB3，
∴290°−2t=3t−260°，
∴t=110，
∠FAB4=360°−2t+110°=470°−2t，
∠ECD4=3t−360°+180°−80°=3t−260°，
∵AB4//CD4，
∴∠ECD4=∠FAB4，
∴470°−2t=3t−260°，
∴t=146．
(1)根据∠1=∠2，可以得到两条直线平行，通过平行，可以得到对应的角相等，通过角相等，可以得到新的平行；
(2)根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，可以得到入射光线与镜面的夹角+反射光线与镜面的夹角+40°+90°=180°，从而求出夹角，然后求出对应的角；
(3)通过两条直线平行，得到对应的内错角或同位角相等，通过旋转角，得到对应的角的度数用t来表示，然后求出t值．
本题考查平行线的性质和判定，考查了一元一次方程的应用等，通过讨论得到不同的平行关系，对应的角度．
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