江苏省盐城市大丰区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 如图所示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形．
【详解】解：A．不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
B．不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
C．不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
D．是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查利用平移设计图案，关键是正确理解平移的概念．
2. 下列运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法，零指数幂，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式计算并判断．
【详解】解：A．，故正确，符合题意；
B．，故错误，不合题意；
C．，故错误，不合题意；
D．，故错误，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，零指数幂，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握相应的计算法则．
3. 若是一个完全平方式，则的值为（ ）
A. 10B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：．利用乘积二倍项列式求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴这两个数是x和5，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键．
4. 小明有两根、的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，选第三根木棒的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算每种情况中两条较短的线段之和，若大于最长的线段则可组成三角形，否则就不能，从而可得答案．
【详解】解：A项，，故不符合题意；
B项，，故符合题意；
C项，，故不符合题意；
D项，，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握三角形三边的关系．
5. 如图，下列条件，①，②，③，④，其中能判定的条件有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的判定定理逐项进行分析判断即可．
【详解】解：①，内错角相等，两直线平行，则，不能判断；
②，内错角相等，两直线平行，则；
③，同旁内角互补，两直线平行，则，不能判断；
④，同位角相等，两直线平行，则，
综上所述能判定的条件有②④，共个，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线判定定理是解答本题的关键．
6. 如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为（ ）．
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】过点B作交 于点D，可证，利用平行线的性质可得，，进而可得．
【详解】解：如图，过点B作交于点D．
中，，
．
，
．
，，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
7. 若中不含项，则，满足的数量关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含项，即可求出a与b的值．
【详解】
∵不含项，
故选：C．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”，如：因为，所以称16为“奇妙数”，下面4个数中为“奇妙数”的是（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】D
【解析】
【分析】设这两个连续奇数为n，，应用平方差公式进行计算可得，代入计算n的值，即可得出答案．
【详解】解：设这两个连续偶数为n，，
则，
A．，解得，n不是奇数，故不符合题意；
B．，解得，n不是奇数，故不符合题意；
C．，解得，n不是奇数，故不符合题意；
D．，解得，n是奇数，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进行求解是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 计算_______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算积的乘方运算，再按照同底数幂的除法运算可得答案．
【详解】解：；
故答案为：
【点睛】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的除法，熟记运算法则是解本题的关键．
10. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘法则逆用、积的乘方法则逆用运算即可．
【详解】解：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘法则逆用、积的乘方法则逆用，掌握运算法则是解题的关键．
11. 如果，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，分底数为，底数不等于0，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当时：，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，
∴，
∴；
故答案为：．
12. 某种细胞的直径约为，该数据用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
14. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
15. 已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为_______．
【答案】9
【解析】
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出、的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长．
【详解】解：∵，
∴且，
∴、，
∵a为方程的解，
∴或，
又，
∴，
则的周长为，
故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
16. 下列四种说法中正确的是_______（请填写正确的说法序号）．
①同位角相等
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段
③三角形的外角大于它的任何一个内角
④一个三角形中至少有两个角为锐角
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】利用平行线的性质，三角形的中线、高线、角平分线的定义，三角形的内角、外角间的关系分析即可．
详解】解：①两直线平行，同位角相等，故原说法错误；
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段，故正确；
③三角形的外角大于和它不相邻的内角，故原说法错误；
④一个三角形中至少有两个角为锐角，故正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的中线、高线、角平分线的定义，平行线的性质，掌握相关定义以及性质是解题的关键．
17. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为3，则的面积为_______．

【答案】10
【解析】
【分析】连接，根据中点可得，根据可得，设，可得，进而可得，求出的值，进而可求解．
【详解】解：连接，如图所示：

是的中点，，
，
又，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到是解题的关键．
18. 已知正整数a，b，c（其中）满足，则的最小值是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】由已知可化为，因为a、b、c都是正整数，a只能取2的倍数且最大值只能取4，即可得出b、c的值，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝2，b＝1，c＝5时，a＋b＋c＝8，
当a＝2，b＝2，c＝3时，a＋b＋c＝7，
当a＝2，b＝3，c＝2时，a＋b＋c＝7，
当a＝4，b＝1，c＝3时，a＋b＋c＝8，
所以则a＋b＋c的最小值是 7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则进行计算是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共有7小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 如下图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上
（1）的面积为 ；
（2）将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，补全；
（3）若连接，，则这两条线段之间的关系是 ；
（4）能使的格点Q（A点除外），共有 个．
【答案】（1）
（2）见解析 （3），
（4）
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点结合三角形面积公式即可求解；
（2）根据题意找到平移后点的对应点，顺次连接即可求解；
（3）根据平移的性质即可求解；
（4）根据网格的特点，找到过点与平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，据此即可求解．
【小问1详解】
解：的面积为，
故答案：．
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求
【小问3详解】
根据平移的特点，可知，
故答案为：，．
【小问4详解】
如图，符合题意的点Q有个
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移作图，平移的性质，三角形的面积公式，平行线间的距离，掌握平移的性质是解题的关键．
20. 因式分解：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
（3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
21. 计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了积的乘方，幂的乘方，多项式乘以多项式，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可；
（2）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可；
（3）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后计算单项式乘以单项式．
【小问1详解】
；
小问2详解】
；
【小问3详解】
．
22. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】首先计算完全平方公式和平方差公式，然后合并同类项，然后将变形为整体代入求解即可．
【详解】
∵
∴
原式
．
23. 如图，D、E、F分别在的三条边上，，．

（1）试说明：；
（2）若，平分，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；
（2）根据角平分线定义和平行线的判定与性质即可求出结果．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
平分，
，
．
24. 如图，点为四边形的边上一点，连接并延长交延长线于点，已知，，平分；与相等吗？为什么？

【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】根据，得出，根据角平分线的定义得出，进而得出，根据，得出，进而得出答案．
【详解】
理由：，
，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
25. 如图，将一个边长为正方形分割成四部分（边长分别为，的正方形、边长为和长方形），请认真观察图形，解答下列问题：

（1）请用两种方法分别表示该正方形的面积（用含、的代数式表示）①______,②_______；由此可以验证一个重要的公式是______．
（2）若图中，满足，，求的值．
（3）若，求的值．
（4）请利用图形分割的方法将因式分解并画出相应的图形（标注，）．
【答案】（1），，
（2）
（3）
（4），画出相应的图形见解析
【解析】
【分析】（1）该正方形的面积等于边长的平方，或两个长方形及两个小正方形的面积之和，进而可得出答案；
（2）根据，先求出，即可求出的值；
（3）根据，即可求解；
（4）利用图形分割方法画出图形，即可求解．
【小问1详解】
解：该正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
由此可以验证一个重要的公式是：，
故答案为：，，；
【小问2详解】
，，
，
，（舍去）；
【小问3详解】
，；
【小问4详解】
．
画图：
【点睛】本题考查多项式乘多项式和因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，并且能够通过图形分割的方法进行因式分解是解题的关键．
26. （1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底，则与水平线的夹角的度数 ．
（3）如图3，直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线绕点以度/秒顺时针转动，同时射线绕点以度/秒的速度逆时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行?若存在，求出所有满足条件的时间．

【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），，，，
【解析】
【分析】（1）根据，可以得到两条直线平行，通过平行，可以得到对应的角相等，通过角相等，可以得到新的平行；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，可以得到入射光线与镜面的夹角反射光线与镜面的夹角，从而求出夹角，然后求出对应的角；
（3）通过两条直线平行，得到对应的内错角或同位角相等，通过旋转角，得到对应的角的度数用来表示，然后求出值．
【详解】（1）证明：如图，延长入射光线，与直线相交得到，，

，
，
，
，，
，
；
（2）入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图

，
解得：；

，
，
当时，
，
，
；

，
，
，
，
，
；

，
，
，
，
，
；

，
，
，
，
，
，
综上所述所有满足条件的时间，，，，．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，考查了一元一次方程的应用等，通过讨论得到不同的平行关系，对应的角度是解答本题的关键．